仪表与系统可靠性第2讲概论

1、仪表与系统可靠性 第1、2讲_概论,讲课内容 1、可靠性的概念 2、仪表的可靠性评价指标 3、故障分布函数及其特征量 4、可靠性常用的统计分布,一、产品可靠性的概念 仪表是人们进行科学实验和实现生产过程参数自动检测和自动控制的重要技术工具，因此对它的可靠性要求愈益显得重要。 衡量产品的质量，通常包括两类性质的指标：一是产品的性能指标是否达到满足功能要求；二是在工作中能否连续满足功能要求，即技术指标保持的程度和产品损坏情况。前者是产品的性能问题，后者就是产品的可靠性问题。 产品的技术性能与可靠性的关系是极为密切的，无数事例说明，如果产品不可靠，它的技术指标再好，也难以发挥作用，譬如一台仪表，尽管

2、其测量准确度、灵敏度等指标都很高，但却常出故障(即产品容易丧失规定的功能)，那么其测量值也就不可信了，甚至不能被实际使用。 因此，可以说产品的可靠性是产品质量的基础。没有可靠性这个基础，理论上再先进、技术指标再高的产品也是没有多少使用价值的。,第一节 概述,第一节 概述,二、可靠性的发展过程 可靠性是衡量机械产品质量的重要指标一之。 可靠性理论是二次世界大战从保证军用产品的高可靠性而发展起来的。（举例） 例1：德国的V-2火箭 例2：美国的军用雷达 例3：美国的电子产品的故障问题 研究方法：运用概率论和数理统计学进行。 美国1942年开始对电子产品中主要故障元件-真空管，进行深入可靠性研究。

3、952年美国成立AGREE（电子设备可靠性顾问团） 1954年美国召开第一届可靠性与质量管理会议，日本1958年，英国1962年。 发展过程：四十年代：电子产品六十年代：空间科学机械可靠性研究七十年代：集成电路八十年代初：软件可靠性,第一节 概述（续）,三、仪表可靠性研究的必要性 1、过程系统趋向大型化、复杂化 随着生产过程自动化水平的提高，过程控制系统的规模越来越大，越来越复杂。例如年产30万吨乙烯的大型装置，检测点多达2500个，调节回路有460多个，其中除常规的PID调节外，尚有均匀、分程、串级、选择等复杂调节，整个系统使用仪表数以千计。它们对生产过程起着监和控制作用，确保生产安全和高产

4、优质。 对于如此庞大的系统，假如每台仪表平均每年出现一次故障(即平均故障率约为1 千小时)，那么，该系统每天将会出现数次故障；如果平均故障率为10千小时，则每天将出现数十次的故障，这无疑将影响生产的正常进行，甚至造成严重事故。系统越复杂，出现故障的机会就越大，使系统的可靠性降低。 因此，随着系统复杂程度的增加，对它的可靠性提出了更高的要求。,2仪表使用环境条件日益严酷 生产的发展和科学技术的进步，促使自动检测和自动控制的领域和对象逐渐扩大，仪表的应用范围越来越广，从实验室到工厂、从室内到野外，从热带到寒带、从山谷到高原，从地面到天空和海洋，各种仪表的使用环境条件日益严酷。例如在高温、腐蚀性气氛

5、、振动、辐射等恶劣环境下，仪表的故障率将会增加。 为了使仪表能适应各种环境条件，也必须提高其可靠性。 3新材料、新工艺越来越多的采用 产品越先进，采用的新材料、新工艺也越来越普遍，而尚未注意到的地方、没有研究开发的领域也增多。所有这些都是产生不可靠、不安全的因素。因此更需要加强可靠性的研究。,第一节 概述（续）,第一节 概述（续）,4、经济效益要求 产品设计既要保证质量、提高可靠性，同时又要降低成本，获得较大的经济效益。由于现代化仪表在生产和科学实验中所处的特殊地位，一旦出了故障，造成的影响和经济损失有时是相当严重的。以每秒轧制30多米钢材的高速轧钢机为例，假若其中某一台关键的仪表出现故障，轻

