完整版初中圆题型总结20200930080726

1、圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题， 选择 题的形式考查并占有一定的分值；一般在 10分-15分左右，圆的有关性质，如 垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形 式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数， 方程等相结合作为中考压轴题 将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在 性问题仍是热门考题，应引起注意下面究近年来圆 的有关热点题型，举例解析 如下。一、圆的性质及重要定理的考查基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关 系.（3）圆周角定理及推论（4）圆内接四边形

2、性质【例11 （江苏镇江）如图，AB为。O直径，CD为弦，且CD AB，垂足为H .（1）OCD的平分线CE交。O于E，连结0E .求证：E为弧ADB的中点；（2）如果的半径为1，CD .3，求0到弦AC的距离;填空：此时圆周上存在【解析1 (1) QOC0E，又 0CE DCE，0E / CD .EBDCE .又CD AB， A0EB0E 90.E为弧ADB的中点.(2)Q CD AB，AB 为O 0的直径，CD .3，CH -CD .又 0C 1， sin COB 凶 d 3 .22OC 12COB 60o，BAC 30o.11作 OP AC 于 P，贝U OP OA .22【点评】 本题

3、综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的 能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距，本题的弦心距就是指线段 0D的长.在圆中 解有关弦心距半径有关问题时，常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距，把垂 径定理和勾股定理结合起来解题.如图，O 0的半径为r ,弦心距为d,弦长a之间2的关系为r2 d2 -.根据此公式,在a、r、d三个量中,知道任何两个量就可2以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.【例2】（安徽芜湖）如图，已知点E是圆0上的点，.B、C分别是劣弧AD的三等分点，BOC 46,则AED的度数

4、为.【解析】由B、C分别是劣弧AD的三等分点知，圆心角/ AOBM BOCh COD,又 BOC 46，所以/ AOD=138.根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有AED = 69o.点评 本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。CE分别是BC AB上的高,【强化练习】【1】.如图，O0是ABC勺外接圆， BAC 60，AD且AD CE交于点H,求证：AH=AO，求AB2+ cD的值。1oe=2Cd【2】(第25题)如图，O O是厶ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,连接CD，且AE=DE , BC=CE.(1) 求/ ACB的度数；(2) 过点0作OF丄AC于点F,延长F0交BE

5、于点G, DE=3 , EG=2，求AB的长.二、直线与圆的位置关系基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种：如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，此时这条直线叫做圆的 切线,这个公共点叫做切点如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆 相交，此时 这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点2、直线与圆的位置关系的判定；3、 弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；4、和圆有关的比例线段(1) 相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；(2) 推论 如果弦与直径垂直相交

6、，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段 的比例中项；(3) 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项；(4) 推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条 线段长的积相等。5、三角形的内切圆(1)有关概念：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6圆的切线的性质与判定。3=AC - BCJLGNe 0CAC 図、X业0也=-卫 = UnX1)E祐0 OE阮且应VOE * mE，dE【例1】(甘肃兰州)如图，四边形ABCD内接于。0, BD是。O的直径，AE CD ,垂足为E , DA平分

7、BDE .(1)求证：AE是。0的切线;(2)若 DBC 30, DE 1cm，求 BD 的长.AOCED【解析】(1)证明：连接OA, QDA平分BDE ,BDAEDAQOA OD,ODAOAD .OADEDA .OA / CE .Q AE DE ,AED 90,OAEDEA 90.BAE是。0的切线.AE OA.(2) Q BD是直径，BCDBAD90 .Q DBC 30,BDC60,BDE120 .Q DA平分 BDEBDAEDA60.ABDEAD30.在 Rt AED 中，AED90,EAD30, AD 2DE .在 Rt ABD 中，BAD90,ABD30, BD 2ADQ DE的长

8、是1cmBD的长是4cm4DE .D【点评】证明圆的切线,过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线【例2】(广东茂名)如图，O O是厶ABC勺外接圆，且ABAC,点D在弧BC上运动，过点D作DE/ BC DE交AB的延长线于点E,连结AD BD.BCEDCA(1) 求证：/ ADZ E;(2)当点D运动到什么位置时，DE是。O的切线？请说明理由.(3)当AB=5, BC=6时，求O 0的半径.(4分)【解析】(1)在厶ABC中，t AB=ACZ ABCZ C.DE/ BC / ABCZ E， Z E=Z C.又/ ADB=Z C, Z ADB=Z E.(2

