排列组合和二项式定理

1、 排列、合和二项式定理高考大纲对排列，组合和二项式定理这一章的考试内容及考试要求为：（掌握）1分类计数和分步计数原理； 2排列组合公式3组合组合数公式和组合数的两个性质 4二项式定理和二项式展开式两个基本原理排列组合排列数公式组合数公式排列、组合应用组合数性质二项式定理 通项公式二项式系数的性质应用知识网络构建知识要点串讲要点一 计数原理1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种

2、不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 要点二 排列1排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示3排列数公式：（）和=4阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定要点三 组合1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合2组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示3组

3、合数公式：或4 组合数的性质1：规定：；2：+（对某一元素选与不选分类） 3：C0,n2时，要点四 二项式定理1正确理解二项式展开式中的第r1项，第r1项的二项式系数，第r1项的系数之间的差别2二项系数的性质问题求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解3二项式的某项系数问题该问题解法多样，既可化归为二项式问题求解，又可从组合角度求解，一般地，二项式（ab）n的展开式中，第r+1项为 。（a，b一般不交换）4赋值

4、法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的xA，某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般x00， 1，1取较多一般地，多项式f(x)的各项系数和=f(1)，奇次项系数和=，偶次项系数和=如二项式系数性质以及的证明就是赋值法在二项展开式中运用的典范例：设，给出下列命题：的展开式中含x2项的系数为；f(-x,10)的展开式中系数最小的项为-252；f(3x,4)的展开式中所有项的系数和比f(x,4)的展开式中所有二项式系数和大240；的小数部分式1-。其中正确的有 。热点题型探究题型一 分类计数和分步计数原理的应用

5、【典例1】（ 广东卷理）某年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. 【方法探究】在综合运用两个原理时，既要会合理分类，又能合理分步，一般情形是先分类后分步。【变式训练】1有5名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填一个志愿，有多少种不同报名方案？2有不同的中文书9本，不同

6、的英文书7本，不同的日文书5本从其中取出不是同一国文字的书2本，问有多少种不同的取法？题型二 排列数组合数的计算问题【典例2】：若 分析：观察已知等式，发现与“组合数的性质”有相近之处。在中，左式中脚码相同，肩码差1；右式中，脚码加1，肩码取大。，由题知由组合数的性质知，两肩码之和等于脚码，。解题点拨：要灵活掌握组合数的公式及组合数的两个性质。先试一下，能否用组合数的性质巧算结果。【变式训练】 3.解方程 。、的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，等于它后一项系数的，则该展开式中二项式系数最大的项是第 项，系数最大的项为 。题型三 排列和组合中的常见方法(十六字方针: 分类相加, 分步

7、相乘, 有序排列, 无序组合)如:把a,a,a,b,c放在5个位置上,有多少种排法? (C35A22=20或A52=20种)【变式训练】4一个非负整数的有序对,如果在做的加法运算时,不用进位,则称为“简单的”并且称为有序对的和。则和为1968的 “简单的”非负整数有序对的个数是 .1260十二个技巧:1特殊元素优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 【典例3】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？解法1：（元素分析法）因甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上；第二步再让其余的5人站

8、在其他5个位置上，故站法共有C41A55=480（种） 解法2：（位置分析法）因左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置共有A52A44=480种。练习：1、（北京理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A324 B328 C360 D648【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）， 当0不排在末位时，有（个）， 于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）.2、（四川理）由1、2、

9、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ C ）（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，324个若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共312个.算上个位偶数字的排法，共计3(2412)108个。2.相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 【典例4】（四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有

10、两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 36【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，（A共有种不同排法），剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、B之间（若甲在A、B两端。则为使A、B不相邻，只有把男生乙排在A、B之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212种排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448种不同排法。解法二；同法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A共有种不同排法，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况

11、：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有=24种排法；第二类：“捆绑”A和男乙在两端，则中间女B和男甲只有一种排法，共有12种 第三类：女B和男乙在两端，中间“捆绑”A和男甲也只有一种排法。此时共有12种排法。故三类之和为24121248种。w.w.w.k.s.5.u.c 【变式训练】5. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油幅，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ D ）种（上海高考题）. A A44A55 B A33A44A55 C C31A44A55 D A22A44A55 3.相离问题用插空法 元素相离（