6、则控制偏差增大，造成次品，重则发生生产事故，停机停产，甚至酿成设备损坏，人员伤亡等严重后果，经济损失已远远超出一台仪表原有的价值。 由此可见，仪表结构功能越复杂，仪表使用环境越恶劣，要求仪表使用寿命越长，可靠性，问题就越尖锐突出。为了解决这些问题，对仪表必须进行可靠性研究工作。,第一节 概述（续）,四、可靠性学科研究的基本内容与应用 可靠性学科所涉及的内容相当广泛，大致可分为三个方面：可靠性理论基础、可靠性工程、可靠性管理。 可靠性理论基础包括可靠性数学及可靠性物理(又称故障物理)。 可靠性工程包括系统和零部件的可靠性设计、制造的可靠性、可靠性试验、使用及维修的可靠性等方面。 可靠性管理包括可

7、靠性计划，组织可靠性设计评审，进行可靠性认证，制订可靠性标准、可靠性增长、确定可靠性指标等等。 根据仪表专业的学习内容和学时要求，对上述内容不可能全部介绍。主要讲述有关可靠性基础及其在仪表可靠性设计、分析、试验过程中的应用。通过此课程的学习能够在今后的仪表设计、制造以及生产管理中能运用可靠性知识去解决一些实际问题。 可靠性应用（主要有以下几个方面） 1）方案论证 2）设计研制 3）生产及试验 4）现场使用,第二节 仪表的可靠性评价指标,可靠性的数值指标就是指评价产品可靠性的尺度指标，常用的有：可靠度、故障率、平均寿命、有效寿命、可维修度、有效度、重要度。 一、可靠性 1、可靠性的定义 简单地说

8、可靠性是指零部件（或系统）在规定的时间内能保持正常工作能力的特性，是人们用于衡量零部件质量的重要指标之一。有关可靠性的定义表述有多种，归纳起来应用较普遍且具有代表性的表述为（二种）： 所谓可靠性（Reliability）是指零部件（或系统）在规定的时间内、规定的条件下、完成规定功能的可能性。 所谓可靠性是指“系统、机器、零部件等的功能在时间上的稳定性”。 上述两种定义的表述中在文字上不同，但其实质性含义是一致的，在定义中包含了可靠性的研究对象、规定的条件、规定的时间、规定的功能等四大要素。,可靠性的定义中的四大要素： 第一，定义中的研究对象包括系统、机器、零部件等等。它可以是非常复杂的产品，也

9、可以是一个简单的零件。 第二，定义中的功能系指零部件、系统的预期功能，即它应实现的使用目的。功能，如电灯泡的照明功能，汽车的运行功能等。如果对象在实际使用中，不能实现规定的功能时，就称为研究的对象发生失效或功能故障，反之则称为对象可靠，能正常工作。 第三，定义中的规定条件包括环境条件、维护条件及使用条件。环境条件，如环境温度、湿度、振动、润滑状况等；维护条件，如能否维修保养、维修条件、使用者的技术水平等；使用条件，如使用方法、使用频率等。对象如果超载运行、误用、操作不当或故意的破坏行为等情况均会产生对象的功能故障，故研究对比可靠性必须规定条件。 第四，定义中的规定时间是指对象的工作期限，或经济

10、寿命期（ELT），可以用时间表示，也可以随对象的不同采用诸如次数、周期、距离等表示。例如，滚动轴承的工作期限用时间，车辆的工作行程用公里数，齿轮的寿命用应力循环次数表示。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,2广义可靠性与狭义可靠性 一般地，系统、机器、零部件等随着使用时间的增长会产生损坏或故障，当发生故障一般有两种处置方式，即废弃或修复故障恢复功能继续使用。 针对废弃的不可修零部件而言，它们的可靠性称为狭义可靠性，而后一种可修系统、机器的可靠性称为广义可靠性。它除考虑狭义可靠性外还要考虑发生故障后修理的难易程度即维修性。 狭义可靠性、维修性和广义可靠性三者之间存在下述关系表达式： 狭义可靠性

