【数学】天津市十二重点中学2018届高三下学期毕业班联考试题(一)(理)

1、天津市十二重点中学2018 届高三下学期毕业班联考数学试题（一） （理）参考公式：（ 1）如果事件A 、 B 互斥，那么P( AB)P( A)P(B) ；（2）柱体的体积公式VSh. 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分1.设集合 A x Nx2 , B y y=1x2 ，则 A B（）A.x -2x 1B.0 ,1C. 1 ,2D. x 0x1y02.x y 3 0，则z 2x y的取值范围是（）设变量 x, y 满足线性约束条件xy30A.3，6B.6，6C.6，D.3，3. 阅读如图所示的程序框图，则输出的数据为（）A2

2、1B 58C 141D3184. 设条件 p ：函数 f ( x)log3 ( x22x)在 (a,) 上单调递增，条件q ：存在 xR使得不等式 | 2x1 | | 2x1|a 成立，则 p 是 q 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件5. 函数 f xA sinx(A0,0, 0) 的部分图像如图所示，为了得到g xAcos x 的图像，只需将函数yfx 的图象（）A. 向左平移2个单位长度B.向左平移 个单位长度33C. 向右平移2个单位长度D. 向右平移 个单位长度336. 已知定义在 R 上的函数 f (x1)的图像关于 x1 对称，且当 x

3、0时， f ( x) 单调递减，若 af (log 0.5 3),bf (0.5 1.3 ), cf(0.76 ), 则 a, b, c 的大小关系是（）A cabB bacC acbD cba7. 设 P 为双曲线 C : x2y21 a, b0 上一点，F1 , F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点，a2b2PF2F1F2 ，若 PF1 F2 的外接圆半径是其内切圆半径的17 倍，则双曲线 C 的离心率为6（）A. 2B.4C.2或 3D.45或38已知函数f ( x)| xa |a, g ( x)x24x3 ，若方程 f ( x)| g( x) | 恰有 2 个不同的实数根，则实数 a的

4、取值范围是（）A(1,3)(13,+）2281513313C (, ,2228113513B (, )2，+281513313D (, ,)2228二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分.9 i 为虚数单位，已知复数3i a 的实部与虚部相等，那么实数 a _.i10. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是_.x4t211在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线（ t 为参数）的焦点为 F ，动点 P 在y4t抛物线上 .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,动点 Q 在圆(8cos)15 0 上，则PFPQ 的最小值为 _ 12.已知

5、ab0 ，则 2a32的最小值为.abab13.在等腰梯形中， AB CD , AB2, AD 1,DAB60 ，若 BC3CE ,AFAB ,且AE DF1, 则 =_.14.用 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的五位偶数，要求奇数不相邻，且0 不与另外两个偶数相邻，这样的五位数一共有_个 .（用数字作答）三、解答题： 本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15（本小题满分13 分）已知函数 fxsin 2x2cos2 x26(1) 求 f x 的单调递增区间；(2) 设ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，且 c3,2 f( C)

6、1，若 2sinAsinB ，求ABC 的面积16（本小题满分13 分） 2018 年 2 月 25 日，平昌冬奥会闭幕式上的“北京 8 分钟 ”惊艳了世界 .我们学校为了让我们更好的了解奥运，了解新时代祖国的科技发展，在高二年级举办了一次知识问答比赛. 比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关；第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功.每过一关可一次性获得321分别为 1、2、3 分的积分奖励， 高二、一班对三关中每个问题回答正确的概率依次为、 、 ，432且每个问题回答正确与否相互独立.（ 1）记 A 表示事件“高二、一班未闯到第三关”，求 p( A)

