【人教版】九年级上册数学：《二次函数》全章导学案

1、22.1.1二次函数主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1. 了解二次函数的有关概念 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。3. 确定实际问题中二次函数的关系式。【学法指导】类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。【学习过程】一、知识链接：1. 若在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是 x 的，x 叫做。2.形如 y_（ k0) 的函数是一次函数，当_0 时，它是函数；二、自主学习：1用 16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y( ) 与长方形的长x(m) 之间的函数关系式为。分

2、析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为 y 平方米，那么 y 与 x 之间的函数关系式为y =，整理为y =.2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛写出比赛的场次数m与球队数n 之间的关系式 _3. 用一根长为 40cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 S 与它的半径 r 之间的函数关系式是4. 归纳：一般地，形如，（ a, b, c是常数，且 a）的函数为二次函数。其中 x 是自变量， a 是_，b是_， c是 _1三、合作交流：（1）二次项系数 a 为什么不等于 0？答：。（2）一次项系数 b 和常数项 c 可以为 0 吗？答：.四

3、、跟踪练习1观察： y 6x2 ； y3x25 ； y 200x2 400x200； yx32x ； yx213； yx2x2 这六个式子中二次函数有。（只填1x序号）2.y(m1)xm2 m3x1 是二次函数，则 m的值为 _3.若物体运动的路段s（米）与时间 t （秒）之间的关系为 s 5t22t ，则当 t 4 秒时，该物体所经过的路程为。4. 二次函数 yx2 bx 3 当 x 2 时， y 3，则这个二次函数解析式为5. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40m的栅栏围住（如图）若设绿化带

4、的 BC边长为 x m，绿化带的面积为 y m2求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围222.1.2 二次函数 yax2 的图象主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】21知道二次函数的图象是一条抛物线；2 会画二次函数yax 的图象；23掌握二次函数yax 的性质，并会灵活应用 （重点）【学法指导】数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.【学习过程】一、知识链接：1.画一个函数图象的一般过程是；。2.一次函数图象的形状是；二、自主学习（一）画二次函数yx2 的图象列表：x3210123y x 2在图（ 3）中描点，并连线y10y

5、10y879968877566455344233221x1x1x4321O12344321O12344321O1234112122（ 1）（ 2）（ 3）1. 思考：图（ 1）和图（ 2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？3答：2. 归纳： 由图象可知二次函数yx2 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；抛物线 yx2 是轴对称图形，对称轴是； y x 2 的图象开口 _；与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y x 2 的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低” ），即当 x=0 时， y 有最值等于 0.在对

6、称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即 x 0 时， y 随 x 的增大而。（二）例 1 在图（ 4）中，画出函数 y1 x 2， yx2 ， y2x 2 的图象2解：列表：x4321 01234y1 x 224x-1. 1-0. 200.511.5255y 2 x210y归纳：抛物线 y1 x2 ， yx 2 ，928y 2x2的图象的形状都76是；顶点都是 _；54对称轴都是 _；二次项系数3a _0；开口都2；顶1x点都是抛物线的最 _点（填54321O123451“高”或“低”） 23415归纳：抛物线 yx 2 ， yx2 ，627y2x2 的 的 图

7、 象 的 形 状 都89是；顶点都是 _；10（ 4）对称轴都是 _；二次项系数a _0；开口都；顶点都是抛物线的最 _点（填“高”或“低” ） 例 2 请在图（ 4）中画出函数 y1x 2 ， yx 2 ， y2x 2 的图象2三、合作交流：归纳：抛物线 yax 2 的性质1. 图像：52. 当 a 0时，在对称轴的左侧，即 x 0 时， y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，即 x0时 y 随 x 的增大而。3抛物线 yax 2 关于 x 轴对称的抛物线是。4当 a 0 时， a 越大，抛物线的开口越 _；当 a 0 时， a越大，抛物线的开口越 _；因此， a 越大，抛物线的开口越 _。

8、四、课堂训练1函数y3x2 的图象顶点是_，对称轴是，开口向，当7_x_时，有最 _值是 _2. 函数 y6x 2 的图象顶点是 _，对称轴是 _，开口向 _，当x_时，有最 _值是 _3. 二次函数 y m3 x2 的图象开口向下，则 m_24. 二次函数 ymxm 2 有最高点，则 m _5. 二次函数 y(k 1)x 2 的图象如图所示，则 k 的取值范围为 _6若二次函数 yax 2 的图象过点（ 1， 2），则 a 的值是 _7 抛物 线 y5x2 y2x2 y5x 2 y7x2开 口从 小到大排 列是；（只填序号） 其中关于 x 轴对称的两条抛物线是和。61x 2 上的一点，则 b