12、即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空白中。 【典例5】.7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A44=24种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A53=60种，所以排法共有：A44A53=1440（种） 【变式训练】6.马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有多少种？104.定序问题倍缩法 对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n

13、个元素进行全排列，m个元素的全排列有m!种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则共有n!/m!钟排法。 【典例6】.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？分析：不考虑限制条件，组成的六位数，其中个位与十位上的数字一定. 解: 组成的六位数有,其中个位数字小于十位数字的六位数有.点评:机会均等采用除法处理.【变式训练】7.10个人坐成一排，其中甲在乙的左边，甲乙不一定相邻的坐法有多少种？ 引申：若其中甲、乙、丙的顺序固定呢？ A1010/A335.

14、分排问题用直排法 对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。 【典例7】9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有9!种。【变式训练】 8. 把9名大学生分配给8个工厂，每个工厂接受1名大学生，问有多少种分配方案？6.复杂问题用排除法 对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。 【典例8】.四面体的顶点和各棱中

15、点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A.150种B.147种C.144种D.141种解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内有4C64=60个，；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，共有6个；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，共有3个。以上三类情况不合要求应减掉。D 【变式训练】9. 正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形有 个 （用数字作答） （全国高考题）C73-3=32.（注：近年以立体几何中的点

16、、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题。问题情景新颖，多个知识点交汇在一起，综合性强，在立几中的考察较多，这里加以补充：一、共面问题：分类讨论例1. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 7个解析：平面可以分为两类：一类是在平面的两侧各有两个点；这样的平面有3个另一类是在平面的两侧分别有一个点和三个点。这样的平面有4个 例2. 在四棱锥P-ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有（ ）种。A. 40 B. 48 C. 56 D. 62解析： 满足题设的取法可分为三类：（1）

17、在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有 （种）不同的取法；（2）在两个对角面（过对侧棱）上除点P外任取3点，共有（种）不同的取法；（3）过点P的每一条棱上的三点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有 （种）不同的取法。故不同的取法共有（种）。点评：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类既不重复，也不遗漏。在例2中，最容易漏掉的是第（3）类，最易重复的也是第（3）类。练习：1.四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）BA30种B33种C36种D39种解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A

18、所在的每个面中含A的4点组合有 个，点A在3个面内，共有 3C53 =30 个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面，共（ 3 ）个。所以与点A共面的四点组合共有 个。点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度较大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。2. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三角形的个数为（ C ） (A)56 (B) 52 (C)48 (D)40解析一：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如B点。以B为直角顶点的三角形有： , , , , , 共6个，故

19、正方体中共有48个 。解析二：也可从反面考虑C83-8=48答案：C 点评：在 中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。3. 在正方体上任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（C ） A B C D解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得。二、异面问题：灵活转化例3. 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）A. 18对 B. 24对 C. 30对 D. 36对解析一：大家知道一个

20、三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成 （个）三棱锥，则共有36对异面直线。故选D。点评：利用熟知的立体图形来灵活转化，是处理异面直线配对问题的常用方法。分析二：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。解析一：一条底面棱有 5 条直线与其异面。如与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；如与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线；如与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数两遍。共有 。分析三：分类处理：把所有线段分成上，中

21、，下三类：上上结合：3 X 2=6 对 上中结合：3 X 3=9对 中中结合：12对（可一一列举） 中下结合： 3 X 3=9对 共36对 例4. 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是危险的，没有公共点的棱所代表的化工产品在同一仓库中存放是安全的。现有编号为的四个仓库，用来存放这8种化工产品，则安全存放的不同方法总数为（ ）A. 96 B. 48 C. 24 D. 0解析：如图，分别用18标号的棱表示8种不同的化工产品，易知可以两两放入同一仓库的情况如下（其实就是异面直线配对）：则8种产品安全存放有“（1，5）、（2，6）、（3，7）、（

22、4，8）”和“（1，8）、（2，5）、（3，6）、（4，7）”两种可能，故所求的方法总数为 （种），应选B。点评：这道实际应用题用四棱锥的8条棱的关系来研究化工产品的存放种数，体现了数学建模的思想。同学们在解决问题时，首先要将问题转化为四棱锥的8条棱之间的排列组合情况，然后再把四棱锥的8条棱分成4对异面直线。练习:1. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有 A150种B147种C144种D141种解析：从10 个点中任取4个点有210 种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有60 种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱

