完整版二项式定理十大典型例题纯WORD版

1、1二项式定理：(a b)n C：an C：an 1b L Qa rbr L C：bn(n N ),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 C (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第r 1项Can rbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1 Can rbr表示。3. 注意关键点：项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a,b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的

2、次数和等于 n . 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 c0，c,c2， ,cn, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令 a1,bx,(1 x)nCOC：xC2x2LC：xrLC：xn(n N)令 a1,b x,(1 x)nC0cxCn2x2LC；xrL( 1)nC；xn(n N )5. 性质：C，Cnk二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即二项式系数和：令ab 1,则二项式系数的和为 c0 c C2LcLC：2n ,变形式C1c2LCrLCnnCnLCnLCnn.2 1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数

3、和：在二项式定理中，令a1,b1，则 C； c CnC； L (1)nC；(11)n0 ,从而得到：c0 c2c4c2rc1c3CnCnCnCnLC：r 1丄22n2n10 nC；1奇数项的系数和与偶数项的系数和:2(a(x 令X 令XnX)a)C0anxo Ca0 则a。Clan 1xC：axn 11,1,则 aoaia2a3La2a3得,a。a2a4Lann 0 nLCna xLC：anx1)n(a 1)n(a * (a “奇数项的系数和C；an 2x2C；a2xn 2anan(aa0 a1x1 anXn L2a2xa2xnL anX1a1xa。得,a1a3an2(a 1) (a 1)(偶

4、数项的系数和ncn取为A1,A2, ,An 1，设第r 1项系数最大，应有Ar 1Ar 1A ，从而解出r来。Ar 2二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数得最大值。1 n 1如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数同时取得最大值。系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别专题一题型一：二项式定理的逆用；例：C： Cn 6 C3 62 L C 6n 1.解：(1 6)n CC：6Cn62C；63 L C；6n与已知的有一些差距，Cn Cn 6C；62 LCn6n1(C： 6Cn 62 L Cn 6n

5、)6(Cn cn 6 Cn 62 L Cn 6n 1)丄(1 6)n 11 (7n 1)6 6 6练：c1 3C2 9C； L 3n1C： .123n 1 n解：设 Sn Cn 3Cn 9Cn L 3 Cn，则12 23Sn Cn3 Cn 3C；33 L C；3n C C：3 C；32n nnCn3 L Cn 31(1 3)1S (1 3)n1Sn3题型二：利用通项公式求xn的系数;例:在二项式(4x3 x2）n的展开式中倒数第3项的系数为45 ,3求含有x的项的系数?解:由条件知C；2245，即 Cn 45，解得9（舍去）或n 10，Tr 1C；0(x 4)10 r(x3)rC；02 r3，

6、由题意1043,解得r 6，练:解:363则含有x的项是第7项T6 1 C10X求（x2 丄）9展开式中x2x的系数?3210x ,系数为210。Tn C9(x2)9r(勿C；x182r( *xr 1 rC9( 1)18 x3r令18 3r 9,则故x的系数为c；（ ）321O2题型三：利用通项公式求常数项;例:求二项式（x210的展开式中的常数项?解:rTr1 C；0(X2)10r51 20 _rC；0(1)rx 22令200,得r 8，所以练:解:T9 Cw(-)8 空22561 6求二项式(2x)的展开式中的常数项？2xr6 rr . 1 . rr r 6 r . 1 . r 6Tr 1

7、 C6(2x) ( 1) ()( 1) C62( ) x2x22x2r，令 6 2r0，得r 3，所以练:T4( 1)3C；201若（x2 -）n的二项展开式中第 5项为常数项，则nx解：t542、n4/1、44 2 n 12Cn(x ) ( )Cnx，令 2n 12 0,得 n 6.X题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式 C. X 3 X)9 展开式中的有理项?1 1解：Tr 1 C9(X2)9 r( X3)r27 r(1)rC9xF，令27 rZ ,(0 r 9)得 r3或r9，627 r所以当r 3时，W丄627 r当 r 9 时，27-3，64，T4( 1)3C9

8、3x484 x4，T10( 1)3C；x3X3。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和;例:n展开式中偶数项系数和为若(. x2256，求解:设LX7n展开式中各项系数依次设为ao, ai,an ,练:解:令x 1，则有aoaa1 a 2a3将-得：2(ai有题意得，2若(3x)n的展开式中,a1an 0,，令xa3a5256QC： Cn2 C： C：r1则有1)nan2n,aia3a52* 128，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。LC；r 12n 1，2n11024，解得n 11所以中间两个项分别为n 6,nC；()6( p)5462 x 4，61T6 1462 X

9、题型六：最大系数，最大项；1例：已知(2x)n，若展开式中第25项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少?解：QCn C； 2C5, n221n980,解出n 7或 n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数c3(1)423 35,2 2T5的系数c；()324 70,当n 14时，展开式中二项式系数最大的项是T8,21T8的系数C；4(2)727 3432。练：在(a b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幕指数是偶数 2n,则中间一项的二项式系数最大，即T2nTn 1，也就是第芝1n 1项。，亠亠 x

10、练：在(2A的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少?解：只有第5项的二项式最大，则 -15，即n 8,所以展开式中常数项为第七项等于2C；272练：写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取2d?得最大值，从而有 T4C7a b的系数最小,T5C；a3b4系数最大。练:若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(22x)n的展开式中系数最大的项?解:12CnCn79,解出1 12 1 12 12n 12,假设 Tr 1 项最大，Q(? 2x)12 (?) (1 4x)ArA

