河南省郑州市高二上期末数学试卷理科

1、2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（5分）不等式1的解集为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）2（5分）ab的一个充分不必要条件是（）Aa=1，b=0BCa2b2Da3b33（5分）在ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）ABCD4（5分）等比数列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A16B32C64D1285（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯

2、塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（）AakmB2akmCakmDakm6（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）ABCD7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（）A1008B1009C2016D20178（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则=（）A1B2C3D49（5分）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD10（5分）在ABC中，若BC=2，A=12

3、0，则的最大值为（）ABCD11（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A16B24C32D4012（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A一个点B椭圆C双曲线D以上选项都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）命题“x，tanxm”的否定为 14（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为 15（5分）已知F为双曲线C：=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当APF周长最小时，点F到直线AP的距离为 16（5分）若数列an满

4、足an+1+（1）nan=2n1，则an的前40项和为 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）设f（x）=（m+1）x2mx+m1（1）当m=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若不等式f（x）+10的解集为，求m的值18（12分）在ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2c2=b2，a=6，ABC的面积为24（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c19（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+an=2Sn（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn20（12分）已知命题p：函数f（x）

5、=lg（x22x+a）的定义域为R，命题q：对于x1，3，不等式ax2ax6+a0恒成立，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围21（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角AB1C1P的大小为30，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由22（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，

6、求AOB面积的最大值2016-2017学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1（5分）不等式1的解集为（）A（，1）B（0，1）C（1，+）D（0，+）【分析】不等式可化为x（x1）0，即可得到不等式1的解集【解答】解：不等式可化为x（x1）0，0x1，不等式1的解集为（0，1），故选B【点评】本题考查不等式的解法，考查学生转化问题的能力，正确转化是关键2（5分）ab的一个充分不必要条件是（）Aa=1，b=0BCa2b2Da3b3【分析】根据充分条件和必要条件的定

7、义进行判断即可【解答】解：A当a=1，b=0时，满足ab，反之不成立，则a=1，b=0是ab的一个充分不必要条件B当a0，b0时，满足，但ab不成立，即充分性不成立，C当a=2，b=1时，满足a2b2，但ab不成立，即充分性不成立，D由a3b3得ab，即a3b3是ab成立的充要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键3（5分）在ABC中，若a=1，b=2，cosA=，则sinB=（）ABCD【分析】由A的范围和平方关系求出sinA的值，由条件和正弦定理求出sinB的值【解答】解：0A，且cosA=，sinA=，由正弦定理得，则si

8、nB=，故选D【点评】本题考查了正弦定理，以及平方关系的应用，注意内角的范围，属于基础题4（5分）等比数列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（）A16B32C64D128【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6【解答】解：等比数列an中，a2+a4=20，a3+a5=40，解得a=2，q=2，a6=225=64故选：C【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用5（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20，灯塔B在观测站C的南偏东40，则灯塔A与

9、灯塔B之间的距离为（）AakmB2akmCakmDakm【分析】先根据题意确定ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值【解答】解：根据题意，ABC中，ACB=1802040=120，AC=akm，BC=2akm，由余弦定理，得cos120=，解之得AB=akm，即灯塔A与灯塔B的距离为akm，故选：D【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题6（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角的正弦值为（）ABCD【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，

10、建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为4，点E，F满足=3，=3，B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4），=（0，1，4），=（0，1，4），设异面直线BE与DF所成角为，则cos=sin=，BE与DF所成角的正弦值为故选：A【点评】本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用7（5分）等差数列an的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（）A1008B1009C2

11、016D2017【分析】由等差数列的性质得S2017=（a1+a2017）=2017a1009，由此能求出结果【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a1009=1，S2017=（a1+a2017）=2017a1009=2017故选：D【点评】本题考查等差数列的前2017项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用8（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则=（）A1B2C3D4【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则=x1x2

12、+y1y2，由韦达定理可以求得答案【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），直线AB的方程为y=k（x1），由，得k2x2（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1+x2=1，y1y2=k（x11）k（x21）=k2x1x2（x1+x2）+1则=x1x2+y1y2=x1x2+k（x11）k（x21）=3故选：C【点评】题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题9（5分）设椭圆C：=1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=3

13、0，则C的离心率为（）ABCD【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的离心率为：e=故选D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题10（5分）在ABC中，若BC=2，A=120，则的最大值为（）ABCD【分析】由，4=AC2+AB22ACABcosA4=AC2+AB2+AC

14、AB2ACAB+ACAB=3ACABACAB，=ACABcos120即可【解答】解：，4=AC2+AB22ACABcosA4=AC2+AB2+ACAB2ACAB+ACAB=3ACABACAB=ACABcos120，则的最大值为 ，故选：A【点评】考查向量减法的几何意义，数量积的运算及其计算公式，涉及了不等式a2+b22ab的应用，属于基础题11（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（）A16B24C32D40【分析】正实数a，b满足+=1，利用基本不等式的性质得ab8把b+2a=ab代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出【解答】解：正实

15、数a，b满足+=1，12，解得ab8，当且仅当b=2a=4时取等号b+2a=ab（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+832故选：C【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（）A一个点B椭圆C双曲线D以上选项都有可能【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键【解答】解：A为O外一定点，P为O上一动点线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q，