11、+维修性=广义可靠性,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,3固有可靠性和使用可靠性 通过设计、制造形成的系统、零部件等的可靠性称为固有可靠性，而系统等在广义使用条件的作用下，保证固有可靠性的发挥程度称为使用可靠性，一般地，它们使下式成立： 固有可靠性使用可靠性 在使用中，固有可靠性与使用可靠性的综合，就形成了系统的工作可靠性。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,二、可靠性的评价尺度 为了评价机械零部件、机器、系统等的可靠性、必须对可靠性制定一些行之有效的指标，并加以数量化。 衡量可靠性的尺度主要有可靠度、故障率、平均寿命、维修度，有效度、重要度等。 从以上衡量指标可知可靠性尺度具有以下特点：

12、 （1）可靠性尺度具有多指标性。在不同的场合和不同的情况下，可用不同的指标来表示系统的可靠性。 （2）可靠性尺度具有随机性。研究对象在规定的时间内保持正常功能的可靠性是随机的，一般用概率方法进行定量衡量。 （3）可靠性具有定量表示的时间性，即定量指标多是时间的函数。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,1.可靠度（Reliability） 可靠度是指零部件或系统在规定的条件下和规定的时间内，能正常行使功能的概率。 假设E表示上述定义中的对象在诸条件下正常行使功能的事件，则出现该事件的概率即为它的可靠度，即: (1.1) 因可靠度是时间的函数，不同的工作时间其可靠度不同，故它的另一种表述形式为零

13、部件或系统的寿命T不低于规定工作时间t的概率。 (1.2),第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,与可靠度对立的就是不可靠度，它表示零部件或系统的不可靠程度，即: (1.3) 或 (1.4) 可靠度与不可靠度存在下述关系，即R（t）与F(t)互补（见图1.1）。 （1.5) 例如，有1000个某种零件，在工作了10年后，有80个发生了故障（或故障），其余的100080=920个零件仍能继续工作，那么其可靠度为: R(10)= %,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,2. 故障率（Failure Rate） 故障率系指零件、产品、系统工作到t时刻后在单位时间内故障的概率，它反映了研究对象在任一瞬时

14、故障概率的变化趋势。 设有N个零件，从t=0开始工作，到时刻t时故障总数为n(t)，则残存数Nn(t)，又设在(t+t)时间内又有n(t)个零件故障，则定义时刻t的故障率为： （1.6) 故障率与可靠度的关系为： （1.7) 式中： 是机械系统或零件的寿命分布概率密度函数。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,将系统的故障率(t)随时间变化的函数用曲线在坐标(t)t上绘出，则反映了系统工作全过程的故障趋势变化情况。它反映了系统故障率曲线的不同阶段与工作时间, 见图1.1。从图中我们可以看出它的形状与浴盆的剖面十分相似，故又称为浴盆曲线，它反映了系统故障的三个特征时间期。,第二节 仪表的可靠性评

15、价指标（续）,图1.1 浴盆曲线图,产品使用寿命,(1) 早期故障期：它的特征在于系统一开始工作时故障率较高，但随工作时间的增长呈下降趋势。通常是由于设计、制造、工艺缺陷或检验等原因引起的，它可以通过筛选、检验、强化试验等方法加以排除。 (2) 随机故障期：它的特征是系统故障率很低且在数值上基本保持恒定，故障处于完全不可预测的状态。零部件或系统的故障是由偶然原因所引起的，这一时期是零部件或系统的正常工作时期，因此我们总希望其故障率低且持续时间长。 (3)耗损故障期：它的特征是系统故障率随时间逐渐上升，且上升趋势较快，此种形式多见于机械零件的磨损寿命。该类型的故障是由零部件或系统的耗损与老化所引

16、起的，一般可以通过“事前维修”来加以防止。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,故障率函数曲线的推广： 随着科学技术的发展，数控机械系统、加工中心等现代化机械系统不断出现。这些精密、大型、数控等结构复杂机械系统的故障规律与传统的浴盆曲线相背离，促使人们对这些机械系统的故障规律进行深入研究。研究发现，除典型的浴盆曲线外，还有五种故障率曲线，如图所示。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,故障率曲线1显示，系统具有恒定的或者略增的故障率，接着就是磨损期；据统计2%的复杂机械系统遵循该故障率曲线；,图1.2,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,故障率曲线2显示，机械系统缓慢增长的故障率，但没有明显的

