立体几何共线、共点、共面问题教师版

1、立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1. 若ABC所在的平面和A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2. 点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQBCX,QRCDZ,PRBDY.求证：X、Y、Z三点共线.例3. 已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。1如图1，正方体中，与截面交点，交点，求证：三点共线证明：连结，平面，且平面，是

2、平面与平面的公共点又平面平面也是平面与平面的公共点是平面与平面的交线为与截面的交点，平面平面，即也是两平面的公共点，即三点共线2如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线证明 AB/CD， AB，CD确定一个平面又AB E，AB， E，E，即 E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点 两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， E，F，G，H四点必定共线点评：在立体几何的问题中，证明若干点共

3、线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论二、共面问题1.如图3，设分别为正方体的棱的中点，求证：共面证明：如图3，连结分别为的中点，分别为的中点，四边形为平行四边形因此，直线可确定一个平面同理，由可知，直线确定一个平面过两条相交直线有且只有一个平面，与重合，即同理可证因此，共面例4. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.例5. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内例6. 已

4、知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.例7. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线ACa,BDb，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题例8. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点，且，求证：相交于同一点错解：证明：、F分别是AB,AD的中点, BD,EF=BD

5、,又,GHBD,GH=BD, 四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T, ,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：分别是的中点，且又，且，且四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，平面平面，平面平面，又平面平面故相交于同一点2. 如图，已知平面，且设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，共点（相交于一点）分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面，的交线，因此，只要证明M，且M即可证明： 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰 AB，CD必定相交于一点，设

6、AB CDM又 AB，CD， M，且M M又 ， M，即 AB，CD，共点点评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的1、(1)证明：AA1BB1O,AA1、BB1确定平面BAO，A、A1、B、B1都在平面ABO内，AB平面ABO；A1B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设ABA1B1P；ACA1C1R； 面ABC面A1B1C1PR. BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且 BCB1C1Q QPR,即 P、

7、R、Q在同一直线上.3解析：A、B、C是不在同一直线上的三点过A、B、C有一个平面又 4解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.证明 ab,过a、b可以确定一个平面.Aa,a，A,同理Ba.又Am，Bm,m.同理可证n.bc,过b,c可以确定平面，同理可证m.平面、都经过相交直线b、m,平面和平面重合，即直线a、b、c、m、n共面.5、解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内.证明：图中，l1l2P， l1,l2确定平面.又 l1l3A,l2l3C,

8、C,A.故 l3.同理 l4. l1,l2,l3,l4共面.图中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.所以结论成立.6、证明 如图，连结MN、NR，则MNl1,NRl2，且M、N、R不在同一直线上(否则，根据三线平行公理，知l1l2与条件矛盾). MN、NR可确定平面，连结B1C2，取其中点S.连RS、ST，则RSl2，又RNl2， N、R、S三点共线.即有S，又STl1，MNl1，MNST，又S， ST. M、N、R、T四点共面. 7解析：(1) k MQBD，且 MQBD又 k PNBD，且 从而NPBD MQNP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共

9、面.(2) ， , MNAC，又NPBD. MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. MNPQ是正方形， MNP90 AC与BD所成的角为90，又ACa，BDb， MNa又 MQb,且MQMN，ba，即k.说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点.已知：平面平面a，平面平面b，平面平面c.求证：a、b、c相交于同一点，或abc.证明：a，ba、ba、b相交或ab.(1)a、b相交时，不妨设abP，即Pa，Pb而a、b，aP，P，故P为和的公共点又c由公理2知Pca、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.(2)当ab时c且a，aac且ababc故a、b、c两两平行.由此可知a、b、c相交

10、于一点或两两平行.题2S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SASBSC，BMANCS且ASBBSCCSA，M、N分别是AB和SC的中点求异面直线SM与BN所成的角的余弦值证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QNSMQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ，设SCa，在BQN中BN NQSMa BQCOSQNB题3正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SASBSCa，E，F分别是SC和AB的中点求异面直线SA和EF所成角答案：45ACBNMA1C1B1题4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BCCACC1，求NM与A

11、N所成的角解：连接MN，作NGBM交BC于G，连接AG，易证GNA就是BM与AN所成的角设：BCCACC12，则AGAN，GNB1M，cosGNA。题5如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点求与所成的角。证明：取AB中点G，连结A1G，FG， 因为F是CD的中点，所以GFAD，又A1D1AD，所以GFA1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1GD1F。设A1G与AE相交于H，则A1HA是AE与D1F所成的角。因为E是BB1的中点，所以RtA1AGABE, GA1A=GAH,从而A1HA=90,即直线AE与D1F所成的角为直角。一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条

12、直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（ ）ABCD 解：连B1G，则A1EB1G，知B1G F就是异面直线A1E与GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90，应选(D)评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1EB1G，知B1G F就是所求的角，从而纳入三角形中解决二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已

13、知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_解：取AE中点G, 连结GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG为平行四边形，MN/BGA的射影为BAB面BCDEBEABAE45，又G为中点，BGAE即MNAEMN与AE所成角的大小等于90度故填90三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程

14、.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化例3空间四边形中，分别是的中点，求异面直线所成的角。解：取中点，连结，分别是的中点，且，异面直线所成的角即为所成的角，在中，异面直线所成的角为说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形内角是钝角时，表示异面直线所成的角是它的补角。例61、如图，在棱长为1的正方体中，M，N，P分别为的中点。求异面直线所成的角。DCBAA1D1B1C1NMP易错点分析异面直线所成

15、角的范围是，在利用余弦定理求异面直线所成角时，若出现角的余弦值为负值，错误的得出异面直线所成的角为钝角，此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析：如图，连结，由为中点，则从而故AM和所成的角为所成的角。易证。所以，故所成的角为。又设AB的中点为Q，则又从而CN与AM所成的角就是（或其补角）。易求得在中，由余弦定理得，故所成的角为。7正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为()图K423A. B. C. D.7C解析 如图，取PB中点N，连接CN、MN，则MNPA，故CMN为PA与CM所成的角(或所成角的补角)，设PA2，则CM，MN1，CN，cosCM

16、N，故选C.15(13分)2011长宁期末 若四棱锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA底面ABCD(如图K426)，且PA2.(1)求异面直线PD与BC所成角的大小；(2)求四棱锥PABCD的体积图K42615解答 (1)ADBC，PDA的大小即为异面直线PD与BC所成角的大小PA平面ABCD，PAAD，由PA2，AD2，得tanPDA，PDA60，故异面直线PD与BC所成角的大小为60.(2)PA平面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPA222.16(12分)已知：如图K427，空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD上的点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，(0、1)，试判断FE、GH与AC的位置关系图K427【难点突破】16解答 ，EHBD，FGBD.EHFG，EHBD，