9、=；过点 A 作 x8点 A（ ， b）是抛物线 y2轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是。9如图， A、B 分别为 yax 2 上两点，且线段ABy 轴于点（ 0,6 ），若AB=6，则该抛物线的表达式为。10. 当 m=时，抛物线 y(m 1) xm2m 开口向下22.1.3二次函数 ya x h2k 的图象（一）主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1知道二次函数yax 2k 与 yax 2 的联系2. 掌握二次函数 y ax 2 k 的性质，并会应用；【学法指导】类比一次函数的平移和二次函数 y ax2 的性质学习，要构建一个知识体系。【学习过程】一、知识链接：直线 y

10、2 x 1可以看做是由直线 y2 x得到的。由此你能推测二次函数 yx 2 与 yx22 的图象之间又有何关系吗？猜想：。二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数yx2 ， y x 21 ， yx21 的图象xy3 2 10123yx 21y =x 2yx 217xO11 填表：有最高（低）开口方向顶点对称轴点增减性yx2yx21y x212可以发现， 把抛物线 yx 2 向_平移 _个单位，就得到抛物线 yx21；把抛物线 yx2 向 _平移 _个单位，就得到抛物线 y x 21.3抛物线 yx2 ， yx21， yx21 的形状 _开口大小相同。三、知识梳理：（一）抛物线 yax

11、 2k 特点：1. 当 a 0 时，开口向；当 a0 时，开口；2. 顶点坐标是；3.对称轴是。（二）抛物线 y ax 2k 与 y ax 2 形状相同，位置不同， yax 2k 是由 yax2平移得到的。（填上下或左右）（三） a 的正负决定开口的； a 决定开口的，即 a 不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两8条抛物线 a 值。三、跟踪练习：1. 抛物线 y 2x 2 向上平移 3 个单位，就得到抛物线 _；抛物线 y 2x2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 _2抛物线 y3x 22 向上平移3 个单位后的解析式为，它们的形状_，当 x =时，

12、 y 有最值是。3由抛物线 y5x23 平移，且经过（ 1,7 ）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向平移个单位得到的。4.写出一个顶点坐标为（0， 3），开口方向与抛物线yx 2 的方向相反，形状相同的抛物线解析式 _5.抛物线 y4x 21关于 x 轴对称的抛物线解析式为_6. 二次函数 y ax 2 k a 0 的经过点 A（ 1，-1 ）、B（2，5）.求该函数的表达式； 若点 C(-2 ， m ),D （ n ， 7）也在函数的上，求m 、 n 的值。922.1.3 二次函数 ya x h 2k 的图象（二）主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1会画二次函数 ya(

13、 xh) 2 的图象；2. 知道二次函数 ya( xh) 2 与 yax 2 的联系3. 掌握二次函数 y a(x h) 2 的性质，并会应用；【学习过程】一、知识链接：1.将二次函数 y2x 2 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为。2.将抛物线 y4x21 的图象向下平移 3 个单位后的抛物线的解析式为。二、自主学习画出二次函数 y (x1) 2 ， y( x 1) 2 的图象；先列表：x401234321y(x1) 2y(x1) 210y归纳：（ 1） y ( x1)2 的开口向，对称109y = x2轴是直线，顶点坐标是。87图象有最点，即 x =时， y 有65最值是；43

14、在对称轴的左侧， 即 x时， y 随 x 的增21x大而；在对称轴的右侧，即 xO1234 56 7876 54 32 111时 y 随 x 的增大而。2y (x 1) 2 可以 看 作由 yx 2 向平移个单位形成的。（ 2） y(x1)2 的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是，图象有最点，即 x =时， y 有最值是；在对称轴的左侧， 即 x时，y 随 x 的增大而；在对称轴的右侧，即 x时 y 随 x 的增大而。y( x1) 2 可以看作由 yx 2 向平移个单位形成的。三、知识梳理（一）抛物线 ya( xh) 2 特点：1. 当 a 0时，开口向；当 a0 时，开口；2. 顶点坐标是；

15、3.对称轴是直线。（二）抛物线 ya( xh)2 与 yax 2 形状相同，位置不同， y a( xh) 2 是由 y ax2平移得到的。（填上下或左右）（三） a 的正负决定开口的； a 决定开口的，即 a 不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线11a 值。四、课堂训练1抛物线y2 x 32；对称轴是直线；的开口 _；顶点坐标为 _当 x时， y 随x 的增大而减小；当 x时， y 随 x 的增大而增大。2. 抛物线 y2( x 1)2 的开口 _；顶点坐标为 _；对称轴是直线_；当 x时， y随 x 的增大而减小； 当 x时， y 随 x 的