23、的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有89 种。答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。2. 从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有（C84-12=58种）。其中共有（ 174 ）对异面直线。三、综合问题：化整为零，各个击破例5. 以平行六面体ABCD-A1B1C1D1 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形

24、不共面的概率P为（ ）A. B. C. D. 解析：此问题可分解成五个小问题：（1）由平行六面体的8个顶点可组成多少个三角形？ 可组成56 （个）三角形。（2）平行六面体的8个顶点中，4点共面的情形共有多少种？（6个面加上6个对角面，共12个平面。）（3）在上述12个平面内的每个四边形中共面的三角形有多少个？ 有 4（个）（4）从56个三角形中任取2个三角形共面的概率P等于多少？ （5）从56个三角形中任取2个三角形不共面的概率P等于多少？ 故选A。点评：这道题以立体几何熟知内容为载体，构思巧妙，综合考查立体几何、排列组合、概率等基础知识，深入考查同学们的数学思维能力。本题的得分率较低，同学们

25、的主要失误表现在以下两方面：（1）面对一个复杂的问题，缺乏明确的解题目标意识，不善于将其分解为若干个子问题；（2）漏掉平行六面体的6个对角面也是4点共面的情形，易误选B。7.多元问题用分类法 按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。 【典例9】已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。 解：设倾斜角为A，由A为锐角，得-，即a，b异号。 （1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复，故有：3327（条）。（2）若c0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4

26、种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）【变式训练】10.有10个不同的小球，四个编号为1，2，3，4小盒，把10个小球放入四个盒 中，其中1号盒放1个，2号盒 放2个，3号盒放3个，4号盒放4个，有多少不同的投放方法？ 126008.排列、组合综合问题用先选后排的策略 处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。 【典例10】将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？ 解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组共有：C42=6（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有A33=

27、6种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：66（种）。因此共有36种方案。【变式训练】11. 从单词“eguation中取5个不同字母排成一排，含有“gu”（其中“gu”相连且顺序不变）的不同排列共有多少个。4809.隔板模型法 常用于解决整数分解型排列、组合的问题。【典例11】有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有9个空，将5个隔板插入9个空，每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C95=126（种）【变式训练】12.组成一个由10人组成的球队，他们由七个学校组成，每校至少有一人，其

28、各部分配方案共有多少种？晚会上共有6个演唱节目和4个舞蹈节目，要求每两个舞蹈节目之间至少有一个演唱节目，问可有多少种不同的节目顺序表？（把6个演唱节目比作6个不同的小球，4个舞蹈节目比作4块木板，先把6个小球一字排开，要在它们之间插入4块木板，木板不能相邻，但是可以放在球的两头，故有种不同的插法。然后再考虑演唱节目之间的排序，以及舞蹈节目之间的排序。由乘法原理知其共有：.）在围棋擂台赛中，甲、乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场比赛，双方由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方的2号队员比赛，直到有一方队员全被淘汰为止，则另一方获得胜利，形成一种比赛过程。试求所有可能出现的比赛过程的种数。(

29、因各队员的顺序已排好，所以把负方队员看成无区别的小球，胜方队员比作隔板。设每一比赛过程按如下方式排列：负者排在前，胜者排在后，这样每一比赛过程就是一种队列，假定胜方出场k(1k7)名队员即可把负方7名队员全部淘汰，显然负方7号队员排在胜方k号队员的前面，位置是固定的，所以，可能出现不同的队列是负方6个队员和胜方k-1个队员形成的队列，这种排队就可以看成，负方6个队员按原定顺序排好，胜方k-1个队员也按原来顺序插入形成k+5个队员的队列。这种排列与顺序无关，所以胜方k-1个队员插入形成可能出现不同的队列的种数，就相当于从k+5个元素中取k-1个元素的组合数，即。由于胜方可能是甲队，也可能是乙队，

30、所以，所有可能不同的比赛过程的种数是种。)10间接法（至多至少问题，或正难则反）【典例12】(湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是，顺序有种，而甲乙被分在同一个班的有种，所以种数是* 分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理 【典例13】 有9个不同的文具盒：（1） 将其平均分成三组； （2）将其分成三组，每组个数分别为2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？ 分析：（1）此题属均匀分组问题：先取3个为第一组，有种分法，再取3个为