17、磨损期；据统计约5%的复杂机械系统遵循该故障率曲线；,故障率曲线3显示，新机械系统从刚出厂的低故障率，急剧地增长到一个恒定的故障率，据统计约2.7%的复杂机械系统遵循该故障率曲线；,图1.3,图1.4,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,故障率曲线4显示，机械系统整个寿命周期内的一个恒定的故障率。据统计约有14%的复杂机械系统遵循曲线D；,故障率曲线5显示，开始有高的初期故障率，然后急剧地降低到一个恒定的或者是增长极为缓慢的故障率，据统计不少于68%的复杂机械系统遵循该故障率曲线。,图1.6,图1.5,3. 平均寿命 平均寿命对不可修与可修的零部件或系统其含义不同。针对不可修系统是指它的平均无

18、故障工作时间MTTF（Meam Time To Failure），其数学表达式为: (1.8) 式中，N是样品数；ti是第i个零件的无故障工作时间。 对可以修复的系统而言平均寿命系指平均故障间隔时间MTBF（Meam Time Between Failure），其数学表达式为： (1.9) 式中，tij是第i个零件的第j次故障间隔时间；ni是第i个零件的故障数；N是零件的总数。 结合式（1. 8）和（1.9）平均寿命的统一表述形式为: (1.10),第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,4. 维修度（Maintainability） 维修度系指可修的系统、机器或零部件等在规定的条件下和规定的时间

19、内完成维修的概率，用M(t)表示。 维修度与可靠度相对比知它们均是时间的函数，且都是用概率来度量的，用曲线的形式表达。但它们之间具有不同点，即维修度还与人的因素有关，一般地维修度受到以下三个因素的影响。 （1）受承受维修设备的影响，即结构设计上故障发生是否容易发现和易于排除。 （2）维修技术人员水平的高低。 （3）维修条件，即设备维修与工具的先进性及是否齐备。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,若用非负随机变量t来描述处于故障状态机械系统的维修时间时，则维修度函数M(t)表示给定时间区间（0，t）机械系统被维修的概率： (1.11) 将维修度函数M(t)对维修时间t求导数，即为维修度分布密度

20、函数，用m(t)表示，有： (1.12) 或者： (1.13) 一般，系统的维修时间主要服从于指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布等。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,5、修复率(repair rate) 一般情况下，修复率是维修时间t的函数，用(t)表示，它表示t时刻处于故障状态的机械系统单位时间内被修复的概率，也称为瞬时修复率。其定义为：在规定的条件下和规定的时间内，机械系统在规定的维修级别上被修复的故障总数与此级别上修复性维修总时间之比。修复率(t)与机械可靠性中的故障率函数(t) 相对应。根据定义，(t)的函数表达式为： (1.14) 与维修度分布密度函数m(t)的关系为：

21、 (1.15) 当维修时间服从指数分布时，修复率为一常数，用表示，此时维修度密度函数为： (1.16),第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,6、平均维修时间(mean time to repair，记为MTTR) 现场维修时间包括预防维修时间、维修准备时间和修复性维修时间，其平均值称为平均维修时间(mean maintain time，MMT)。 修复性维修时间也称为维修时间，它是故障诊断时间和修理时间之和。MTTR的定义为：在规定的维修条件下和规定的维修时间内，机械系统在某一规定的维修级别上，维修时间总和与维修故障总数之比。 当已知机械系统维修度分布密度函数m(t)时，MTTR由下式计算：

22、（1.17） 当维修时间分布函数已知且服从指数分布，MTTR为一常量。一般研制中的系统只考虑平均维修时间，这也是系统的固有特性。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,7.有效度（Availability） 有效度是将可靠度与维修度综合起来的一个可靠性评价尺度。它表示系统、机器或零部件在规定的使用条件下使用时，在任意时刻正常工作的概率。 一般地对可修产品的可靠度，若发生故障但因能在规定的时间内修复后又能正常工作，从而使系统、机器或零部件处于正常工作的概率增大。 系统长时间使用的平均有效度可以用时间系数加以表示，即: (1.18),第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,1）瞬时有效度（transie