7、的值；（ 2）记 X 表示高二、一班所获得的积分总数，求X 的分布列和期望 .17（本小题满分 13 分）如图 , ABCD 是边长为 3 的正方形， 平面 ADEF平面 ABCD ，AF/DE， AD DE,AF 2 6,DE 3 6.( )求证： 面ACE面BED ；( )求直线 CA 与平面 BEF 所成角的正弦值；( )在线段 AF 上是否存在点M ，使得二面角MBED 的大小为 60 ？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由.18（本小题满分 13 分）已知等比数列an的前 n项和为Sn ，满足 a4 a212 ,S4 +2S2 3S3 ，数列bn 满足 nbn 1n1 bn

8、n n 1， n N * ，且 b11.（1）求数列 an , bn的通项公式；log 2 an， n为奇数2nn2（2）设 cn，Tn 为 cn 的前 n 项和，求 T2n .2 bn ， n为偶数 an19（本小题满分 14 分）如图，已知椭圆x2y21(a b 0) 的左右顶点分别是A,B，a2b2离心率为2 ，设点 P a, t t2，连接 PA 交椭圆于点 C ，坐标原点是 O 2（1）证明：OPBC；（2）设三角形ABC 的面积为 S1 ，四边形 OBPC 的面积为 S2 ，若 S2 的最小值为1，求椭S1圆的标准方程x3x2 +1, x020（本小题满分14 分）已知函数f (

9、x)exax , x0, g( x)ln xaxm .（1）当a3 时，求函数f ( x) 的单调区间；（2）若不等式f (x)g( x) 对任意的正实数x都成立，求实数m 的最大整数；（3）当 a0 时，若存在实数m,n0,2, 且 | mn | 1,使得 f ( m)f (n), 求证：e1ae2e【参考答案】一、选择题题号12345678答案BDCCBADA二、填空题9. 310.4811.412. 222 313.11614.4三、解答题15解： (1) fx1 cos2x2，sin2 xcoscos2xsinsin 2x16662k 2x 2k,k Z ，由622k xk,kZ .得

10、63函数 fx的单调递增区间为 k, k kZ . .36(2) 由 2 f (C )1 ，得 sin2C1 ，620 C,2C 13 5666， 2C6, C.63又 sinB2sinA ,由正弦定理得 b2 ;a由余弦定理得c2a2b22abcos，3即 a2b2ab3，由解得 a1,b2.S ABC13ab sin C.2216解：（ 1）方法一：令 A1表示事件 “高二、一班闯过第一关”， A2 表示事件 “高二、一班闯过第二关 ”，329224p( A1) （ ）， p( A2 ) （ ）=，41639则 p( A) p( A1)p(A1 A2 ) (19 )95 3 ；161694

11、方法二： p( A)1-p( A1 A2 )1- 943.1694（2）随机变量 X 的取值为： 0， 1， 3， 6,则p( X 0) 1 ( 3)27 ， p( X 1) ( 3 ) 2 (1 ( 2)2 )5 ,4164316p( X 3) ( 3) 2 ( 2)2(11111111)1 ,43222222228p( X 6) (3 ) 2 ( 2) 2 ( 1 1 1 1 1 1 1 1 )1 ,43222222228X0136P7511161688E(X) 07153161231616881617解： ( )证明：因为面 ADEF面 ABCD ， 面 ADEF面 ABCDAD ，DE

12、面 ADEF ， DEAD ，所以 DE面 ABCD .AC面 ABCD ，所以DEAC ，又因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD ，DEBDD，DE面BED ， BD面 BED ，从而 AC平面 BDE .又因为 AC面 ACE ，所以 面 ACE面BED .( )解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示 .则 A(3,0,0)， F (3,0,26) ， E(0,0,36)， B(3,3,0) ， C (0,3,0) ， CA (3,3,0) ，BE (3,3,3 6) ， EF(3,0,6)，设平面 BEF的法向量为 n(x2, y2, z2 ) ，n BE 03x

