高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教B版选修2-1(2021年最新整理)

1、高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查

2、阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 新人教b版选修2-1的全部内容。172.4.1抛物线的标准方程1掌握抛物线的定义及其标准方程（重点、难点）2会由抛物线方程求焦点坐标和准线方程（易错点)基础初探教材整理1抛物线的定义阅读教材p59前3自然段，完成下列问题平面内与一个定点f和一条定直线l(fl)的距离相等的点的轨迹叫做_定点f叫做抛物线的_,定直线l叫做抛物线的_【答案】抛物线焦点准线判断(正确的打“”，错误的打“”)（1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线(）(2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数（)(3

3、)方程x22py是表示开口向上的抛物线(）【答案】（1)（2)(3)教材整理2抛物线的标准方程阅读教材p59第4自然段p60，完成下列问题。图形标准方程焦点坐标准线方程y22px（p0）_y22px(p0)_x22py(p0）_x22py(p0）_【答案】xxyy抛物线y4x2上的一点m到焦点的距离为1，则点m的纵坐标是()a。bc。 d0【解析】抛物线y4x2化为标准方程为x2y，如图所示，由抛物线定义可知,点m到焦点的距离等于点m到准线y的距离，即1，ym。【答案】b质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑:_疑问3:_解惑:_小组合作

4、型求抛物线的标准方程求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点m（6，6）；(2）焦点f在直线l：3x2y60上；(3)焦点到准线的距离是4。【精彩点拨】（1)过点m(6，6）的抛物线有几种情况？（2)所求抛物线的焦点是什么，有几种情况?(3)由焦点位置判断有几种情况？【自主解答】(1)由于点m(6,6)在第二象限，过m的抛物线开口向左或开口向上若抛物线开口向左,焦点在x轴上，设其方程为y22px(p0），将点m(6，6)代入，可得362p(6），p3.抛物线的方程为y26x。若抛物线开口向上,焦点在y轴上，设其方程为x22py（p0）,将点m(6，6）代入可得,362p6,p3，抛物线的方程

5、为x26y.综上所述，抛物线的标准方程为y26x或x26y。（2)直线l与x轴的交点为(2，0）,抛物线的焦点是f(2，0)，2，p4，抛物线的标准方程是y28x。直线l与y轴的交点为（0,3），即抛物线的焦点是f（0,3），3,p6，抛物线的标准方程是x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是y28x或x212y。(3）焦点到准线距离p4，焦点可在x,y轴上，故有四种情况，标准方程为y28x，y28x，x28y,x28y.1用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系（2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2mx或x2ny

6、，这样可以减少讨论情况的个数(3）注意p与的几何意义再练一题1根据下列条件确定抛物线的标准方程(1)关于y轴对称且过点(1，3）；(2）过点（4，8）；（3）焦点在x2y40上【解】（1)法一设所求抛物线方程为x22py（p0），将点（1，3)代入方程，得（1）22p（3）,解得p，所以所求抛物线方程为x2y。法二由已知,抛物线的焦点在y轴上，因此设抛物线的方程为x2my（m0)又抛物线过点（1，3)，所以1m（3)，即m，所以所求抛物线方程为x2y.（2)法一设所求抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，将点（4，8)代入y22px，得p8；将点(4,8)代入x22py，得p1.

7、所以所求抛物线方程为y216x或x22y.法二当焦点在x轴上时,设抛物线的方程为y2nx（n0),又抛物线过点（4，8),所以644n，即n16,抛物线的方程为y216x;当焦点在y轴上时,设抛物线的方程为x2my(m0），又抛物线过点(4，8)，所以168m,即m2，抛物线的方程为x22y。综上，抛物线的标准方程为y216x或x22y。(3）由得由得所以所求抛物线的焦点坐标为（0,2)或（4，0）当焦点为(0,2）时，由2,得p4，所以所求抛物线方程为x28y;当焦点为（4,0)时，由4，得p8，所以所求抛物线方程为y216x.综上所述，所求抛物线方程为x28y或y216x.抛物线定义的应用