23、nt availability） 指系统的瞬时有效度是在t时刻机械系统处于可用状态的概率，是时间t的函数，用A(t)表示。 2）平均有效度 平均有效度是用于衡量时间间隔和过程的有效度， 用 表示，它是给定时间间隔内有效度A（t）的平均值。 3）稳态有效度(steady state availability) 瞬时有效度A(t)的极限即为机械系统的稳态有效度。 (1.19),第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,8. 重要度（Importance） 重要度是指系统或机器的某构成部份发生故障时，能引起系统或机器发生故障的概率，可用下式表示： 重要度E = (1.20 ) 当E =1时，表示该构成部分

24、发生故障时，系统必将丧失工作能力；当E =0时，表示该构成部分发生故障时，不影响系统正常工作；当E 在（0，1）区间变化时，表示该构成部分发生故障时，系统以相应的概率发生故障。,第二节 仪表的可靠性评价指标（续）,第三节 故障分布函数及其特征量,一、故障分布函数 可靠性技术贯穿在从产品的设计、制造、试验、使用和维修等整个过程中。对整个过程中的各个阶段的有关故障的各种信息、数据进行收集和分析是极其重要的。如在设计阶段收集并分析同类零部件的故障信息数据，可以对新设计的零部件的可靠性进行预测，这种预测有利于方案的对比和选择。 例如表l，是对某零件进行强化试验的故障记录,第三节 故障分布函数及其特征量

25、（续）,上表中的数据是按等时间间隔来分组，计算出散布在各组内故障的个数，该故障数据是通过对收集的数据进行处理后得到的,方法为: 1）将最大数据-最小数据值，然后分成68组等间隔的数据区间； 2）统计所收集数据在各个区间中的数据个数； 3）计算每一个区间中故障数据出现的频率，公式为： （1.21),将表l中某零件的每组试验数据在以每组频数（或频率）为纵坐标，工作时间t为横坐标用方框的形式绘出，即得到直方图。见图1. 7所示。,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,图1. 7 直方图,如果增加子样容量n，并将区间宽度缩短，那么相应的频率分布图逐渐呈一光滑曲线(虚线)。这条曲线叫做该机械零件的故障概

26、率密度曲线，用 表示，函数 称为概率密函数，它表示了母体的频率的分布规律。,如果以累积频率作为纵坐标，即可绘制成图1.8a所示的累积频率分布图。当子样增多而时间间隔缩短时，将得到一条光滑曲线，这条曲线表示母体的累积频率分布曲线，通常称为故障累积频率分布曲线，简称概率分布曲线，用F (t )表示。 实验和理论分析都指出：随着试验次数的增加，概率密度曲线将保持一个稳定的形态，变成连续的分布曲线。,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,图1.8,令 为故障密度函数，则有: (1.22) 对该式积分得： (1.23) 即故障密度函数曲线下的总面积等于1。 对任意时间t的累积故障函数F(t)为: (1.

27、24) 以图1.8b中的阴影线面积表示。因R(t)=1-F(t)，故可靠度函数R(t)在图1.8b中为无阴影线的面积.,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,二、故障分布的特征量 为了对随机变量的分布有一个清晰的概貌，必须了解上述频率分布的平均值，分散程度，范围等特征量。当知道分布函数的型式，找到这些特征量时，分布函数(密度函数或概率函数)也就随之确定了。 1均值 对于有n个数值的离散变量 ，其均值 为： （1.25) 2加权均值 如上 表示观测值的大小， 。 表示各相同观测值的个数，n是观测值的总数，则加权均值 为： (1.26),第三节 故障分布函数及其特征量（续）,是观测值 的概率。 例

28、如，表1中每组故障时间均值分别为500，1500，2500，3500，4500，5500h，则这批零件的平均故障时间为： 这批零件的加权均值故障时间为： 由上面计算结果表明，加权均值比较地更能真实的反映出乎均故障时间。 3数学期望 反映随机变量取值“平均”意义特征值，恰好是这个随机变量取一切可能值与相应概率乘积的总和，即： （1.27),第三节 故障分布函数及其特征量（续）,式中，E(t)称为随机变量t的数学期望值，或称为平均值E(t)。 当t为连续型随机变量时，可用母体的数学期望表示： (1.28) 式中f (t)为随机变量的分布密度函数。 E(t)也称为平均无故障时间，在不可修复系统中也叫

