人教版九年级数学上册课时练习--21.2 第1课时 二次函数与一元二次方程1

1、22.2 二次函数与一元二次方程第 1 课时 二次函数与一元二次方程基础训练1.已知二次函数 y=ax2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题:(1) a=_,c=_.(1) 函数图象的对称轴是_,顶点坐标 p_.(2) 该函数有最_值,当 x=_时,y 最值=_. (4)当 x_时,y 随 x 的增大而减小.当 x_时,y 随 x 的增大而增大.(5)抛物线与 x 轴交点坐标 a_,b_;与 y 轴交点 c 的坐标为_;yo1 4a b xsdabc=_, sdabp=_.(6) 当 y0 时,x 的取值范围是_;当 y0?3.请画出适当的函数图象,求方程 x2=12x+3 的解

2、.4.若二次函数 y=-12x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 a(-5,0),b(-1,0).(1) 求这个二次函数的关系式;(2) 如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与 x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移? 向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上 , 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下 表所示的对应关系.速度 v(km/h) 48 6480 96 112 刹车距离 s(m) 22.5 36 52.5 72 94.5 (1) 请你以汽车刹车时的车速 v 为自变量,刹车距离 s 为函数, 在图所示的坐标系中描点 连线,画出函

3、数的图象;(2) 观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3) 若把这个函数的图象看成是一条抛物线 ,请根据表中所给的数据 ,选择三对 ,求出它 的函数关系式;(3) 用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.15010050os(m)50 100 150 v(km/h)能力提升6.如图所示,矩形 abcd 的边 ab=3,ad=2,将此矩形置入直角坐标系中,使 ab 在 x 轴上,点 c 在 直线 y=x-2 上.(1) 求矩形各顶点坐标;(2) 若直线 y=x-2 与 y 轴交于点 e,抛物线过 e、a、b 三点,求抛物线的关系式;(3) 判断上述抛物线的顶点是否落在矩形 abcd

4、 内部,并说明理由.oydaecb x7.已知一条抛物线经过 a(0,3),b(4,6)两点,对称轴是 x=53.(1) 求这条抛物线的关系式.(2) 证明 :这条抛物线与 x 轴的两个交点中 , 必存在点 c,使得对 x 轴上任意点 d 都有 ac+bcad+bd.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为 4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为 2.5m 时,达到最大高度 3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离 地面距离为 3.05m.(1) 建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2) 若该运动员身高 1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方 0

5、.25m 处出手.问:球出手时,他跳 离地面多高?y3.05m2.5m4mox9.某工厂生产 a 产品 x 吨所需费用为 p 元,而卖出 x 吨这种产品的售价为每吨 q 元, 已知p=1 xx2+5x+1000,q=- +45.10 30(1) 该厂生产并售出 x 吨,写出这种产品所获利润 w(元)关于 x(吨)的函数关系式;(2) 当生产多少吨这种产品 ,并全部售出时 ,获利最多 ?这时获利多少元 ? 这时每吨的价格 又是多少元?10.已知抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标,一个大于 2,另一个小于 2,试求 k 的取值 范围.11.如图,在 abc 中,acb=90,b

6、cac,以斜边 ab 所在直线为 x 轴,以斜边 ab 上的高所在直线为 y 轴,建立直角坐标系,若 oa2+ob2= 17, 且线段 oa、ob 的长度是关于 x 的一元二2a 4 a次方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两个根.(1) 求 c 点的坐标;(2) 以斜边 ab 为直径作圆与 y 轴交于另一点 e,求过 a、b、e 三点的抛物线的关系式, 并画出此抛物线的草图.(3) 在抛物线上是否存在点 p,使abp 与abc 全等?若存在,求出符合条件的 p 点的坐标;若不存在,说明 理由.yc综合探究a o b x12. 已 知 抛 物 线 l;y=ax2+bx+c( 其 中 a 、

