数列题型及解题方法归纳总结推荐文档

1、文德教育2知识框架数列的概念数列的分类数列的通项公式数列的递推关系函数角度理解求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可 能在高考中顺利地解决数列问题。一、典型题的技巧解法数列两个基本数列等差数列的定义 an等差数列的通项公式 等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质an等比数列的定义3nanan 1anSnamq(nd(na1 (nn /2(a12)1)dan)naiap aq (mn(n 1)d2q)2)等比数列的通项公式 等比数列等比数列的求和公式anSn等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和裂项求和倒序相加求和累加累积归纳猜想证明分期付款数列的应用一八其他数列求和

2、岂anq1ai(1q n a1(q an am apaq (m nn、q )/(q1 q1)p q)1)1、求通项公式（1）观察法。（2）由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等 差数列或等比数列问题。（1）递推式为an+1=a+d及an+1=qan（d， q为常数） 例1、 已知an满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。例1、解/an+1-an=2为常数 an是首项为1，公差为2的等差数列-an=1+2 （n-1 ）即 an=2n-11例2、已知an满足an 1an，而a1 2，求an =?2解V是常数七J是以2为首项.公比为扌的等匕嗷列

3、5 -2 L z -(2)递推式为 an+1=an+f (n)1例 3、已知an中 a1， an 1解：由已知可知an 1 an掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、an14n2 1求an.1丄(_匚(2n 1)(2n 1)2(2n 112n1)令n=1，2，（n-1 ），代入得（n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） + （a3-a2） + +（ an-a n-1 ）文德教育bn3(1)n1(1 亠 32 2n 1 4n 2 说明 只要和f (1) +f (2) +f ( n-1 )是可求的，就可以由a”i=an+f (n)以n=1, 2，(n-1)代入，可得 n-1

4、个等式累加而求 an递推式为an+1=p+q (p, q为常数)例 4、an中，a1 1，对于 n 1 (n N)有 an 3an 1 2，求 an .解法一：由已知递推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。两式相减：an+1-a n=3 (an-a n-1)因此数列an+1-a n是公比为3的等比数列，其首项为 a2-a1= (3X 1+2) -1=4n-1n-1厂“n-1an+1 -a n =4 3- an+1=3an+23an+2-a n=4 3 即 a n=2 3 -1解法二：上法得a n+1-a n是公比为3的等比数列，于是有：a2-a 1=4, a3-a 2=4 -3

5、,2n-2a4-a 3 =4 3，, an-a n-1 =4 3 ,把n-1个.等一 式 - - ：累一 十加得J _ ：/ an=2 3n-1-1- 递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例亦己知心中.術岭论二羸+ G)叫求略解在如弓十心的两边乘以円得2羽*E泸社)+ 1 令亠=2则妁=彳5+1,于是可得j 22bn 1 bn(bn g 1) 由上题的解法，得：g 3 2(-广33说明对于递推式亦二叽+扌，可两边除以q田，得毛-*与+丄引辅助数列(bn)P Cba = ) ,= -b + -后用q q q%q q(5) 递推式为 an 2 pan 1 qan思路：设 an

6、2 pan 1 qan,可以变形为：an 2 an 1 (an 1an),CL + 0 = p 就是也=2 +时则可从门农卩解得4 P,(d p = -q想于是a n+1- a an是公比为B的等比数列，就转化为前面的类型。_21【例63己知数列坦J中，a2 =1,= 2,亦=q叫J詐.求an。CL=卩：l+J23atvfrl2a + 0 = 3卜a p =-3n两边减去3廿丄，得41文德教育8/- an）是公比为首项为a2 -Qi = 1的等比数列。递推式为S与an的关系式SjCn = 1J1【例门 设d前口项的和片=4片-乔 试用n表示a此类型可利用g一 一 I | 1 :关系;(2)数列

7、求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数 列求和。2、 错项相减法：适用于差比数列（如果 an等差，bn等比，那么 anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以 0的公比q，向后错一项，再对应同次 项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几 项，可求和。解Cl)由S1_ S _ 2卄1Sn 1Sn11(anan 1)( n2n 1丿2n1an 1a na n 1n2n11an 1-ann22n。上式两边同乘以2n+1得2n+1an+i=2nan+2则2 5是公差为2的等差数列。1.，an . an 1适用于

8、数列1an an 1可裂项为1an an 1（其中an等差） 2nan= 2+ (n-1) 2=2n- 7=1等差数列前n项和的最值问题：1若等差数列an的首项ai 0 ,公差d0，则前n项和Sn有最大值。(i)若已知通项an，则Sn最大an 0an 10(ii)若已知Snpn2 qn，则当n取最靠近話的非零自然数时Sn最2、若等差数列an的首项ai0 ,公差d0 ,则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项an,则Sn最小an 0an 10大;(ii)若已知Sn pn? qn，则当n取最靠近的非零自然数时Sn最2p小;数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知Sn (即 a

9、1a2Lanf(n)求an ,用作差法S1,( n1)1SnSn 1, ( n2) f(1),(n 1)已知 a1ga2gL ganf (n)求 an,用作商法：anf (n,( n 2)。f (n 1)已知条件中既有Sn还有an ,有时先求Sn，再求an ；有时也可直接求an。若an 1anf(n)求an用累加法an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) L(a2 al)ai (n 2)。已知 加f(n)求an ,用累乘法：an 旦L 色 ai (n 2)。anan 1 an 2al已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如an kan 1 b、an