31、第二组，有种分法，剩下的3个为第三组，有种分法。由于三组之间没有顺序，故共有种分法。 （2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。 *分配问题：定额分配（指定到具体位置）.组合处理，逐一分配即可；随机分配（不指定到具体位置）.先组合分堆后排，注意平均分堆。 【典例14】. 有9本不同的书： （1）分组甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。 上述问题各有多少种不同的分法？ 分析：（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的方法。 （2）此题是随机分配问题，先将9本书分成2本，3本、4本共三堆，再将三堆分给三

32、个人，共有种不同的分法。*放球问题：1. 相同小球入盒问题例1:把20个相同小球放入4个不同的盒子,要求无空盒,有多少种不同的放法?解析:隔板法：等价于把20个相同小球分成4堆，每堆至少一个，有C种。一般地：把n个相同小球放入k(kn)个不同的盒子,要求无空盒,有种不同的放法?例2：把20个相同小球放入4个不同的盒子,恰有一个空盒,有多少种不同的放法? 解析：先选一个空盒，再把20个小球分成3堆：种例3：把20个相同小球放入4个不同的盒子有多少种不同的放法?解析：先增加4个相同的小球，再把24个相同小球放入4个不同的盒子,要求无空盒，再在每个盒子减去一个即可。种。例4：把20个相同小球放入1，

33、2，3，4号盒子,要求每个盒子的小球数不少于它的编号数,有多少种不同的放法?解析：可转化为隔板法：先在4个盒子分别放0，1，2，3个小球，再把余下的14个小球分成4堆，每堆至少一个，有种放法。【变式训练】 不定方程,共有（）组不同的正整数解，有（）组不同的非负整数解。2. 不同小球入盒问题（球，盒的数目均较小）可综合考虑方法。 把4个不同小球放入1，2，3，4号盒子（1）共有 种放法；（44=256）(2) 每盒至多一个，有 种放法；（）（3）恰有一个空盒，有 种放法； （4）每盒一个球，恰有一个对上号，有 种。3.不对号入座问题（有一个递推公式an=(n-1)(an-1+an-2） 例：现有

34、1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了相应号的盒子，现要将五个球放入五个盒中，要求小球和盒子的号码不能相同，每个盒中只能放一个小球，问有多少种不同的放法？解析：我们把号数扩展到n个，设n个小球有an种放法，首先1号小球有n-1种放法，不妨假设放入2号盒中，则2号小球若放入1号盒子，那么剩下的n-2个小球、盒子有an-2种放法，2号小球若不放如1号盒子，那么2号小球相当于1号小球，这时n-1个小球和n-1个盒子共有an-1种不同放法，故：an=(n-1)(an-1+an-2)题型四 二项式的系数问题【典例1 】求展开式中某些特定项的系数或项，常用通项分析法. (|x|+-2)3展开式中的常

35、数项为 (1+x2)6的展开式中的常数项为 ；的展开式中x5的系数为 ； 92（3） C101(1+x)+C102(1+x)2+C10k(1+x)k+C1010(1+x)10的展开式含x2项的系数 （4）设 (1+x)3+(1+x)4+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+ a50x50，则a3= （5）（2009江西卷理）展开式中不含的项的系数绝对值的和为，不含的项的系数绝对值的和为，则的值可能为（ ） A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （6）的展开式中x5的系数为 ；28（7）的展开式中x3的系数为-80，则a= ；-2（8）的展开式中的常数项为15，则n= ；6的

36、展开式中第5项为常数项，则n= ；6（9）的展开式中x5的系数为 ；168（10）、的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则 ；（11）、的展开式中第4r项与第r+2项的二项式系数相等，则r= 。4简析：利用多项式乘法公式, 易见 (|x|+-2)3=,于是展开式中常数项为C63(-1)3=-20;由(1+x2)6=1+(+x2)6知其展开式的通项Tr+1= C6r(+x2)r,要Tr+1表示常数,仅需(+x2)r的展开式中第K+1项Tr+1= Crk()r-kx2k为常数项,即3k-r=0,而r=0、1、2、3、4、5、6，则k=0、1、2，于是展开式中的常数项为C60+ C63.