7、b 、 c 都 不 等 于 0), 它 的 顶 点 p 的 坐 标 是ee b 4ac -b 2 - , ,与 y 轴的交点是 m(0,c)我们称以 m 为顶点,对称轴是 y 轴且过点 p 的抛物线为抛物线 l 的伴随抛物线,直线 pm 为 l 的伴随直线.(1)请直接写出抛物线 y=2x2-4x+1 的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_伴随直线的关系式_(2) 若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是 y=-x2-3 和 y=-x-3, 则这条抛物线的 关系是_:(3) 求抛物线 l:y=ax2+bx+c(其中 a、b、c 都不等于 0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系 式;(

8、4) 若抛物线 l 与 x 轴交于 a(x ,0),b(x ,0)两点 x x 0,它的伴随抛物线与 x 轴交于 c,d1 2 2 1两点,且 ab=cd,请求出 a、b、c 应满足的条件., -2 4 2 1 答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线 x=52,5 9 5 9 (3)小; ; -2 45(4) ; 25 27(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6;2 8; (6)x4;1x;2.(1)由表知,当 x=0 时,ax2+bx+c=3;当 x=1 时,ax2=1;当 x=2 时,ax2+bx+c=3.c =3 a =1 a =1 , b =-2,4a +2b +c =3

9、c =3a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入 0,4,2.(2)在 x2-2x+3=0 中,=(-2)2-413=-80. 3.:在同一坐标系中如答图所示,y画出函数 y=x2的图象,画出函数 y=12x+3 的图象,a3b3这两个图象的交点为 a,b,交点 a,b 的横坐标 - 和 226o2x1就是方程 x2= x+3 的解.214.:(1)y= - x +bx+c,把 a(-5,0),b(-1,0)代入上式,得21 - ( -5) 2 2 - ( -1)2 2+b (-5)+c=0+b ( -1) +c =0a =-3 , 5 ,b =- 21y= - x22-3 x -52.1

10、5 1(2)y= - x 2 -3 x - = - ( x +3)2 +22 2 2顶点坐标为(-3,2),欲使函数的图象与 x 轴只有一个交点,应向下平移 2 个单位.5122c =025.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av2+bv+c,把 v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72 分别代入 s=av2+bv+c,得 3a =48 2 a +48b +c =22.5 3 64 a +64b +c =36 , 解得 b = .16962 a +96b +c =723 3 s = v2 +

11、v512 16(4)当 v=80 时,3 3 3 3v 2 + v = 802 + 80 =52.5 512 16 512 163 3s=52.5, s = v 2 + v512 163 3 3 3当 v=112 时, v 2 + v = 1122 + 112 =94.5512 16 512 16s=94.5, s =3 3v 2 + v512 16经检验,所得结论是正确的.6.:(1)如答图所示.y=x-2,ad=bc=2,设 c 点坐标为(m,2),把 c(m,2)代入 y=x-2,2=m-2.m=4.c(4,2),ob=4,ab=3.oa=4-3=1,a(1,0),b(4,0),c(4,

12、2),d(1,2).(2)y=x-2,令 x=0,得 y=-2,e(0,-2).设 经过 e(0,-2),a(1,0),b(4,0) 三点的抛物线关系式为 y=ax2+bx+c, 1a =-c =-2 5 a +b +c =0 , 解得 b =216a +4b +c =0c =-21y= - x22+52x -2 .(3)抛物线顶点在矩形 abcd 内部. 8b 512 1 5 y= - x 2 +2 25 9 x -2 , 顶点为 ,2 8 .1 525 9 4 , 顶点 ,2 8 在矩形 abcd 内部.7.(1)解:设所求抛物线的关系式为 y=ax2+bx+c,5a(0,3),b(4,6

13、),对称轴是直线 x= .3 9 a =c =3 16a +4b +c =6 , 解得 b =- - = c =3 2a 3 1549y= x82-154x +3 .9 15 4(2)证明:令 y=0,得 x 2 - x +3 =0, x = , x =28 4 3a(0,3),取 a 点关于 x 轴的对称点 e,e(0,-3).设直线 be 的关系式为 y=kx-3,把 b(4,6)代入上式,得 6=4k-3,k=9 9,y= x-3 . 4 4由9 4x-3=0,得 x= .4 34 故 c 为 ,03 ,c 点与抛物线在 x 轴上的一个交点重合,在 x 轴上任取一点 d,在bed 中,b