11、rArAr 2Cr 4r12r rC12411，化简得到 9.4 r 10.4，又Q0 r 12，10，展开式中系数最大的项为T11,有 T11(2)12C；410 x1016896x10解：假设Tr 1项最大,Q Tr 1G； 2rxrAr 1ArCr 2rC102r 1 r 1C102解得2(11 r) r，化简得到Ar 1Ar 2Cr 2rC102C1；12r 1,r 12(10 r)6.3 k 7.3，又Q0 r10，r 7,展开式中系数最大的项为T8Cw27x715360 x7.2x)10的展开式中系数最大的项是多少?题型七：含有三项变两项在(1练:例：求当解法:Tr i的展开式中才

12、有X的一次项,此时TrT2 C5(x22)43x，所以 x 得一次2 525r 25 rr(x 3x 2)(x2)3x，Tr 1 C5 (x 2)(3x)，当且仅当 r 1 时,项为 C；C：243x它的系数为C；C：243240 。解法:(X2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5 (C；x5C；x4Cs)(C50x5 C；x42C；25)455故展开式中含X的项为C5 XC5 2小4 JC5 x2240x，故展开式中X的系数为240.练：求式子(X32)的常数项?解：(Xx2)3(I X6，设第1项为常数项，则rrTr 1 C6(1)6 r 1 r6 r(X)(1)C62r，得62r 0

13、,r 3,T31 ( 1)3C；20.题型八：两个二项式相乘;例:求(1 2x)3(1 x)4展开式中x2的系数.解:Q(1 2x)3的展开式的通项是CT (2x)m CT 2m(1 X)4的展开式的通项是c4 ( X)n c41n Xn,其中 m 0,1,2,3, n 0,1,2,3, 4,令 m n 2,则 m 0且 n 2,m1且 n1,m2 且 n0,因此(1 2x)3(1 x)4的展开式中x2的系数等于C0 20 C2 (1)2 c3 21C； ( 1)1 Cf 22 C： ( 1)06练:求(1 Vx)6(10展开式中的常数项解:(1奴)6(1 命)mn10展开式的通项为C6tx?

14、 G0x 44m 3nC6n G0 xFm 0,m 3,m 6其中m 0,1,2, ,6,n 0,1,2, ,10,当且仅当4m 3n,即或或n 0,n 4,n 8,时得展开式中的常数项为C； Cio C； C14) C； Ci80 4246.练：1 *已知(1 x x2)(x )n的展开式中没有常数项，n N且2 n 8,则n .x解：(x -1y)n展开式的通项为cn xn r x3r cn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得xr n 4 r r n 4 r 1 r Cn x ,C n x,C nn 4r x2,Q展开式中不含常数项,2 nn 4r且 n 4r 1且 n4r 2,即

15、n 4,8且 n 3,7且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x J2)2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为S,当x 时,S 解： 设(x 2) 2006=a0 a1x1 a2x2 a3x3 La2006x2006 2006 1 2(x 2)=a0 a1xa2x2006a2006x得 2(a1x 盼3 a5x5 La2005x2005) (x 2) 2006 (x 2)2006(x、2)2006展开式的奇次幕项之和为 S(x) *(x -.2) 2006 (x -&)20063 2006当 x三时,S(&)丄(、2V) 2006 (& -.2 )

16、20062 30082 2题型十：赋值法；例：设二项式(33匸 )n的展开式的各项系数的和为 p，所有二项式系数的和为s,若xps 272 ,则n等于多少？解：若(33 x n a0 a1x a2x2anx，有 P a0 a1an ,xSCnC：2n ,令 x 1 得 P 4n，又 p s 272，即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16) 0 解得2n 16或 2n17(舍去),n 4.1、(x- 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 练:若 3.x 1的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少?解:A令 x 1，贝 y 3 jx 了n的展开式中各项系数之和为2n64，所

17、以6，则展开练:式的常数项为C；(3、&)3 (1 3x)54.若(1 2x)2009a ax12a?x3a3X2009a2009x(xR),则 a1a222a20092 2009的值为解:令x丄,可得a。鱼2 2 22在令x 0可得a01 因而色2a200922009a20,aaa2009a222a200922009ao练：若(x 2)5 a5X5 a4X43a3x解：令x 0得a032,令xa1 a? a3 a4 a531.题型十一：整除性;2n 2例：证明：3 8n 9( n证：32n 2 8n222a2x01C：18n1C：18nCn 18n 1C：18n0 n 1 1Cn 1 8Cn

18、 18n220091axa?a3N )能被64整除8n 9(8n 11) 8n1.a,则 a1a4a5a2a3a4a51,Cnn；82n 1n 1Cn 18 Cn 1 8n8(n1) 1 8n 9由于各项均能被64整除32n 2 8n 9(n N*)能被64整除1、设f(x)=(x-1) 11,偶次项系数之和是2、C03C132C：3ncn2、4n3、(3 5f f( 1)211(2)/210242、A-.5)20的展开式中的有理项是展开式的第项.3、3,9,15,214、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中X4的系数+2 105、(1 x x2)(1 x)10(1x3)(1 x)9，要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项c4( x)4作积,1第一个因式中的一x3与(1-x)9展开式中的项Cg( X)作积，故x4的系数是c； C9135.6、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数+6、 (1 x) (12 10x)(1 x)(1 x)1 (1 X)10 (x1)11(x 1)，原式中 x3x1(1 x)实为这分子中的X4,则所求系数为7、若 f (x)(1x)m (1