37、 C31+ C66. C62=76 联想二项式定理，易见原式=(2+x)10-1,故原展开式中含x2项的系数即(2+x)10展开式中含x2项的系数：C102.28=11520.（4） 利用等比数列求和公式：左边=，易见a3为(1+x)51的展开式中含x4项的系数：a3= C514或=C33+C43+C503（用组合数性质）（5），则可取，选D点评：对二项式(a+b)n型的一些代数式展开求特定项或系数问题，常化归成二项式利用展开式的通项公式或通项公式推导中组合数模型构造法去思考解决.【典例2】考查目标意识和构造意识正逆用二项式定理及转化思想 1（江苏7）若对于任意实数，有，则的值为（ ）A B

38、C D【解析】将等式右边展开，含、的项为，所以有，解得：6，故选（）。变式：（浙江）2= ；解：原式= 若f(x)=，则f(2)= .5 若f(x)=，则f(x)的反函数为 。注意：逆用二项式展开式时要注意观察式中的正负号和项数，这类题所给的式中往往会多一项或少一项或相差一个倍数，应引起注意。3 某电子产品由四个电阻串联而成，形成7个焊接点，如果焊接点脱落，整个电路不同，则电路不同的的可能情况共有（ ）种 A 63 B 64 C 128 D 127简析:注意7个焊接点脱落的可能分类,逆用二项式定理,种.4.简析：本题系教材习题,教材的意图是用组合数性质推论“连锁反应”求证. 若注意二项式定理展

39、开式的特征和组合数的性质及等差数列“角数和”性质，“反序逆用定理求和”使问题简单化.【典例3】特殊赋值解决系数和的问题1 若，求的值简析:对二项式定理赋值,认识系数的特征,，=2（1十x）十（1十x）2十十（1十x）na0十a1x十a2x2十十anxn，若a1十a2十a3十十an1 509n，求自然数n的值 分析： 要求n的值，根据已知条件，必须先求出a1十a2十a3十十an1的值而a1、a2、a3、an1是多项式特定项的系数，所以可通过对多项式的赋值，求出a1十a2十a3十十an1的值 解 令x1，则2十22十23十十2na0十a1十a2十a3十十an-1十an 由题意知：a0n，anl，所

40、以2n+1512，解之得n8解题点拨：当题目给出条件是二项式展开式的形式时，可将它看成关于x (或字母)的恒等式，通过令x（或字母）的特殊值运算可求得结论。这是一种重要的数学方法一赋值法【变式训练】13.求（）9的展开式中的有理项.分析：因为只需求出展开式中的有理项，所以可运用通项公式求解.14.已知（12x）7=a0+a1x+a2x2+a7x7,求（1）a1+a2+a7; （2）a1+a3+a5+a7; （3）a0+a2+a4+a6.15. 题型五 二项式的解决其他类型的问题： .【典例 】1 、整除或余数问题1。如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后的那一天是星期

41、几？分析：此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n5被7除的余数受近似计算题目启发，23n+3=8 n+1=（71）n+1，这样可以运用二项式定理了，并与7发生了联系，显然除去最后一项都有7的倍数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了。解：由于23n+37n5=8n+17n5=（71）n+17n+5则 23n+37n5被7除所得余数为6。所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日2、近似计算某公司的股票指数为2，以后每天的指数都比前一天的指数增长0.02%，则101后这家公司的股票指数约为 (精确到0.001)简析：101后该公司的股票指数

42、 2(1+0.02%)101=21+ C10110.002+C1012(0.0002)2+2(1+0.0202+10150(0.0002)2)=2.041.【变式训练】16: 9192除以100的余数是_天是星期一，问1090天后是星期几？证明2n+2.3n+5n-4能被25整除.简析： 转化为除以7的余数问题.由1090=10045=(98+2)45=(9845+C451.98442+C4544.98244)+ 245知问题化归成245除以7的余数问题，245=815=(7+1)15=7(714+C151713+ C1514)+1，易知余数为1，故1090天后是星期二. 瞄准25对该式加以转