29、做平均寿命，或叫期望寿命。 4中位数 凡是满足方程 (1.29) 的x值，称为该母体的中位数。这个中位数就是分割母体两等分的点，记作 ，表示分布中心位置的特征量。 5、众数 它是使f(t)达到最大值的t值，用 表示。如果密度函数可微分，则有:,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,它是密度曲线峰值的位置。 6、分位数 预先给定某一概率值P0，求出相应于概率值P 的x值是多少，即求满足方程： （1.30),的x值，记为 ，叫做“下侧分位数”，P 表示分布在左端的面积。当然，也可用右端的面积表示为: (1.31),式中 ，叫做“上侧分位数”。(见图1.9),第

30、三节 故障分布函数及其特征量（续）,图1.9,7方差和标准差 方差或标准差用来衡量随机变量的分散程度，即随机变量取值对均值的偏离程度。,第三节 故障分布函数及其特征量（续）,样本方差 样本标准差,(1.32) (1.33),式中 ，n是样本容量； 观测值，i=1，2，n； 是样本均值。 当样本容量很大，S 2 、S 趋向一个较稳定的数值，这个数值比较真实地反映出母体的分散和集中程度，其数学定义为：,(1.34),第四节 可靠性常用的统计分布,一指数分布 指数分布是一种单参数分布函数，表达式见式（1.35）（1.39），它主要适用于机械系统和设备，电子元件及承受一定载荷而磨损量又小的机械零件寿命

31、的描述。 其数学表达式如下: 概率密度函数: (1.35) 故障概率函数: (1.36),故障率函数：,(1.37),数学期望（均值）: (1.38),方差: (1.39) 由以上表达式可知，只要确定其单一参数（故障率），即可靠度函数就完全确定。 1、指数分布的特性 指数分布具有一个显著的特点，即无记忆性。 如果某机械系统的故障率为常数，则它从开始到工作时间t周期内的可靠度为e-t，如果在这个时间周期结束时仍可以工作，则在下一个间隔相同的时间周期内，可靠度仍为e-t，因此，从t1到t2的任何一段时间内机械系统的可靠度由条件概率计算得： （1.40）,当t2=2t1时: (1.41) 上式表达了

32、可靠度的大小不依赖于起始工作时间。,第四节 可靠性常用的统计分布(续),例1 某公司生产的仪表标准故障率均值为9x10-6 h，上限为16.1 x10-6 h，求此泵工作到可靠度R=0.99时的平均时间和最短工作时间。 解 可用指数分布来描述仪表的故障分布，由式(1.36)得,第四节 可靠性常用的统计分布(续),平均时间 最短工作时,二正态分布 正态分布是概率分布中最普遍和最常用的一种统计分布，很多自然现象都可以用它来描述，例如工艺误差、测量误差、尺寸误差、材料特性、应力分布等。 正态分布的概率密度函数为: (1.42) 累积概率分布函数为: (1.43),第四节 可靠性常用的统计分布(续),

33、=,上式中包含了二个参数： 均值，是母体的集中趋势尺度，可以证明它是母体的数学期望，即E（t）=； 标准差，反映了随机变量的离散程度，可以证明它为母体方差的开方，即: 。 图1. 10 正态分布,第四节 可靠性常用的统计分布(续),1、正态分布函数的主要特点 和是正态分布的两个特征参数，它们确定下来了，则整个分布的特征就定下来了。改变一定时，分布曲线沿t轴平移而不改变其形状，。如果不变而仅改变，分布曲线的位置不变，但分散程度有所改变，反映在曲线的形状上则是“肥”、“瘦”的不同。 正态分布函数有一个主要的特点，即对称性，且在t=u处，f(t)最大： (1.44),图1.11 正态分布的两个特征,

34、第四节 可靠性常用的统计分布(续),2、一般正态分布向标准正态分布 的转换 一般地，按照式（1.35）计算很繁杂和困难，我们将其表达式进行变换，即: 令z= ，则dt= ，从而有: (1.45) 上式中，和分别是标准正态分布密度函数和累积概率分布函数。 因此，当随机变量t呈正态分布时且均值u和标准差已知，可以将它的分布函数转换为标准正态分布函数，且特性不变，即: (1.46) 有关标准正态变量z所对应的累积概率值，可查附表的标准正态概率积分表。,第四节 可靠性常用的统计分布(续),3、“3法则” 假设t服从均值为u，标准差为的正态分布，那么在区间k的累积概率值可由下式计算。 对上式进行变量代换