9、) 当点D是弧BC的中点时，DE是。O的切线.理由是：当点D是弧BC的中点时，则有ADLBC且AD过圆心O.C又 DE/ BC, ADL ED. DE是。O的切线.(3) 连结BO AO并延长AO交BC于点F,1则 AFL BC,且 BF-BG=3.2又 AB=5,. AF=4.设OO的半径为 r，在 Rt OBF中，OF=4 r , OB=r , BF=3,r 2 = 32 +(4 r ) 2解得r二25 , O的半径是25 .8 8【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论【例4】 已知：如图7,点P是半圆O

10、的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C 点，CDLAB于 D点，若 PA PO 1: 2, DB= 4,求 tan Z PCA及 PC的长。图7证明：连结CB PC切半圆 0于 C点，/ PC*/ B vZ P=Z P,.PA3A PCB AC BC= PAPCr 51 dnACPA1tan 厶PCA = tan B =BCPC2v AB是半圆O的直径，.Z ACB= 90又 v CDL ABE 罗 BD* AB EDBD = -A = 4. AB= AD+ DB= 5v ： . . -刊 :.PC=2PA = :.33【例5】已知：如图8,在Rt ABC中,E为AB上的一点，DE= DC以D

11、为圆心, 求证：(1) AC是。D的切线；(2) AB+ E吐AC分析：(1)欲证AC与。D相切，只要证圆心D到AC的距离等于。D的半径BD 因此要作DF丄AC于F(2)只要证AO AF+ FC= AB+ EB证明的关键是证 BE= FC,这又转化为证 EBD CFD证明：(1)如图8,过D作DF丄AC, F为垂足v AD是Z BAC的平分线，DBL AB . D吐 DF点D到AC的距离等于圆D的半径.AC是O D的切线(2)v AB丄BD, O D的半径等于 BD, AB是O D的切线， A吐AFv在 Rt BED和 Rt FCD中 , ED= CD, BD= FD BEDA FCD - B

12、E= FC AB+ BE= AF+ FC= AC小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点, 可采用“连半径证垂直”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出, 可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类Kx Ml J I-r7【例6】 已知：如图9 , AB为O O的弦,P为BA延长线上一点,PE与O O相切 c于点E , C为朋 中点,连CE交AB于点F。求证：分析：由已知可得 PE = PA- PB因此要证PF = PA- PB,只要证PE= PF。即证Z PFE=Z PER证明一：如图9，作直径CD交AB于点G连结ED, Z CED-

13、 90.点 C为的中点， CDLAB / CFG=Z D PE为。O切线，E为切点 / PEF=Z D,aZ PEF=Z CFG/ CFG=Z PFEPFE=Z PEF - PE= PFpE= pa- pb,. pF= PA- PB连结AC AE.点 C是禹 的中点, AC= BC ,/ CAB=Z AEC PE切O O于点 E,aZ PEAZ CvZ PFE=Z CABZ C,Z PEF=Z PEAZ AEC Z PFE=Z PEF, - PE= PF v pE= pa- PB,. pF2 pa- PB【例7】(1)如图10,已知直线AB过圆心O,交。O于A、B,直线AF交。O 于F (不与

14、B重合)，直线I交。O于C、D,交BA延长线于E,且与AF垂直， 垂足为G连结AC ADCAGAC- AD-AE- AF（2）在问题（1）中，当直线I向上平行移动，与。O相切时，其它条件不变。 请你在图101中画出变化后的图形，并对照图10标记字母； 问题（1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果 不成立，请说明理由。证明：（1）连结BDv AB是O O 的直径，/ ADB= 90 Z AGGZ ADB= 90 又v ACDB是O O内接四边形/ Ad B,AZ BAB / CAG连结CFv/ BAD=Z CAG / EAGZ FAB/ DAE=Z FAC又 v/ ADC=/ F,