14、e bd+de.又be=ec+bc,ec=ac,ed=ad,ac+bca d+bd.若 d 与 c 重合,则 ac+bc=ad+bd. ac+bcad+bd. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.oa=2.5,ab=4,ob=4-2.5=1.5.点 d 坐标为(1.5,3.05).y抛物线顶点坐标(0,3.5),设所求抛物线的关系式为 y=a x2+3.5,d3.05m把 d(1.5, 3.05)代入上式,得 3.05=a1.52+3.5,a2.5mobx4m a=-0. 2,y=-0.2x2+3.5221 2(2)oa=2.5,设 c 点坐标为(2.5,m),把 c(2.5,m)代入 y=

15、-0.2x2+3.5,得 m=- 0.22.52+3.5=2.25.该运动员跳离地面高度 h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).1 x9:(1)p=x2+5x+1000,q=- +45.10 30x 1 2w=qx-p=(- +45)-( x +5x+1000)= - x 30 10 152+40 x -100 .2 2(2)w= - x 2 +40 x -100 =- (x-150) +2000.15 15-2150,无论 k 为何实数, 抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴恒有两个交点.设 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点的横坐标分别为 x

16、,x ,且规定 x 2,1 2 1 2x -20.1 2(x -2)(x -2)0 ,x x -2(x +x )+40.1 2 1 2 1 2x ,x 亦是方程 2x2-kx-1=0 的两个根, 1 2yx +x =1 2k 1 ,x x =- ,2 2x1o2x2x1 k 7 - -2 +4 .2 2 2k 的取值范围为 k72.法二:抛物线 y=2x2-kx-1 与 x 轴两交点横坐标一个大于 2,另一个小于 2, 此函数的图象大致位置如答图所示.由图象知:当 x=2 时,y0.即 y=222-2k-17 7 .k 的取值范围为 k .2 211:(1)线段 oa,ob 的长度是关于 x

17、的一元二次方程 x2-mx+2(m-3)=0 的两个根,oa +ob =m (1) oa ob =2( m -3) (2)又oa2+ob2=17,(oa+ob)2-2oaob=17.2a 4 a2 把,代入,得 m2-4(m-3) =17,m2-4m-5=0.解之,得 m=-1 或 m=5. 又知 oa+ob=m0,m=-1 应舍去.当 m= 5 时,得方程:x2-5x+4=0,解之,得 x=1 或 x=4.bcac,oboa,oa=1,ob=4,在 abc 中,acb=90,coab,oc2=oaob=14=4.oc=2,c(0,2)(2)oa=1,ob=4,c,e 两点关于 x 轴对称,a

18、(-1,0),b(4,0),e(0,-2).设经过 a,b,e 三点的抛物线的关系式为y=ax2+bx+c,则a -b +c =016a +4b +c =0 ,解之,得 c =-2 1a =2 3b =-2 c =-2 所求抛物线关系式为 y=1 3x 2 - x -2 . 2 2(3)存在.点 e 是抛物线与圆的交点. acb aeb,e(0,-2)符合条件.圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上.这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. 点 e 关于抛物线对称轴的对称点 e也符合题意.可求得 e(3,-2).抛物线上存在点 p 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x2+1,y=-2x+1.(2) y=x2-2x-3(3) 伴随抛物线的顶点是(0,c),设它的解析式为 y=m(x-0)2+c(m0).设抛物线过 p4ac -b 2 =m4a b 4 ac -b 2 - , b - +c 2 a , 1 2 a a1222 1 2解得 m=-a,伴随抛物线关系式为 y=-ax2+c.设伴随直线关系式为 y=kx+c(k0). b 4ac -b 2 p - ,2a 4 a4 ac -b 2在此直线上, =k4 a b - +c 2a b, k= .2伴随直线关系式为 y=b2x+c(4)抛物线 l 与 x 轴有两交点, =b2-4ac0,b