完整版专升本高数公式大全

1、高等数学公式求导公式表:(C)0( C为常数)；(ax) axlna(a 0,a 1)；(x ) x 1 (为实数)；(ex) ex ；1(log x) (a 0,a 1)；a xln a(tan x)(sinx) cosx；2 1 ； sec xcos2 x(In x) 1 ；x(cos x) sinx ；(secx) secxtanx；(cot x)2 1 csc xsin2 x(cscx) cscx cot x ；(arcs in x)1 ；(arctan x)-，1 x2基本积分表：(k为常数).特别地，当kk d x kx Ckx dx x 1 C (1)1idx In | x |

2、C x axdx 土 C (a0，a 1).In a(arccosx)(arccot x)exdx ex C0时，0dx Ctanx Ccotx Csin xdxcosxdxsec xdxcsc2xdxcosx Csinx C.dx2cos xdx.2-sin xsecx ta nxdx secx Ccscx cot xdxcscx Carcsinx Carccosxarctan x Carc cot x C tan xdx In cosx Ccotxdx In sin x| C secxdx In |secx tanx| C cscxdx In cscx cot x C1 2 a-dxxar

3、cta nCa a2 a 20)Cc .secxdx-secxtanx In secx tanx2三角函数的有理式积分:2usin x 2, cosx1 u2u tan,2, 2dudx 21 u2幕函数:yx (为实数）指数函数：yx,a (a 0,a1)对数函数:yIog a x(a0,a1)三角函数：ysin x, y cosx, y tan x, y反三角函数：yarcsin x,y arccosx, y双曲正弦:shxxxe e2双曲余弦:chxxxe e2双曲正切:thxshx exx echx exx e一些初等函数:cot x, y arctan x, ysecx, yarcc

4、otcscxx1)1arshxarchxarthxln(x .x2 1) ln(x. x21 1 xIn -2 1两个重要极限：sin xlim1x 0limxlimx 0等价无穷小量替换当 x 0时，xsinx tanxarcsinx arctanxxln(1 x) e 1,11 cosxx2,2xsin 2xtan 2x, . 1 x2三角函数公式:诱导公式：sin()sin coscossincos()cos cos msinsintan()tantan1 mta ntancot()cot cot m1cotcot-和差角公式:sinsin2si ncos22sinsin2 cossin

5、22-和差化积公式:cos cos 2 cos cos2 2函数角AsincosTancot-a-sin acos a-ta n a-cot a90 - acos asin aCot atan a90 + acos a-sin a-cot a-ta n a180 asin a-cos a-ta n a-cot a180 -a-sin a-cos aTan acot a270 - a-cos a-sin aCot atan a270 - a-cos asin a-cot a-ta n a360 - a-sin acos a-ta n a-cot a360 - asin acos aTan aco

6、t acoscos2 si nsin22倍角公式:sin 2 2sin coscos2cot22 22cos1 1 2s incot212cos2cottan22ta n21 tan-半角公式:sinu1cos2J2tan -1cos1 cossin1cossin1cos正弦定理:abc2Rsin Asin B sin C.2 sinsi n33si n4si n3cos34cos33costan33tantan31c 23tancos21cos2cot i 、1 cos1 cossin1 cossin1 cos余弦定理:2 2 c a2b 2abcosCarcta n xarc cot x2

7、-反三角函数性质：arcsin x arccosx2高阶导数公式一一莱布尼兹(Leib niz公式:(uv)(n)CnU(n0k)v(k)u(n)vnu(n 1)vn(n 1)u 2!(n 2)vn(n1) (n kk!1)(n k)v(k)uv(n)中值定理与导数应用：罗尔中值定理：f ( )0拉格朗日中值定理：f(b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄型血F(b) F(a) F ()当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds . 1 y 2dx,其中y tg:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;s： MM弧长。dyM点的曲率：K lims 0直

8、线：K 0;半径为a的圆：K -.a定积分的近似计算：yn 1)yiyn ib矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a,(yo yi nb a1/、(y。 yn) n 2b抛物线法：f (x)ab a3n(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定积分应用相关公式：功：W F s 水压力：F p A引力：F为引力系数f(x)dxr函数的平均值：y均方根：1bb1aaf2(t)dt空间解析几何和向量代数:空间两点的距离：d M1M2uuu向量在轴上的投影：Pr juAB.(X2 X1)2 (y? yi)2 (z? Z1)2 uuuuuuAB cos ,是AB与u轴的夹角。v