13、13 y136z106,则 y1 2 6，z1 3，n EF 0,即6z10， x13x1则 n ( 6，2 6，3) ，所以 cos CA,nCA n- 36- 13.| CA | n |3 23913所以直线 CA 与平面 BEF所成角的正弦值为13.13( )解：点 M 在线段 AF 上，设 M (3,0, t )， 0t26 .则 BM(0,3, t ) ， BE(3,3,36) ，设平面 MBE 的法向量为m( x1, y1 , z1)m BM03 y1tz10，则m BE 0,即3x13 y13 6z1 0令 y1t ,则z13， x13 6t ，则 m(36t, t,3) ，|

14、cosm, CA| m CA | 9 66t |1，|(3 6 t) 2t 22| m | CA |3 29整理得：2t 26 6t 150，解得： t6 ， t5 6 (舍) ，此时 AM1.22AF418解：（ 1）S4 +2S23S3 ,S4S32(S3S2)，a42a3 , q2 ，又 a4a2 12 , a12 ，an2n ，由 nbn 1n1 bnn n 1两边同除以 n n1，得bn1bn1 ，n1n从而数列bn为首项 b11，公差 d1的等差数列，所以bn=n ，nn从而数列bn的通项公式为 bnn2 log22n为奇数1,n为奇数n2 n2, nn n2(2) 由（ 1）知

15、cncn，2nn为偶数2n , n为偶数2n 1 , n所以 T2 nc1c2c3c2n11111112462n213352n12n121232522n1n2462n，2n 1 21232522 n 1设 A2462n12462n1232522n 1 ，则A23252722 n 1 ，24两式相减得3A122222n，42352722n 122n12整理得 A166n 8，所以 T2 n166n8n.9 9 22 n 19 9 22n 12n 119解：（ 1）由 ec =2，得 c21，a2a22a2b2122，椭圆的方程为x2+y21，2，即 bc2c2c2c2x2y212c2c24c2t

16、2x222ct2x2t2c28c40 ，由，整理得：tyx2c22c由 xA2c可得 xC42c32t 2c，4c2t2则点 C 的坐标是42c32t 2c,4tc 2，故直线 BC 的斜率为 kBC2c4c2t 2t 2，4c2tt由于直线 OP 的斜率为 kOP，所以 kBC kOP1，所以 OPBC .2c（2）由（ 1）知，S1122ct 24tc242tc3，24c2t 24c22c(t32tc2 )，S22tc2t 31t2S2 S ABPS AOCt 24c2S14c2t24c2 , t2 ，所以当 t=2 时，S2111 ，c21，S122c2min所以椭圆方程为x2y21.2

17、20解：（ 1）当 a3时， f (x) =- x3 + x2 +1, x lnx - ax + m 对任意的正实数都成立，即 ex-ln x m 对任意的正实数都成立 .(x( 0) ，则 mh(x)，可得x1记) = e -lnh xx xminh (x) = e -x令 ( x) h ( x)ex1 ,则 (x) ex10,xx2所以( x) 在 (0,) 上为增函数，即 h(x) 在 (0,) 上为增函数 .又因为 h (1 ) =e - 2 0 ,2所以 h ( x) 存在唯一零点，记为x0, 则x0( 1 ,1) 且ex010，2x0当 x(0, x0 ) 时， h ( x)0 ，

18、当 x( x0 ,) 时， h ( x)0所以 h( x) 在区间 (0, x0 ) 上为减函数，在区间( x0 ,) 上为增函数 .x-ln x0 .所以 h( x) 的最小值为 h(x0 ) = e0ex0 -1= 0,ex0 =1, x0= -lnx0 ，x0x0所以 h( x0 )1x0 , x0( 1 ,1) ，可得h( x ) (2, 5) .x0202又因为 mh(x)min，所以实数 m 的最大整数为 2.(3) 由题意f (x) = ex - a ，（ x0）令f(x)0, 解得 x ln a ，由题意可得，a 1,当 0x ln a 时， f ( x)0 ；当 xln a 时， f ( x) 0所以函数 f ( x) 在 (0, ln a) 上为减函数，在(ln a,) 上为增函数 .若存在实数 m, n 0,2， f ( m