单位根的性质的应用

1、单位根的性质的应用把1的每一个n(nN)次方根叫做n次单位根，简称单位根1的n个单位根表示数学问题时，可以大大地简化解证题过程下面仅把下文中用到的单位根的性质列举如下：性质1 ,进而可推广为若且z1，则z的任意连续n个整数次幂的和为0，本结论可表示为：性质2 下面简要说明单位根性质的应用一、在复数计算中的应用2计算：(答案：1000(1i)二、在复数证明中的应用例2 求证：二项方程的n个根的和为零(注：本题如应用韦达定理证，也较为简单)三、在求三角函数式的值方面的应用练习题：四、在恒等式证明中的应用证明：是1的七次方根，则原式得证练习题：xn=1的根k=cos(2k/n)+i*sin(2k/n

2、)，k=0,1,.,n-1,称为n次单位根性质一：n次单位根的模为1，即|k|=1 性质二：两个n次单位根j与k 的乘积还是一个n次单位根，且jk =j+k 推论1：j -1=-j 推论2：km =mk 推论3：若k除以n的余数为r，则k=r 注：它说明k等价于r=0推论4：任何一个单位根都可以写成1的幂，即k=1k说明：除了1，还有没有另一个单位根k使任何一个单位根都是k的幂，回答是肯定的，并称这样的根为n次本原根，n次原根。从而所有n次单位根还可以写作1,12,1n(0=1)推论5：一个n次单位根的共轭也是一个n次单位根，即k=n-k(表示共轭)因为kk=|k|2，k=1/k=-k=n-k

3、 (由推论3)注：由上证明看到1/k=k，说明所有虚的n次单位根都成对共轭推论6：对任意整数k,h，有kh=hk性质三：A=1+1m+2m+n-1m 当n|m时，A=n，否则A=0证明：由性质二推论4有A=1+1m+(12)m+(1n-1)m =1+1m+(1m)2+(1m)n-1 =1-(1m)n/( 1-1m)=1-(1n)m/ (1-1m)=(1-1)/ (1 -1m)=0 推论1：(i从0到n-1) i=0 推论2：设k1，则(i从0到n-1) ki=0 证明：由k1，故n不整除k，由性质二推论4和性质三， (i从0到n-1) ki=(i从0到n-1) ik=0性质四：全部单位根将复平

4、面上单位圆n等分。练习：求1+Cn3+Cn6+Cn9+Cn3h-3+Cn3h其中3h是不大于n的最大的3的倍数。（2n+2cos(n/3)/3）法则一：设f(x)和p(x)是两个已知的多项式，并设存在第三个多项式q(x)使 f(x)=p(x)q(x) 那么(1)若f(x)和p(x)的系数都是复数，则在复数范围内f(x)被p(x)整除 (2)若f(x)和p(x)的系数都是实数，则在实数范围内f(x)被p(x)整除 (3)若f(x)和p(x)的系数都是有理数，则在有理数范围内f(x)被p(x)整除 (4)若f(x)和p(x)的系数都是整数，且p(x)的首项系数是1，则在整数范围内f(x)被p(x)

5、整除余数定理：多项式f(x)被x-a除余数为f(a)法则二：x-a|f(x)等价于f(a)=0法则三：f(a)=f(b)=0,ab,则x2-(a+b)x+ab|f(x) 推论1：若实系数多项式f(x)满足等式f(+i)=0, ,R且0，则 X2-2x+(2+2)|f(x) 推论2：若整系数多项式f(x)满足f()=0, =-1/2+i3/2,则 X2+x+1|f(x)法则四：若多项式f(x)有f(a1)= f(a1)= f(a2)= =f(an)=0,且aiaj,ij,则 (x-a1)(x-a2)(x-an)|f(x) 推论：k为n次单位根，若整系数多项式f(x)满足一组等式 f(k)=0,其

6、中k取1,2,n/2,n为偶数或取1,2,(n-1)/2,n为奇数，则 xn-1+xn-2+x+1|f(x)练习1：f(x)=x3m+1+x3n+2+1,m,n是整数，证x2+x+1|f(x) 2：n是自然数，且f(x)=xn+2+(x+1)2n+1,则对任意整数k，k2+k+1|f(k) 3：求x1001-1被x4+x3+2x2+x+1除得的余式？ （-x3+x2） 4：设Q(x),P(x)和R(x),S(x)都是多项式，满足 P(x5)+xQ(x5)+x2R(x5)=( x4+x3+2x2+x+1)S(x) 证明：x-1|P(x) (1976年美国第五届中学生数学竞赛试题) 4：设Q(x)