16、则QA=QP，则QAQO=QPQO=OP=R，即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线故选：C【点评】双曲线是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）命题“x，tanxm”的否定为x，tanxm【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题的否定方法，可得答案【解答】解：命题“x，tanxm”的否定为命题“x，tanxm”，故答案为：x，tanxm【点评】本题考查的知识点是特称命题的否定，难度

17、不大，属于基础题14（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为0，【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解范围即可【解答】解：x，y满足，不是的可行域如图：z=x+2y化为：y=+，当y=+经过可行域的O时目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值，由，可得A（，），则z=x+2y的最小值为：0；最大值为：=则z=x+2y的取值范围为：0，故答案为：0，【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中利用角点法是解答线性规划类小题最常用的方法，一定要掌握15（5分）已知F为双曲线C：=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上一点，当APF周长最小时，点F到直线AP

18、的距离为【分析】设双曲线的右焦点为F（4，0），由题意，A，P，F共线时，APF周长最小，求出直线AP的方程，即可求出点F到直线AP的距离【解答】解：设双曲线的右焦点为F（4，0），由题意，A，P，F共线时，APF周长最小，直线AP的方程为y=（x4），即4x+3y16=0，点F到直线AP的距离为=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于中档题16（5分）若数列an满足an+1+（1）nan=2n1，则an的前40项和为820【分析】根据熟练的递推公式，得到数列通项公式的规律，利用构造法即可得到结论【解答】解：由于数列an满足an+1+（1）n an=2n1

19、，故有 a2a1=1，a3+a2=3，a4a3=5，a5+a4=7，a6a5=9，a7+a6=11，a50a49=97从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前40项和为 102+（108+16）=820，故答案为：820【点评】本题主要考查数列的通项公式，以及数列求和，根据数列的递推公式求出数列的通项公式是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，共

20、70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17（10分）设f（x）=（m+1）x2mx+m1（1）当m=1时，求不等式f（x）0的解集；（2）若不等式f（x）+10的解集为，求m的值【分析】（1）直接把m=1代入，把问题转化为求2x2x0即可；（2）直接根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解即可【解答】（本题12分）解：（1）当m=1时，不等式f（x）0为：2x2x0x（2x1）0x，x0；因此所求解集为； （6分）（2）不等式f（x）+10即（m+1）x2mx+m0不等式f（x）+10的解集为，所以是方程（m+1）x2mx+m=0的两根因此 （12分）【点评】本题主要考

21、察根与系数的关系解决本题的关键在于一元二次不等式的解集的区间端点值是对应方程的根18（12分）在ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2c2=b2，a=6，ABC的面积为24（1）求角A的正弦值；（2）求边b，c【分析】（1）已知等式整理后，利用余弦定理化简求出cosA的值，进而求出sinA的值；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再将a与bc的值代入已知等式求出b2+c2的值，联立即可求出b与c的值【解答】解：（1）由在ABC中，a2c2=b2，整理得cosA=，则sinA=；（2）S=bcsinA=24，sinA=，bc=80，将a=6，

22、bc=80代入得：b2+c2=164，与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键19（12分）Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+an=2Sn（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得an是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列an的通项公式；（2）若bn=，利用错位相减法，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+

23、1，两式子相减得：结合an0得an+1an=1 .（4分）令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，所以an是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n.（6分）（2）因为bn=（n2）所以Tn=+Tn=+.（8分）得Tn=1+=，所以数列bn的前n项和Tn=3.（12分）【点评】本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法的运用，属于中档题20（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x22x+a）的定义域为R，命题q：对于x1，3，不等式ax2ax6+a0恒成立，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【分析】若pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假，进而得到答案【解答】解：当P

24、真时，f（x）=lg（x22x+a）的定义域为R，有=44a0，解得a1.（2分）当q真时，即使g（x）=ax2ax6+a在x1，3上恒成立，则有a在x1，3上恒成立，而当x1，3时，=，故a.（5分）又因为pq为真命题，pq为假命题，所以p，q一真一假，.（6分）当p真q假时，a1.（8分）当p假q真时，a.（10分）所以实数a的取值范围是（，）（1，+）.（12分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查复合命题，函数恒成立问题，函数的最值与值域，难度中档21（12分）如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2（1）求直线DC与

25、平面ADB1所成角的大小；（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角AB1C1P的大小为30，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由【分析】（1）以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC与平面ADB1所成角的大小（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角AB1C1P的大小为30，利用向量法能求出棱AA1上存在一点P，使得二面角AB1C1P的大小为30，且AP=2PA1【解答】解：（1）四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1D平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，.（2分）D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，），C（0，1，0），=（0，1，），=（0，1，0），设平面ADB1的法向量为，则，取z=1，得=（0，1），.（4分）设直线DC与平面所ADB1成角为，则sin=|cos|=，0，=，直线DC与平面ADB1所成角的大小为.（6分）（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角AB1C1P的大小为30，设=，由A1（0，0，），得（a1，b，c）=（a，b，），解得，B1（0，1，），C1（1，1，），=（1，0，0），=（，1，），设平面的法向量为