15、.AD0AAFCAD AE.厂，二 AC- AD= AE- AF(2)见图10- 1两个结论都成立，证明如下： 连结BC,v AB是直径，./ ACB= 90/ ACB=/ AGG 90v GC切O O于 C,./ GCAf/ ABC/ BAG / CAG(即/ BAD=/ CAG 连结CFv/ CAG=/ BAC / GCG/ GAC/ GCG/ CAE / ACFG/ ACG-/ GFC / Eg/ ACG-/ CAE / ACG/ E, ACFA AEC .-.aC= AE- AF (即 AC- ADGAE- AF)AE AC说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过

16、探究式的 提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。【强化练习】【1】(第22题)如图，O O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是/ ACB的平分线与O O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且 PC=PE.(1 )求AC、AD的长；(2)试判断直线 PC与O O的位置关系，并说明理由.【2】(第23题)如图，在 ABC中，/ 0=90，/ ABC的平分线交 AC于点E，过点E作 BE的垂线交AB于点F，O O是厶BEF的外接圆.(1) 求证：AC是O O的切线.(2) 过点E作EH丄AB于点H，求证：CD = HF .一【3】(第25题)如图，在O

17、O中，AB , CD是直径，BE是切线，B为切点，连接 AD , BC, BD .(1) 求证： ABD CDB ;(2) 若/ DBE=37 求/ ADC 的度数.【4】(第24题)如图,/ D=2 / CAD .(1)求/ D的度数；AB为O O的直径,PD切O O于点C,交AB的延长线于点 D，且的长.【5】(第27题)如图，RtA ABC中，/ ABC=90以AB为直径作半圆O O交AC与点D, 点E为BC的中点，连接DE .(1)求证：DE是半圆O O的切线.(2)若/ BAC=30 , DE=2，求AD的长.三、圆与圆的位置关系的考查基础知识链接： 如果两个圆没有公共点，那么就说这

18、两个圆相离，如图(1)、(2)、 所示其中又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含.(3)中两圆的圆心相同,这 两个圆还可以叫做同心圆.如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示.其中(4) 又叫做外切,(5)又叫做内切.如果两个圆只有两个公共点，那么就说这两个圆相 交,如图所示.【例1】(甘肃兰州).如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的位置关系是()A内含 B.相交C相切 D.外离【解析】 图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部， 故两圆外离，选D.【点评】圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含.其关系可 以用圆与圆

19、公共点的个数及点与圆的位置关系来判定 ，也可以用数量关系来表 示圆与圆的位置关系：如果设两圆的半径为 n、a ,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系 如下表两圆的位置关系数量关系及其识别方袪外离外切孑=口十吃相交ri 川门十吃Ai内切d-r - r2(ri内含护5 s灼)【例2】(赤峰市)如图(1)，两半径为r的等圆。O和。Q相交于M ， N两点,且OQ过点Oi 过M点作直线AB垂直于MN，分别交O O和。Q于A, B两点,连结NA, NB .（1）猜想点O2与OO有什么位”置关系，并给出证明；（2）猜想 NAB的形状，并给出证明；（3）如图（2）,若过M的点所在的直线AB不垂直于M

20、N，且点A, B在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明.图（1）图（2）【解析】解：（1） O2在eO, 上证明：TO Q过点 O1 ,O1O2r .又O O的半径也是r , 点O2在OO上.图（1）（2） NAB是等边三角形证明：Q MN AB , NMB NMA 90.图（2）BN是O Q的直径，AN是O O的直径，即 BN AN 2r , O2在 BN 上, O1 在 AN 上.连结O1O2，则O1O2是 NAB的中位线.AB 2O1O2 2r .AB BN AN，则 NAB是等边三角形.（3）仍然成立.证明：由（2）得在O O中弧MN所对的圆周角为60 .在O O中