10、 kan 1 bn( k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an ；形如an kan 1 kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列后，再求an。a(2) 形如an口 的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1 bk(3) 形如an 1 an的递推数列都可以用对数法求通项。(7) (理科)数学归纳法。a(8) 当遇到an 1 an 1 d或亠 q时，分奇数项偶数项讨论，结果可an 1能是分段形式。数列求和的常用方法：(1) 公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。(2) 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项” 先合并在一起

11、，再运用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是文德教育210等差数列前n和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的1 1n 2时，一a12 a2 2 2112 得:右 a. 2- an2n111 ；11(11)n(n1)nn 1k)k vnnk丿11111Fk211 2(k 1k71 11 1111 ；k k1(k1)k k2(k1)kk 1;k通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n和公式的推导方 法）.（5）裂项相消法

12、：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:- an14 (n 1)n 12 (n 2) n(n 1)(n 2)1)1(n 1)(n 2)n(n 1)!丄 1 n! (n 1)!练习5数列 an 满足 Sn Sn 1 - an 1，a1 4，求 an32（、百 ,n）20 n一百)(注意到an 1 Sn 1 Sn代入得：Sn 14Sn、解题方法:求数列通项公式的常用方法:1、公式法2、由Sn求an(n 1 时，a1 S1? n 2时，an Sn Sn 1)3、求差（商）法女口： a n满足丄ar -2 a22222n 51解：n 1

13、 时，一a1215,二 a114n 2时，an SnSn 13n 144、叠乘法例如：数列 an中, a13,an 1n，求anann 1解：a2 a3 an12n 1. an 15* *a 2an 123na1 n又a13，二 an3n5、等差型递推公式又S14，二Sn是等比数列，Sn 4n文德教育19由anan 1 f(n), aia，求，用迭加法- ann 2时，a2 ai f(2)a1a3a?f(3)两边相加，得:- ana1cn 1an an 1 f(n)练习an aif(2) f(3)f(n)数列an满足a19， 3an 1an 4，求an an a0 f(2) f(3)f(n)练

14、习数列 an ，ai 1，an 3n 1 a“ i n 2，求a“ (an 31 )26、等比型递推公式an can 1 d c、d为常数，c 0， c 1，d 0可转化为等比数列，设an x c an 1 x(an1)7、倒数法例如：a1由已知得:an 1a n can 1令(c 1)x d，. xan1,an2anan求anan 1an 22ananan 是首项为a1c 1c为公比的等比数列an1 an 2为等差数列,1，公差为2 .数列求和问题的方法(1)、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前 下公式对求和来说是有益的。n项和公式求和，另外记住以(2)、分解转化法对通项进

15、行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 ( n2-2 2) +3 ( n2-32) + +n ( n2-n 2) 解 S=n2 (1+2+3+n) - ( 13+23+33+n3)= na* (n + 1)冷用门 + D n3 fn +1)n - 11 + 2 + 3+ +口=21 + 3 + 5+ (2n-1)=n5 . 3 . a+ lX2n + 1)r +2+3 +n =；(3)、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒 着写的两个和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn 3Cn 6Cn L 3nC

16、；【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。一 1解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+n= n(n 1)2个奇数，1 2最后一个奇数为：1+ n(n +1)-1 x 2=n+n-12因此所求数列的前 n项的和为沐=卜6 + 1)* (n + O 3o例 10、解 Sn O?c0 3Cn 6C： L 3nC：又気=为C： -+ 3 (n-1) C 十+ 0C： 相加.且运用g =可得2Sn =(C： +C： + +F Sn=3n 2n-1(4)、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的

17、式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.例11、 求数列1，3x，5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.2n 1解设 S=1+3+5x+(2n-1)x -.，可把和 x=0 时，Sn=1 . 当xm 0且xm 1时，在式两边同乘以x得xS n=x+3x2+5x3+(2n-1)x n,1 12n-l 2n + 3-，得(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+ +2xn-1-(2 n-1)x由公式冰三& 1+缶:-0仙)屮1:X1 一疋 1 H4l 32“十1 2口十3n(4n + 5)=3(2n + Wa + 3)裂项法：把通项公式整理成两项 常见裂项方法：1 _ 1 n(n

18、 + k) kn(n + 1)(n + 2)(式多项)差的形式，然后前后相消。注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与 负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题 时的应用。二、常用数学思想方法1 函数思想运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例13】等差数列an的首项a10，前n项的和为Sn,若S=S 0 Si=Sk (I m k),. d v 0故此二 次函数的图像开口向下：-(1 ) =f (k)； 1 , _二当1+k为偶数时飞三一时久最大。当1代为奇数味n = L|l时気最大符。2.方程思想【例14】设等比数列

19、an前n项和为S,若S+S6=2S9,求数列的公比q。 分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解 依题意可知1。如果q=1，则S3=3ai, S=6ai, S9=9ai。由此应推出 ai=0与等比数列不 x=1ogak, y=log bk, z=log ck.112 1 1 2.=f , .b =葢 ylogMk 1ogc k故学2十粋二吟竽 HPlga + lc = 21gblgK lgk lgk b2=ac a, b, c成等比数列(a, b, c均不为0)(1-)1-q363整理得 q ( 2q -q -1 ) =0/ qz 0 2qs -q3 -1 = 0 q；二 1舍，迅二扌 甫盲此题还可以作如下思考：33336S6=S3+q S3= (1+q ) S。S9=S+q S6=Ss (1+q +q ), 由 S3+S=2S可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=03换