35、，令： 则有: 查附表知，正态分布在数值上有如下特征: 正态分布曲线与t轴所围面积等于1。则查表计算得，区间的面积占全部总面积的68.3%；2区间的面积占全部总面积的95.4%；3区间占全部总面积的99.87%，因此可以认为随机变量的值落在3中几乎是一必然事件。通常将正态分布的这种概率法则称为“3法则”。,第四节 可靠性常用的统计分布(续),4、正态分布的故障率函数和可靠寿命 (1.47) 其中： (1.48),图 1.12 3法则,第四节 可靠性常用的统计分布(续),例2 有一批名义直径d=25.4mm的钢管，按规定钢管的直径不超过26mm就是合格品。如果已知钢管直径尺寸服从正态分布，其均值

36、 =25.4mm，标准差=0.30mm，计算钢管的废品率是多少? 解 按式(1.37)求标准正态分布变量,第四节 可靠性常用的统计分布(续),查标准正态分布数表得:,三对数正态分布 正态分布虽然应用较广，但由于分布规律的对称性，往往使得它在使用中受到一定的限制，例如定应力下材料的疲劳寿命及维修时间都不服从正态分布，即分布曲线不对称。 对数正态分布是描述此类寿命与耐久性的一种较好的分布，它解决了对称正态分布在描述试样在未经试验即在t=0时出现故障的不合理性，能使之更符合于实际。 假设随机变量x服从正态分布N（x,x），则t=ex随机变量服从对数正态分布，其概率分布密度函数为: (1.49) 1、

37、有关计算公式,第四节 可靠性常用的统计分布(续),故障概率函数: (1.50) 或写成标准正态分布形式: (1.51) 其中， 可靠度R(t): (1.52) 故障率函数: (1.53),第四节 可靠性常用的统计分布(续),2、对数正态分布曲线 对数正态分布的两个参数x和x，分别称为对数均值和对数标准差，通常x和x确定后分布曲线形状也就确定下来。 图1.13 对数正态分布曲线形状,第四节 可靠性常用的统计分布(续),四威布尔分布 威布尔分布在机械强度的可靠性分析计算中，是除正态分布外经常用于表达强度及寿命的一种分布形式，是瑞典的科学家威布尔（Weibull.W.）1951年在研究链强度时提出的

38、一种概率分布函数。 链由n个相同的环组成，链的两端承受拉力t，假设每个链环拉开的概率为P，环不断的概率为（1-P），则链不断的概率为（1-P）n，因此链断的概率为: = (1.54),第四节 可靠性常用的统计分布(续),图1.14,当tt0时: （2）当链两端的拉力tt0时，链环可能被拉断，此时，00。 （3）随着链两端拉力的增加，链断的概率也应相应增加，即t1t2时，F(t1)F(t2)，由此可见有: 由式（1.54）有: 即，当t1t2时，应使 (t1) (t2)，故 (t )应是非减函数。,第四节 可靠性常用的统计分布(续),1、模型建立 为了建立威布尔模型，作如下假设: (1) 整个链

39、的n个链环存在着一个不被拉断的最低强度t0，当链两端的拉力tt0时，链肯定不会被拉断，即:,同时满足上述三条件的函数 (t)的最简单形式为: (1.55) 将 (t)代入式（1.46）得威布尔分布的概率分布函数: (1.56) 其概率密度函数为: (1.67) 可靠度函数: (1.58) 故障率函数: (1.59） 均值与方差: (1.60) (1.61),第四节 可靠性常用的统计分布(续),2、威布尔分布的参数的含义 上述各式中，m称为形状参数，t0称为位置参数，称为真尺度参数，它们分别代表不同的意义， 称为Gamma函数。 （1）位置参数t0 研究式（1.56）当t0=0时，f(t)的表达式为: (a) 如果t00，则令t=t+t0，则式（1.45）变为: (b) 比较（a）式及（b）式，函数的形