9、 vv vPrjuG a?) Prjai Pr ja?v v v va b a b cosaxbx aybyazbz，是一个数量两向量之间的夹角:cosaxbxayb2 2 f axayyaz2azbz2by2 b；v v V cabaxbxaybyazbzvb sin例:线速度：v ww v.向量的混合积:vb)axbxaybyazbzcos ,为锐角时,Cz代表平行六面体的体积。1、点法式：A(x x0) B( y y0) C(z2、一般方程：Ax ByCzD03、截距世方程：-1a b-1 c平面外任意一点到该平面的距离:d平面的方程:z0) 0,其中 n A, B,C, Mo(Xo,

10、y,Zo)Ax0 By。Cz DA2 B2 C2空间直线的方程:xXomy yonZoPx x0 mtt,其中s m, n, p;参数方程：y y0 nt z Zo pt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2xa2x2p2y_b22y2q乙（p,q同号）3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2 x2 a2 x2 ab22b22勺1 c2今1（马鞍面）c多元函数微分法及应用xfx(x,y) x全微分：dz dx dyx y全微分的近似计算：z dzdu udx dy dz y z fy(x,y) y1、pluz vZ fu(t),v(t)亠dtutv trzzu z vZ fu(x,y),v(x,y

11、)XuXv X当u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dydvdxdyxyXy隐函数的求导公式：隐函数F(x,y) 0,史FxL，d2y (F (巳)dydxFydxxFyyFydx隐函数 F(x,y,z) 0,FxL ，ZFyXFzyFzFF隐函数方程组：F(x,y,u,v)0J(F,G)uFuFvG(x,y,u,v)0(u,v)GGGu Gvuvu1(F,G)v丄(F,G)XJ(x,v)XJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)多元复合函数的求导法：J(y,v)(u,y)yy微分法在几何上的应用:X空间曲线y(t)(t)在点M (x0,y0, z。)处的切线方程:(t)XX

12、o(to)yo(to)Z Zo(to)在点M处的法平面方程：(to)(x X。)(to)(yyo)Fy FzGy G z(to)(z Zo)FxGxFzFxGz Gx若空间曲线方程为：F(x，y，z)。则切向量T G(x,y,z) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一点 M(Xo,y,Zo),则:过此点的法向量：n Fx(Xo, y,zo), Fy(x, yo, zo), Fz(x, yo,z。)过此点的切平面方程：Fx(xo,yo,z)(x X。)Fy(Xo,y,Zo)(y y)2、3、过此点的法线方程:x Xoz ZoFx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo, yo,Zo)Fz(Xo,yo,

13、Zo)FyGyFz(Xo,yo,z)(zZo) 0方向导数与梯度:函数z f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为： cos sin I xy其中为x轴到方向I的转角。函数z f (x, y)在一点 p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i jx y它与方向导数的关系是：- grad f (x,y) e,其中e cos i sinj，为I方向上的单位向量。f是gradf (x, y)在I上的投影。B, fyy(X,y。)C多元函数的极值及其求法：设 fx(x,y。)fy(x,y) 0,令：fxx(Xo,y) A, fxy(x,y。)f (x, y)dxdyDf(r cosD,

14、r sin )rdrd曲面z f (x, y)的面积A2zz、1 y x2dxdyx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的转动惯量：对于X轴lxy2 (x, y)d ,D平面薄片(位于 xoy平面)对z轴上质点M (0,0, a), (a(x, y)yd平面薄片的重心：x匹My (x,y)d(x, y)dD对于y轴I y0)的引力:Fx(x,y)xdFyD /(x y a )D/222门(x y a )Fzx2 (x, y)dDF Fx,Fy,Fz，其中:r (x, y)xd fa3D ,(x y a )B2AC0时，A0,(x。, y。)为极大值A0,(x。, y。)为极小值则：B2AC

15、0时，无极值B2AC0时,不确定重积分及其应用:3 柱面坐标和球面坐标:x r cos柱面坐标：y r sin ,f (x, y, z)dxdydz F(r, ,z)rdrd dz,z z其中：F(r, ,z) f (r cos , r sin ,z)x rsin cos球面坐标： y rsin sin , dv rd rsin d dr r2sin drd d z r cos2r(,)f (x, y,z)dxdydz2F(r, , )r sindrddd0dF(r,0 0,)r2 sindr重心：x x dv1,yydv,z1z dv,其中MxdvMMM转动惯量：I x(y2 2z ) dv

16、,Iy(x22 z)dv,Iz(x2y2) dv曲线积分：第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):设f (x, y)在L上连续，L的参数方程为：x(t)J(t),则：y(t)f(x,y)dsf (t),2(t)2(t)dt()特殊情况：x ty (t)L第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为y(;),则:P(x,y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上积分起止点处切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x yl当Py,Q x,即：卫2时，x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是

