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文档简介

1、 初中平面几何中，比例式或等积式的证明问题是一种常见的问题。因为这种问题变化多端，同学们常常感到困难。但是，一旦我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 一、遇到等积式（或比例式）时，先看能否找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例1： 已知：如图1，中，ab的垂直平分线交ab于d，交bc延长线于f。 求证： 分析：我们将此等积式变形改写为比例式得：，由等式左边得到，由等式右边得到，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。 二、若由求证的等积式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则

2、需要进行等线段代换或等比代换或等积代换。 例2： 已知：如图2，平行四边abcd中，e是cb延长线上一点，de交ab于f。 求证：adab=afce 分析：将等积式改写成比例式得： ，但ad、af在中，ce、ab不在同一个三角形中，考虑到平行四边形abcd中，ab=cd，可证。 证明：在平行四边形abcd中 （等线段代换） 即：adab=afce 例3： 已知：如图3，b是圆的弦，de切圆o于c，于d，于e，于f。 求证： 分析：等积式中的四条线段没有分布在两个三角形中，也无相等的线段进行代换，故考虑能否使用等比代换，需找两套相似，得到两组比例式。 证明：连结ac、bc（构造弦切角定理条件） de切圆o于c 又 同理可证 （等比代换） 在这时用到了等比代换。在有些题目中还可能用到等积代换. 例4： 已知：如图4，ab是圆o直径，cd切圆o于b，ac交圆o于e，ad交圆o于f。 求证：aeac=afad 分析：若边结ef可看出ae、af在中，ac、ad在中，但无条件可以证明这两个三角形相似，故考虑其它方法。利用直径上的圆周角是直角及切线性质，可得到两套相似，从而可考虑等积代换。 证明：连结be、bf ab是圆o直径，cd是切

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