高中数学论文：例说立体几何探索型问题

1、例说立体几何探索型问题随着教育改革的不断发展和高考改革的逐步深化,尤其是要在中学全面实施素质教育、创新教育的今天，数学“探索型题”越来越受到广大中学教师的重视和命题人员的青睐。近几年来，探索型题目也渗透到了立体几何之中，现在将立体几何中的探索型问题作些简浅的归类。一、条件追溯型这种题目中常用“当满足什么条件时，能得到相应的结论”的语句，需在解题时，假想有了相应的结论，然后执果索因，寻找能使该结论成立的条件。1、追溯两线位置例1.(1998全国)如图，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，当底面四边形abcd满足条件_时，有a1cb1d1（注：填上你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情况）.

2、分析：本题要求寻找结论a1cb1d1成立的充分条件，由cc1平面a1c1以及a1cb1d1，容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此，欲使a1cb1d1，只需b1d1与ca1在平面a1c1上的射影垂直即可。显然，ca1在平面a1c1上的射影为a1c1，故当b1d1a1c1时，有a1cb1d1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而b1d1bd，a1c1ac。因此，当bdac时，有a1cb1d1。由于本题是要探求使a1cb1d1成立的充分条件，故当四边形abcd为菱形或正方形时，依然有bdac，从而有a1cb1d1，故可以填：acbd或四边形abcd为菱形，或四边形abcd为正方形中的任一个条件即

3、可。2、追溯点位置例2.在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是棱bc、cd上的点，且becf（1）当e、f在何位置时，b1fd1e；（2）当e、f在何位置时三棱锥c1cef的体积取得最大值分析：探求点的位置往往需要引入参数,然后综合已知和结论列出等式、解出参数。而空间向量的引入给点位置的探求带来了方便，至少是运算上的方便。abcdd1a1b1c1efxyzg解： (1) 以a为原点，分别以 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设bex，则有b1(a，0，a)，d1(0，a，a)，e(a，x，0)，f(ax，a，0) 恒成立.因此，无论e、f在何位置均有b1fd1e (2)

4、=当时，三棱锥c1cef的体积最大，这时e、f分别为bc、cd的中点.3、追溯线段长:例3.（2005江西）如图，在长方体abcda1b1c1d1，中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ad上移动. （1）证明：d1ea1d； （2）当e为ab的中点时，求点e到面acd1的距离； （3）ae等于何值时，二面角d1ecd的大小为.分析：第（3）小题就是要求探索线段的长度，解题时也可以设参数，运用空间向量进行解题，或设线段长，通过直角三角形解之。解法一：（1）（2）略（3）过d作dhce于h，连d1h、de，则d1hce， dhd1为二面角d1ecd的平面角.设ae=x，则be=2x解法二：以d

5、为坐标原点，直线da，dc，dd1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设ae=x，则a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）（1）（2）略（3）设平面d1ec的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依题意（不合，舍去）， .ae=时，二面角d1ecd的大小为.4、追溯线段比值例4（2005浙江）如图，在三棱锥pabc中，abbc，ab=bc=kpa，点o、d分别是ac、pc的中点，op底面abc.（）求证od/平面pab； （）当时，求直线pa与平面pbc所成角的大小; （）当取何值时，o在平面pbc内的射影恰好为pbc的重心?解法一：

6、（）()略（）由（）知，of平面pbc，f是o在平面pbc内的射影。d是pc的中点， 若点f是的重心， 则b、f、d三点共线，直线ob在平面pbc内的射影为直线bd。obpc pcbd pb=bc，即k=1.反之，当k=1时，三棱锥o-pbc为正三棱锥，o在平面pbc内的射影为pbc的重心。解法二: op平面abc,oa=oc,ab=bcoaob,oaop,obop以o为原点，射线op为非负轴，建立空间直角坐标系o-xyz (如图)，设，则.设(i) () 略()的重心 平面 又 反之，当k=1时，三棱椎o-pbc为正三棱锥，o在平面pbc内的射影为pbc的重心。 二、结论探索型这种题型往往没

7、有给出结论或结论不唯一，因而要求解题者根据已有的信息去“观察、联想、类比、抽象、概括”出相应的结论。1、探索射影例5.（2000年全国）如图，e、f分别为正方体的面add1a1和面bcc1b1的中心，则四边形bfd1e在该正方体的面上的射影可能是 _（要求把可能的图形的序号都填上）分析： 由于正方体的6个面可分为互为平行的三对，而四边形bfd1e的在互为平行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图；b：在前、后两面上的射影为图；c：在左、右两面上的射影为图.综上可知，在正方体各面上的射影是图或图。本题为结论探索型的试题，要求有一定的空间想象能力。它的结论不唯一，应

8、从题设出发，通过分类以简化思维，再利用射影的概念，得到正确的结论。2、探求数量例6（2004湖北）已知平面所成的二面角为800，p为、外一定点，过点p的一条直线与、所成的角都是300，则这样的直线有且仅有（ ）a1条b2条c3条d4条分析：将点p平移到二面角的棱上，对于800的二面角可以得到两条这样的直线，对于1000的二面角同样也可以得到两条这样的直线。故选d.3、探求轨迹例7（2004北京）如图，在正方体abcd-a1b1c1d1中，p是侧面bb1c1c内一动点，若p到直线bc与直线c1d1的距离相等，则动点p的轨迹所在的曲线是（ ）a直线 b圆 c 双曲线 d 抛物线分析：一要学会问题的

9、转化，二要综合运用知识，本题要把点p到线段c1d1之距转化为p到c1之距，从而联想到抛物线的定义。故选d.4、探求等式例8（2003全国）在平面几何里，有勾股定理：“设abc的两边ab、ac互相垂直，则ab2+ac2=bc2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥abcd的三个侧面abc、acd、adb两两相互垂直，则 ”.分析：本题由线拓展到面，由二维到三维，因而可以通过类比联想，由线段长想到三角形面积，由直角边想到垂直面，由斜边想到斜面，从而猜想结论为： .证略.5、探求最佳方案例9.（2002全国）（）给出两块相同的正

10、三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.分析：这是一道实践性很强的探索题，解题时从正面解决有些困难，可采用逆向思维，把三棱锥、三棱柱剪开，展成一个平面图形，把它们解剖就可以看清问题的来龙去脉。解：（i）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角.余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.（）依上面剪拼的方法，有v柱v锥.推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的