17、一个单连通区域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD X得到D的面积：A)ds其中和分别为P)dxdy ydxdyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQP2、P(x,y), Q(x,y)在 G内具有一阶连续偏导数,且-Q二上。注意奇点，如(0,0)，应xy减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积：Q P在一=一时，Pdx Qdy才是二兀函数u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 y00(xo,yo)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) 1 z；(x,

18、y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前侧时取正号；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcosx

19、yz高斯公式的物理意义通量与散度:散度：divR，即：单位体积内所产生 的流体质量，若zRcos )dsdiv 0,则为消失因此，咼斯公式又可写成:div AdvoAn d s斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：(RQ)dydz ( P R)dzdxQ(P)dxdy。PdxQdyRdzyzz xxydydz dzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成： xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件：RQPRQ Pyzzxx yQ cosAn ds(P cosRcos)ds,ijk通量： A nds旋度：rotA向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx Qdy Rdz A td

20、s常数项级数:1 qn等差数列：11 q 1)n21是发散的n级数审敛法:1、正项级数的审敛法设： lim n Un，则根植审敛法(柯西判1时，级数收敛1时，级数发散1时，别法)：不确定2、比值审敛法:设： limUnn 1uT，则级数收敛 级数发散1时，1时，1时，不确定3、定义法:SnU1U2Un;lim sn存在，则收敛；否则发 n散。交错级数U1U2U3U4U1 U2 U3,Un 0)的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足UnUn 1.门，那么级数收敛且其和Slim Un 0nUi,其余项rn的绝对值rnUn 1。绝对收敛与条件收敛:(1)U1 U2U1如果(2)收敛，则(1)肯定收敛

21、，且称为绝对 收敛级数; 如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1发散，而n丄收敛；n1 /pn p . pU2U3Un，其中un为任意实数;Un调和级数:级数:1时发散1时收敛幕级数:1 X X21时，收敛于丄1 X发散对于级数(3)a0a1x2a?x1时,n数轴上都收敛，则必存anXX在R,使 xX，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全 R时收敛R时发散，其中R称为收敛半径。R时不定0时,求收敛半径的方法：设limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系数，则0时，时，R 0函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:f(x)f(X0)(X X。)-(X X0)22!(

22、n),f(X0)(X Xo)nn!(n 1)余项：Rn(n 1)!(xx0)n 1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim Rp 0nx0 0时即为麦克劳林公式：f(x) f(0) f (0)x -f-(0)x2 2!f(n)(0)常用的幕级数展开式:11 xXensin xcosxnX12X XLnXL x (n 0n2XX1n,1XL-Xn L0 n!2!n!2n 135nXXX(1)XLn 0(2n 1)!3!5!2n24n XXX(1)1Ln 0(2n)!2!4!(21,1)1)nn!2n 1X(2n2nn X1)- (2n)!1)!ln(1 x)1)欧拉公式:ixe cosx

23、 isinxcosx或sin xixixe e2ixixe e三角级数:n 1(1)n L x ( 1,1n 12a。 f (t) A。An sin(n t n)-(an cosnx bn sin nx)n 12 n 1其中，a。aAo，anAn sinn，bnAn cosn，tX。正交性:l,sinx,cosx,sin2x,cos2x sinnx,cosnx 任意两个不同项的乘积 在,上的积分=0。傅立叶级数：f(x)ao(an cosnx bnsinnx), 周期1anf(x)cosnxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx1 2321 12242丄5111112232711

24、122,2234(n 1,2,3f (x)sin nxdx182 1242(相加)62一(相减)12正弦级数:an0,bn1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数:bn0, anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)aoan cos nx是偶函数周期为2l的周期函数的傅立叶级数:f(x) a2an其中/ n x .(an cosbn sinn 1lln x,f (x) cos dxilln X),周期(n0,1,2 )2lbn1n x,f (x)s in dxl il(n1,2,3 )微分方程的相关概念:或 P(x,y) dx一阶微分方程：y f (x, y)可分离变量的微分

25、方程：一阶微分方程可以化 为g(y)dy得：G(y) F(x)Q(x,y)dyf(x)dx的形式，解法:g(y)dy f (x)dxc称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dydxf(x,y)(x, y),即写成y的函数，解法:x设u y，则鱼ux dxduxdx，dudx(u),dx- 分离变量，积分后将 代替 u,(u) ux即得齐次方程通解一阶线性微分方程:1、阶线性微分方程：dydxP(x)yQ(x)当Q(x) 0时，为齐次方程,y CeP(x) dx当Q(x) 0时，为非齐次方程，yP(x)dxP(x)dx(Q(x)e dx C)e2 贝努力方程：dy P(x)y Q(x)yn,(n 0,1) dx全微分方程：如果P(x, y)dx Q(x,y)dy 0中