16、增大而增大。3. 抛物线y21的开口；顶点坐标为；2x_；对称轴是 _4. 抛物线 y5x2 向右平移 4 个单位后，得到的抛物线的表达式为 _5. 抛物线 y4x2 向左平移 3 个单位后，得到的抛物线的表达式为 _6将抛物线 y12x 2向右平移 1 个单位后，得到的抛物线解析式为 _37抛物线y 4 x22y轴的交点坐标是_，与 x轴的交点坐标为与_8. 写出一个顶点是（ 5， 0），形状、开口方向与抛物线 y2x2 都相同的二次函数解析式 _1222.1.3 二次函数 ya xh 2k 的图象（三）主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】 1会画二次函数的顶点式ya xh

17、 2k 的图象；2掌握二次函数 y a xh 2k的性质；【学习过程】一、知识链接：1. 将 二 次 函 数 y-5x2 的 图 象 向 上 平 移 2个单位，所得图象的解析式为。2. 将抛物线 yx2 的图象向左平移 3 个单位后的抛物线的y10解析式为。9y = x2二、自主学习8y x127在右图中做出2的图象：6观察： 1. 抛物线 yx22开口向541；顶点坐标是；对称轴是直线。322. 抛物线 yx 122， 位1x2 和 y x 的形状4321O12345置。（填“相同”或“不同” ）123133. 抛物线 y x 12是由 yx2 如何平移得到的？答：2。三、合作交流平移前后的

18、两条抛物线a 值变化吗？为什么？答：。四、知识梳理结合上图和课本第35 页例 3 归纳：（一）抛物线 ya( xh) 2 +k 的特点：1. 当 a 0 时，开口向；当 a 0 时，开口；2. 顶点坐标是； 3.对称轴是直线。（二）抛物线 ya( xh)2 +k 与 yax2 形状，位置不同， ya( x h) 2 +k 是由y ax2 平移得到的。（三）平移前后的两条抛物线 a 值。五、跟踪训练1. 二次函数 y1 ( x 1) 22 的图象可由 y1 x 2 的图象（）22A. 向左平移 1 个单位，再向下平移2 个单位得到B. 向左平移 1 个单位，再向上平移2 个单位得到C. 向右平移

19、 1 个单位，再向下平移2 个单位得到D. 向右平移 1 个单位，再向上平移2 个单位得到2. 抛物线 y1x 65 开口，顶点坐标是，对称轴23是，当 x时， y 有最值为。y3x2yx23y2( x3)2y4( x5)23开口方向143.填表：顶点对称轴4.函数 y2 x21的图象可由函数 y2x2 的图象沿 x 轴向平移个单3位，再沿 y 轴向平移个单位得到。5.若把函数 y5 x2的图象分别向下、 向左移动 2 个单位，则得到的函数解析23式为。6.顶点坐标为（ 2，3），开口方向和大小与抛物线 y1 x2 相同的解析式为（）A y1 x 23B y1 x 2322222C y1231

20、22x2D yx3227.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y2x2相同，对称轴和抛物线 y x22 相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式 .1522.1.3 二次函数 ya x h 2k 的图象（四）主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】会用二次函数ya xh 2k 的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：1.抛物 线 y2( x+1)23开口向，顶点坐标是，对称轴是，当 x时，y 有最值为。当 x时， y 随 x的增大而增大 .2.抛物线 y2( x+1)23 是由 y2x2 如何平移得到的？答：。二、自主学习1. 抛物线的顶点坐标为（ 2， -3 ），且经过点（

21、3,2 ）求该函数的解析式？162. 仔细阅读课本第10 页例 4：y B分析：由题意可知：池中心是，水管是，点是3A喷头，线段的长度是 1 米，线段的长度是3 米。21由已知条件可设抛物线的解析式为。抛物C xD线的解析式中有一个待定系数， 所以只需再确定个点的坐标1O 1 23即可，这个点是。1求水管的长就是通过求点的坐三、能力拓展1. 知识准备y24 与 x 轴交于 A,B 两点，交 y 轴于点 D，抛物线如图抛物线 y x 1BxA O的顶点为点 C（ 1） 求 ABD的面积。DC（ 2） 求 ABC的面积。（ 3） 点 P 是抛物线上一动点，当 ABP的面积为 4 时，求所有符合条件