43、化，由于2n+2.3n=4.6n=4(5+1)n，于是2n+2.3n+5n-4=4(5+1)n+5n-4=4(5n+Cn1.5n-1+ Cnn-2.52)+25n，知命成立.点评：含幂的余数及整除问题，常变化底数，构造二项式模型，展开分析余数求解.3、不等式。【典例 】1： 已知nN*,求证：2 分析：2n Cn1=n故nN*,有n2n,即2.点评：构造二项式模型，避开了数学归纳法，简化证明过程.2 求证：3n2n-1（n2）（nN，且n2）这道题可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成21注意到： 2n+n2n-1=2n-1（2n）=2n-1（n+2）； n2，右式至少三项；这

44、样，可以得到3n2n-1（n2）（nN，且n2）。【变式训练】当时，求证：题型六 解答题中通常和函数综合在一起考查 例：（重庆21）已知各项均为正数的数列的前n项和满足，且（1）求的通项公式； （2）设数列满足，并记为的前n项和，求证：. 解：（1）的通项为（2）由得；由二项式定理知，当时，不等式成立由此不等式有方法技巧点拨1方法与技巧（1）本章经常运用的数学思想是 分类讨论思想；转化思想；对称思想 （2）处理排列组合应用题的规律两种思路：直接法，间接法； 两种途径：元素分析法，位置分析法；对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提；基本题型及方法：捆绑法，

45、插空法，错位法，分组分配法，均匀分组法，逆向思考法等。（2）有关二项式定理应用的常见题型，可将其处理方法分为以下三类：（I）近似计算的处方法1）当a的绝对值与1相比很小时，且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式后半部分：很小，可以忽略不计，类似地有 ，但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求。2)当a的绝对值与1相比有一定的差距时，我们常构造成或的形式，然后利用二项式定理计算。（II）整除问题或求余数的处理方法1）解决这类问题，必须构成一个与题目条件有关的项式2）利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，

46、只考虑后（或前面）一、二项就可以了（III）证明不等式的处理方法1）用二项式定理证明组合不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证的过程。2）应用时应注意巧妙构造二项式3）证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结构不影响的若干项可以去掉。二项式定理在上述三类问题中的应用较为广泛，其具体处理方法也各不相同，但运用二项式定理的关键是：明确二项式定理的特征，抓住其二项展开式的通项公式，弄清二项展开式中二项式系数的性质，并能在适时巧妙的构造二项式。2解题注意点在求解排列与组合应用问题时，应注意 (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理

47、还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答 高考冲刺演练一、 选择题16名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）(A)720种 (B)360种 (C)240种 (D)120种 2某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 A6B12C15D30 3设，那么的值是 A. 121 B. 122 C. 120 D. 243 4在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作

48、三角形，可作的三角形有( )5. 某人射击8次，命中4次，并且恰好有3次命中排在一起，则不同的结果有（）A20种B240种C480种D720种6.三边长均为整数，且最长边长为11的三角形的个数为（）A25B26C36D377. 若二项式展开式中的第5项是5，则等于ABC1D8. 从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)，则所有不同排法种数是( )A.36 B.72 C.144 D.2889.展开式的第三项为( ) A. B. C. D.10.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数

49、是( )A.240B.285C.729D.92011.某邮局只有0.90元、0.80元、1.10元三种面值的邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且邮资恰好为7.50元，则最少要购买邮票( )A.7张B.8张C.9张D.10张12. 现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是A.180B.360C.720D.120二、 填空题13某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种

50、.（以数字作答）14 圆周上有2n个等分点(n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_ 15 二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c，在集合3，2，1，0，1，2，3，4中选取3个不同的值，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线的条数是_16用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数共有 三、 解答题17.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？18.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？19平面上有

51、9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线（1）过每两点连线，可得几条直线? （2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?2020个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数21一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，从口袋中取5个球，使总分不小于7分的取法有多少种？22（一条铁路原有n个车站，为适应客运需要新增加了m个车站(m1)，客车车票增加了62种，问原有多少个车站?现有多少个车站?参考答案：【变式训练】1分析：每名学生都有3种选择。2解：取出不是同一国文字的书2本，可以分为三类：中英、中日、英日，而每一类中又都可分两步来取，因此有种不同的取法注意：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理3.解：原方程可化为 且 ,解得 .经检验 是原方程的根。4和5；41260.注意到,，,将和为1968的 “简单的”非负整数分为四步完成，第一步完成1有种，第二步完成9有