21、弧MN所对的圆周角为60 . 当点A, B在点M的两侧时,在O O中弧MN所对的圆周角 MAN 60，在O Q中弧MN所对的圆周角MBN 60o , NAB是等边三角形.注：（2）, （3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分.【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且。 O2过点Oi，构建对称性知,OO过Q,再证 NAB是等腰三角形；（2） 1是的基础上发散探究，具有一定的 开放性.四、圆与多边形的计算考查基础知识链接：1、圆与正多边形的关系的计算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.【例1】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，贝U豆子落到圆内接正方形（阴影部

22、分）区域的概率是 【解析】设圆的半径为1,则圆的面积为，易算得正方形的边长为 2，正方形 面积为2,则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 -.【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积， 根据 古典概型，可转化为面积之比.【例2】两同心圆，大圆半径为3,小圆半径为1,贝U阴影部分面积为 【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为 8，图中的阴影面积为圆 环面积的一半4 .【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形 计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想 .五、圆的综合性问题的考查基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、

23、二次函数等综合应用。【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆 M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A 8,0、BO, 6两点.(1) 求出直线AB的函数解析式；(2) 若有一抛物线的对称轴平行于 y轴且经过点M顶点C在OM上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式;(3)设(2)中的抛物线交x轴于D E两点，在抛物线上是否存在点 P,使得1SPDE SaBC ?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.10【解析】(1)设AB的函数表达式为ykxb. A 8,0 , B 0, 6 , a 068kb.34,6.直线AB的函数表达式为(2)设抛物线的对称轴与OM3x4相交于一点，依题意

24、知这一点就是抛物线的顶点又设对称轴与x轴相交于点 N ,在直角三角形 AOB中，AB .AO2 OB2.826210.因为OM经过 OA、B三点，且 AOB 90 , AB为OM的直径，.半径 MA=5N 为 A0 的中点 AN=NO=4 a MN=3-CN=M-MN=5-3=2, AC 点的坐标为（-4，2）.设所求的抛物线为y ax2 bx c4,b2a则 2 16a 4b c, b4,6 c.c6.1a所求抛物线为y - x2 4x 62人12（3）令 X2 4x 6.0,得D E两点的坐标为D （-6，0）、E （-2，0），所以DE=41 又AC=2 /5,BC 4 5,直角三角形的

25、面积S abc丄？2.5?4、520.2假设抛物线上存在p x, y使得S pde S abc，即-?DE ? y ?20, y 1 .10 2 10R 4/2,1,P24近,1R 4V6,1,P44虑，1【点评】 本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图 形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例2】(第27题)如图，在OO的内接 ABC中，/ ACB=90，AC=2BC过C作AB的垂线I交OO于另一点D,垂足为E.设P是上异于A, C的一个动点,射线AP交I于点F，连接PC与 PD PD交AB于点G.(1) 求证： PASA PDF(2) 若 AB=5， -，

26、求 PD的长;(3) 在点P运动过程中，设_!=x，tan / AFD=y求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围) 圆的综合题(1) 证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因 圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向， 因为涉及圆，倾向于找接近圆的角/ DPF利用补角在圆内作等量代换，等 弧对等角等知识易得/ DPF2 APC则结论易证.(2) 求PD的长，且此线段在上问已证相似的厶 PDF中，很明显用相似得 成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，则 PD可求.(3) 因为题目涉及/ AFD与也在第一问所得相似的 PDF

27、中，进而考虑转 化，/ AFD2 PCA连接 PB得/AFD2 PCAM PBG过 G点作AB的垂线， 若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三 角形ABC相似可用AG表示/ PBG所对的这条高线.但是“此线是否过 PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P,观察我们的猜想.验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与 AC的交点是我们解题的关键.常规作法不易得此结论，我们可以换另外的 辅助线作法，先做垂线，得交点 H,然后连接交点与B,再证明/ HBGMPCAM AFD因为 C D关于AB对称，可以延长 CG考虑P点的对 称点.根据

28、等弧对等角，可得/ HBGMPCA进而得解题思路.(1) 证明, / DPF=180 -Z APD=180 -亦所对的圆周角=180-疋所对的圆周 角=L所对的圆周角=Z APC在厶 PAC?3 PDF中,f ZAPC=ZDPF ，(2) 解：如图1连接PO则由忑=亦，有POLAB且/PAB=45 , APO AEF都为等腰直角三角形.在 Rt ABC中, AC=2BC A品bC+aC=5bC ,ab=5二 BC=., AC=2 7, CE=AC?sir BAC=AC=2 匚？丄2,A5 5AE=AC?cosS BAC=AC?=2 ? =4,A5 5 AEF为等腰直角三角形， EF=AE=4