22、的点 P 的坐标。（ 4） 点 P 是抛物线上一动点，当 ABP的面积为 8 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。（ 5） 点 P 是抛物线上一动点，当 ABP的面积为 10 时，求所有符合条件的点 P 的坐标。1722.1.4 二次函数 yax 2bx c 的图象主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1. 能通过配方把二次函数yax 2bxc 化成 ya(xh)2 +k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2 熟记二次函数 yax 2bx c 的顶点坐标公式；3会画二次函数一般式yax2bxc 的图象【学习过程】一、知识链接：1. 抛物线 y 2 x 32；对称轴是直

23、线；当 x =时1的顶点坐标是y 有最值是；当 x时， y 随 x 的增大而增大； 当 x时， y随 x 的增大而减小。2. 二次函数解析式 ya(x h)2 +k 中，很容易确定抛物线的顶点坐标为，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。二、自主学习：（一）、问题：（ 1）你能直接说出函数 yx22x2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（ 2）你有办法解决问题（ 1）吗？解：18yx 22x2 的顶点坐标是，对称轴是.（ 3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质.（ 4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： yx22x2 y ax 2 bx c（ 5 ）归 纳

24、： 二次 函 数 的 一般 形式 yax 2bxc 可以 用配 方 法转 化成 顶点式 ：，因 此抛 物线 yax 2bxc 的 顶点 坐标是；对称轴是，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴， 这种方法叫做公式法。用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。y2x234 y2x2x 2 yx24xx1922.1.5用待定系数法求二次函数的解析式主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1. 能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2. 会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：已知抛物线的顶点坐标为（ -1 ，2），且经过点（

25、 0,4 ）求该函数的解析式 .解：二、自主学习1. 一次函数 ykxb 经过点 A(-1,2)和点 B(2,5),求该一次函数的解析式。2. 已知一个二次函数的图象过（ 1，5）、（ 1, 1 ）、（ 2， 11）三点，求这个二次函数的解析式。20三、知识梳理用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2 种方法：设顶点式 ya x h 2k 和一般式 y ax2bx c 。1已知抛物线过三点，通常设函数解析式为；2已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为。四、跟踪练习：1已知二次函数的图象的顶点坐标为（2， 3），且图像过点（ 3， 1），求这个二次函数的解析式2. 已知二次函数 yx

26、 2xm 的图象过点（ 1，2），则 m 的值为 _yB5. 如图，直线 y 3x3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，过 A,B 两点的抛物线交 x 轴于另一点AC xC（3,0 ），O（ 1）求该抛物线的解析式； 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使 ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q点坐标；若不存在，请说明理由 .2122.2 用函数观点看一元二次方程（一）主备人：审核人：九年级数学组时间 :姓名：【学习目标】1、 体会二次函数与方程之间的联系。2、 理解二次函数图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，【学习过程】一、知识链接：1. 直线 y2x4 与

27、 y 轴交于点，与 x 轴交于点。2. 一元二次方程 ax2bxc0 ，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；二、自主学习1. 解下列方程（ 1）2230（ ）2（ ）2xx2 x 6x 9 03 x 2x 3 02. 观察二次函数的图象，写出它们与 x 轴的交点坐标：函数y x22x 3y x26x 9y x22x 3yyy11y=x 2 -2x-3112-6x+9210y=xy=x-2x+31022-2Ox1012-1-2Ox1012-3-2-1-4Ox1012-5图象交与 x 轴交点坐标是与 x 轴交点坐标是与 x 轴交点坐标是点3. 对比第

28、 1 题各方程的解，你发现什么？三、知识梳理：一元二次方程 ax 2bx c0 的实数根就是对应的二次函数y ax2bx c 与 x轴交点的.（即把 y0 代入 y ax2bx c ）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为x1、x2 ）二次函数 y ax 2bx c与一元二次方程 ax2bx c 0y与 x 轴有个交点b 24ac0，方程有(,)(,)Ox的实数根y(,)O xyO x与 x 轴有个交点；这b 24ac0，方程有个交点是点实数根与 x 轴有个交点b 24ac0，方程实数根 .二次函数 yax2bx c 与 y 轴交点坐标是.四、跟踪练习1. 二次函数yx23x2 ，当 x 1时，y；当y 0 时，x_2抛物线 yx24 x3 与 x 轴的交点坐标是，与 y 轴的交点坐标是；3. 二次函数 yx24x6 ，当 x _时， y 323（ 4）（5）4. 如图，一元二次方程 ax 2bxc0 的解为。5. 如图，一元二次方程 ax 2bxc3 的解为。6. 已知抛物线229 的顶点在x轴上，则 k yxkx_7已知抛物线 ykx 22 x1 与 x 轴有两个交点，则 k 的取值范围是