7、,P(x)和R(x),S(x),T(x)都是多项式，满足 P(x5)+xQ(x5)+x2R(x5)+x3T(x5)=( x4+x3+2x2+x+1)S(x) 证明：x-1|P(x)练习1：x8+x6+x4+x2+1 注意各项系数相等，且x的指数8，6，4，2，0被5除后所得余数为3，1，4，2，0 2：x12+x9+x6+x3+1 3.1：x8+x4+1 (分成3个因式积) 3.2：x5+x+1 (分成2个因式积) 4：1+2a+3a2+4a3+5a4+6a5+5a6+4a7+3a8+2a9+a105：a2+(a+1)2+(a2+a)2利用单位根，可以很容易地导出三次方程的求根公式设是三次虚单

8、位根，则+2=-1，3=1容易验证(x+y+2z)(x+2y+z)=x2+y2+z2-xy-yz-zx从而(x+y+z) (x+y+2z)(x+2y+z)=x3+y3+z3-3xyz由此可见，关于x的三次方程x3-3yzx+(y3+z3)=0,具有x1=-(y+z)，x2=-(y+2z)，x3=-(2y+z).(1)因此，如果已知一个三次方程x3+px+q=0.(2)为了解它，只须令 -3yz=p.(3)y3+z3=q.(4)从(3)式得到 y3z3=-p3/27(5)从(4)和(5)式知道，y3和z3是下述一元二次方程的两个根：X2-qX-p3/27=0其根是X=q/2 (q2/4+p3/2

9、7).(6)由于(1)式中y和z是对称的，所以(6)式中可取任一个为y3，令一个为z3。因此，可取 y=q/2+(q2/4+p3/27)1/3(7) z=q/2-(q2/4+p3/27)1/3.(8)这里y，z可以各取三次方根中的一个，只须保证yz=-p/3即可。将(7)和(8)代入(1)，就得到三次方程(2)的求根公式，即卡丹公式。练习：求一个有理系数方程，使它的根等于a4+a6+a7+a9,其中a是x13-1=0的根（ (y-4)(y3+y2-4y+1)=0 ）设P(a)表示有复数a确定的点P法则一：设a,b为不相等的复数，R且p=(a+b)/(1+)或(p-a)/(b-p)=则P(p)在

10、直线A(a)B(b)上，当0时，AP与PB同向且AP/PB= 0时，AP与PB反向向且AP/PB=|特别AB的中点M(m)由下式决定m=(a+b)/2法则二：若A(a),B(b),C(c)满足 (a-c)/(c-b)=r(cos+i*sin)则 CA/BC=r,BCA=-法则三：若A(a),B(b),C(c)满足a+b+2c=0,则三角形ABC为正三角形，并且沿三角形周界逆时针，反之，三角形ABC是正三角行，且沿周界逆时针，则上关系也成立。练习1：在三角形ABC的三边上向外作正三角形BCA，CAB，ABC,设A0，B0，C0分别是线段AA，BB，CC中点，求证：三角形A0B0C、B0 C0A、

11、C0 A0B都是正三角形练习2：在三角形ABC的三边上向外作正三角形BCA1，CAB1，ABC1设A0，B0，C0分别是这三个正三角形的中心，又设AA0，BB0，CC0的中点分别为A,B,C求证：三角形A0B0C0、AB C都是正三角形练习3：已知圆外内接六边形ABCDEF的边满足 AB=CD=EF=r(r为圆半径) 又G，H，K分别是边BC，DE，FA的中点，求证三角形GHK是正三角形法则四：设A(a)，B(b)，C(c)，D(d) 是复平面上单位圆zz=1(表示共轭)上的4点，直线AB与CD交于S(s)则 s=(a+b-c-d)/(ab-cd)n次单位根对乘法满足1.封闭性2.结合律3.有单位元4.任何n次单位根有逆元则全体n次单位根对复数中乘法构成一个群，称n次单位根群同时这个群中元素满足5.交换律，从而n次单位根群是个交换群又注意到n次单位根群中存在n次原根，从而n次单位根群是循环群性质：设k是一个n次单位根(kZ),则k是n次单位原根等价于 (k,n)=1，即k与n互素证明： 若(k,n)=1，则下列n个数k，2k，nk被n除后必定互不相同。这是因为如果后