8、(1）一动圆圆心在抛物线x24y上,该圆过点（0，1)，且与定直线l相切,则直线l的方程为_（2)已知抛物线x24y,焦点是f（0,1），a为抛物线上一动点，以af为直径的圆与定直线l相切，则直线l的方程为_【精彩点拨】圆与直线相切，寻找圆心与定点和定直线的关系【自主解答】(1）因为动圆过点（0，1)，且与定直线l相切，所以动圆圆心到点（0，1）的距离与它到定直线l的距离相等又因为动圆圆心在抛物线x24y上,且（0，1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线，所以直线l的方程为y1.（2）因为f（0，1）为抛物线的焦点，设a(x1，y1）,则af的中点坐标为m。又因为圆的半径为，所以圆心m到x轴

9、的距离恒等于半径，所以直线l的方程为y0。【答案】（1)y1（2）y0根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题再练一题2已知点p是抛物线y22x上的一个动点，则点p到点a(0,2)的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为（)a.b3c。 d【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点p到准线x的距离dpf|，易知点a(0，2)在抛物线y22x的外部,连接af，交y22x于点p,欲使所求距离之和最小，只需a,p，f共线，其最小值为|af 。【答案】a与抛物线

10、有关的轨迹问题已知动圆m与直线y2相切，且与定圆c：x2(y3)21外切，求动圆圆心m的轨迹方程。 【导学号：15460043】【精彩点拨】(1)圆m与直线y2相切可以想到什么?（2)两圆外切的条件是什么？(3）点m的条件满足抛物线定义吗？【自主解答】设动圆圆心为m(x，y)，半径为r，则由题意可得m到圆心c（0，3）的距离与直线y3的距离相等由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以c（0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y。求动点轨迹方程的方法：定义法，判断动点的轨迹是否满足抛物线的定义若满足抛物线的定义，则可按抛物线标准方程的形式写出方程再练一题3已知动圆m经过点a（3

11、，0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心m的轨迹方程【解】设动点m（x，y），m与直线l：x3的切点为n，则ma|mn，即动点m到定点a和定直线l：x3的距离相等，点m的轨迹是抛物线,且以a（3,0）为焦点，以直线l：x3为准线，3，p6，故动圆圆心m的轨迹方程是y212x。探究共研型抛物线的实际应用探究1求解抛物线实际应用题的步骤有哪些？【提示】求解抛物线实际应用题的五个步骤：探究2如何利用抛物线定义解决实际问题？【提示】把实际问题转化为数学问题,利用抛物线的知识来解决实际问题在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立坐标系,这样可使得标准方程不仅具有对称性

12、，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】建系设方程解方程求出相关量解决问题【自主解答】如图,建立坐标系,设拱桥抛物线方程为x22py（p0)，由题意,将b(4，5）代入方程得p，抛物线方程为x2y。当船的两侧和拱桥接触时船不能通航设此时船面宽为aa，则a（2，ya），由22ya，得ya。又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|ya2（米），即水面上涨到距抛物线拱顶2米时,小船不能通航1本

13、题的解题关键是把实际问题转化为数学问题,利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等）表达、分析、解决问题2以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1）建立平面直角坐标系，求抛物线的方程(2)利用已求方程求点的坐标再练一题4。探照灯反射镜(如图2.4.1)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标图2。4.1【解】如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点（即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px（p0），由已知

14、条件可得点a的坐标是（40,30),且在抛物线上，代入方程,得3022p40，解得p。故所求抛物线的标准方程为y2x，焦点坐标是.构建体系1准线方程为y的抛物线的标准方程为()ax2ybx2ycy2x dy2x【解析】由准线方程为y知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p。故所求抛物线的标准方程为x2y。【答案】b2已知点a(2，3）在抛物线c:y22px的准线上，记c的焦点为f,则直线af的斜率为(）【导学号：15460044】a b1c d【解析】点a（2,3)在抛物线c的准线上,2，p4。抛物线的方程为y28x，则焦点f的坐标为(2,0)又a（2，3），根据斜率公式得kaf。【答案】c3以双