29、FD=FC+CD=EF- CE)+2CE=EF+CE=4+2=6 APC为等腰直角三角形，AO=?AB= AP=2 PDFA PAC丄丄图iBPE CA PD=2(3)解：如图2,过点G作GHLAB交AC于H,连接 圆,连接CG并延长交。0于Q HCL CB GHL GB C G都在以HB为直径的圆上, / HBGMACQ CC D关于AB对称,G在AB上 ,- Q P关于AB对称- J , Z PCAM ACQ Z HBGZ PCA PASA PDF Z PCAZ PFDZ AFD y=tan Z AFD=tanZ PCA=tanZybcHG吨 HAAG BAC?A4 .yj丄=x.本题考查

30、了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单， 但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结.总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路.【例3】(第24题)如图，已知：在矩形 ABCD勺边AD上有一点O, OA=；， 以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于 M恰好与BD相切于H,过H作弦HP/ AB, 弦HP=3若点E是CD边上一动点(点 E与C, D不重合)，过E作直线EF/ BD 交BC于F,再把 CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G.设CE=x EFG 与矩形ABCDt叠部分的面积为S.(1) 求证：四边形ABHP是菱形；(2) 问厶E

31、FG的直角顶点G能落在。0上吗？若能，求出此时x的值；若不能, 请说明理由；(3) 求S与x之间的函数关系式，并直接写出 FG与。0相切时，S的值.團(备用團)第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有专题：压轴题.分析： (1)连接OH可以求出/ HOD=6 ,Z HDO=3，从而可以求出AB=3 由HP/ AB HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得 BA=BH即可证到四边形ABHP是菱形.(2) 当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2.(3) 当

32、OWx 2时，如图，S=Segf,只需求出FG就可得到S与x之间的函数关系式；当2x3时，如图，S=Sgef- Ssgf,只需求出SG RG就可得到 S与x之间的函数关系式.当FG与。0相切时，如图，易得FK=AB=3 KQ=AQ -AK=2- 2. ；+.再由FK=；KQ艮卩可求出x，从而求出S.解答：解：(1)证明：连接OH如图所示.四边形ABCD是矩形，/ ADCh BAD=90 , BC=AD AB=CD HP/ AB/ ANH# BAD=180 ./ ANH=90 .图/，HN=PN=HR=.OH=OAh, sin / HON基；.OH 2:丄 HON=6 BD与OO相切于点H, O

33、HL BD:丄 HDO=3 . OD=2 ；. AD=3 ;. BC=3 ；.vZ BAD=90，/ BDA=30 . tan Z BDA厶=心=；.AD SV3 3 AB=3v HP=3 AB=HPv AB/ HP四边形ABHP是平行四边形.vZ BAD=90 , AMI是OO 的直径， BA与OO相切于点A.v BD与OO相切于点H, BA=BH平行四边形ABHP是菱形.(2)AEFG的直角顶点G能落在OO 上. 如图所示，点G落到AD上.v EF/ BD Z FECZ CDBvZ CDB=90 - 30 =60, Z CEF=60 .由折叠可得：Z GEFZ CEF=60 . Z GED

34、=60 .v CE=x GE=CE=x ED=DC CE=3- x. cosZ GED= = .GE i x=2. GE=2 ED=1 GD= OG=AD AO- GD=3 :; - 7：=:;. OG=O.M点G与点M重合.此时 EFG的直角顶点G落在OO上，对应的x的值为2. 当 EFG的直角顶点G落在OO上时，对应的x的值为2.(3) 如图，在 Rt EGF中， tan / FEG= =二面K FG= x.J S=GE?FG=x? ；x=x2.如图，ED=3- x，RE=2ED=6 2x, GR=GEER=x-(6-2x) =3x- 6. tan Z SRG丄=)=亡，RC 3x _ 6