15、曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是_【解析】由双曲线1，得抛物线的焦点坐标为（4，0）,故可设抛物线方程为y22px(p0）,所以4，即p8，抛物线方程为y216x.【答案】y216x4已知抛物线y22px（p0）的焦点为f1，若点a(2，4）在抛物线上，则点a到焦点的距离为_【解析】把点（2，4）代入抛物线y22px,得164p，即p4，从而抛物线的焦点为（2，0)故点a到焦点的距离为4。【答案】45若抛物线y22px（p0）上有一点m，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点m的坐标【解】由抛物线方程y22px（p0)，得其焦点坐标为f，准线方程为x.设点m到准线的距离为d，则d|m

16、f10，即（9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点m(9，y)在抛物线上，得y6，故点m的坐标为（9，6)或(9，6）我还有这些不足：（1）_（2）_我的课下提升方案：（1)_（2）_学业分层测评（建议用时：45分钟）学业达标一、选择题1准线与x轴垂直，且经过点(1,）的抛物线的标准方程是(）ay22xby22xcx22y dx22y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2ax，则（)2a，解得a2,因此抛物线的标准方程为y22x，故选b.【答案】b2以抛物线c的顶点为圆心的圆交c于a，b两点，交c的准线于d，e两点已知ab|4，|de|2,则c的焦点到准线的距离为（）a2b4c6d8

17、【解析】设抛物线的方程为y22px(p0）,圆的方程为x2y2r2。ab4，|de2,抛物线的准线方程为x，不妨设a，d.点a，d在圆x2y2r2上，85，p4（负值舍去）c的焦点到准线的距离为4.【答案】b3已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y24x的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（)a。 bc2 d2【解析】抛物线的焦点为（,0）,即c。双曲线的渐近线方程为yx，由,即ba，所以b22a2c2a2，所以c23a2,即e23,e，即离心率为。【答案】b4抛物线y212x的准线与双曲线1的两条渐近线所围成的三角形的面积为()【导学号：15460045】a3 b2

18、c2 d【解析】抛物线y212x的准线为x3，双曲线的两条渐近线为yx，它们所围成的三角形为边长等于2的正三角形，所以面积为3，故选a.【答案】a5抛物线y28x的焦点到准线的距离是(）a1 b2 c4 d8【解析】由y22px8x知p4,又焦点到准线的距离就是p.故选c.【答案】c二、填空题6抛物线y22x上的两点a，b到焦点的距离之和是5，则线段ab的中点到y轴的距离是_【解析】抛物线y22x的焦点为f，准线方程为x，设a(x1，y1)，b(x2，y2），则|af|bf|x1x25,解得x1x24,故线段ab的中点横坐标为2。故线段ab的中点到y轴的距离是2。【答案】27对标准形式的抛物线

19、,给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为（2，1)其中满足抛物线方程为y210x的是_(要求填写适合条件的序号）【解析】抛物线y210x的焦点在x轴上,满足，不满足;设m（1，y0)是y210x上的一点,则mf|116，所以不满足;由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线,垂足为(2，1）时，则k2，此时存在，所以满足【答案】8抛物线y2x2的准线方程为_【解析】方程化为标准方程为x2y，故，开口向上,准线方程为y。【答案】y三、解答题9求焦点在x轴上，且焦点在双曲线1上

20、的抛物线的标准方程【解】由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为。焦点在双曲线1上，1，求得m4，所求抛物线方程为y28x或y28x.10已知平面上动点p到定点f(1,0）的距离比点p到y轴的距离大1，求动点p的轨迹方程【解】法一设点p的坐标为（x，y)，则有x|1。两边平方并化简,得y22x2|x。y2即点p的轨迹方程为y24x（x0）或y0（x0）法二由题意知，动点p到定点f(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点f(1,0）到y轴的距离为1,故当x0时，直线y0上的点符合条件；当x0时，原命题等价于点p到点f(1,0)与到直线x1的距离相等,故点p的轨迹是以f为焦点，x1为准线的抛物线,方程为y24x。故所求动点p的轨迹方程为y24x（x0）或y0(