35、3 SG3 (x - 2).S ASGRG=?: (x - 2)= ；2(x-2). Sage= X2，2 S = SGEF_ Sasgr= x2 - ： (x-2) 2.2 2=- ：x2+6 J 磁-6 二.综上所述：当OWx2时，? (3x- 6).S?x2;当 2vx3 时，S=Vx2+6/x 63 .2延长FG交AD于点Q,过点F作FK! AD垂足为K，当FG与OO相切于点T时， 如图所示.四边形ABCD是矩形， BC/ AD，/ ABCM BAD=90 Z AQFM CFG=60 . OT=；， OQ=2 AQ= +2. Z FKAZ ABCM BAD=90， 四边形ABFK是矩形

36、. FK=AB=3 AK=BF=5-3x._ KQ=AQAK=3+2)-( 3庶-V3x) =2- 33x. 在 Rt FKQ中, tan Z FQK=-;.QX FK= QK 3二.； (2 -2；+. ；x). 解得：x=3- 1 ；.2V333. sx2二並x( 3_ 朋)22236.6.FG与OO相切时，S的值为门:-6.6点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径 定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30角所对的直角边等于斜边的一半、 等腰三角形的性质等知识，综合性非常强.【例4】(第23题)如图1,在。0中，E是弧AB的中点，C为。0上的一动点(C 与E

37、在AB异侧)，连接EC交AB于点F，EB=r (r是。0的半径).3(1) D为AB延长线上一点，若 DC=DF证明：直线DC与。0相切；(2) 求 EF?EC的值；(3) 如图2,当F是AB的四等分点时，求EC的值.圆的综合题.(1) 连结OC OE OE交AB于H,如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径 定理的推论得到 OEL AB则/HEFy HFE=90，由对顶相等得/ HFE CFD 则/ HEFV CFD=90，再由 DC二D得/CFDM DCF 加上/ OCEN OEC 所 以/OCEN DCEN HEFN CFD=90，于是根据切线的判定定理得直线 DC与 OO相切；(2) 由弧

38、AE=fi BE,根据圆周角定理得到/ ABEN BCE加上/ FEBK BEC 于是可判断 EBFA ECB利用相似比得到 EF?EC二BE (r) 2=r2;(3) 如图 2，连结 OA 由弧 AE=fi BE得 AE=BE=r 设 OH二x 贝U HE=r- x， 根据勾股定理，在 Rt OAH中有AH+x2二r2;在Rt EAH中由AH+ (r - x) 2= (r) 2，利用等式的性质得x2-(r - x) 2=r2-( r) 2，即得x=r，则HE=r -r=r，在Rt OAH中,根据勾股定理计算出AH=，由OEL AB得AH=BH9而F是AB的四等分点，所以HF二AH二厶一，于是

39、在Rt EFH中可计算出EF= ；r，然后利用(2)中的结论可计算出EC(1)证明：连结 OC OE OE交AB于H,如图1，VE是弧AB的中点，OEL AB/ EHF=90 ,/ HEFV HFE=90 ,而/ HFE CFD厂、/ HEFV CFD=90 , DC=DF(7Z CFDM DCF J而 OC=OE.-：Z OCEZOEC Z OCEZDCEZ HEF-Z CFD=90 ,- OCLCD,直线DC与OO相切；(2) 解：连结BCVE是弧AB的中点，弧 AE= BE, Z ABEZ BCE而Z FEBZ BEC EBFA ECB EF: BE=BE EC, EF?EC=bE (r

40、) 2=r2;(3) 解：如图2,连结OAV 弧 AE= BE, AE=BE=r设 OH=x 贝U HE=r- x ,在 Rt OAH中 , AH+OH=OA,即 AH+x2=r2,在 Rt EAH中, AH+EH=EA,即 AH+ (r - x) 2= (r), x2(r -x) 2=r2( r) 2,即得 x=r , HE=r- r=r ,v OEL AB AH=BH而F是AB的四等分点,在 Rt EFH中,v EF?EC=r,o图本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和 圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决 有关线段等积的问题.【例5】(第26题12分)如图0