2018年高考数学一轮复习感知高考刺金四百题含答案解析)

1、感知高考刺金361 题设 x R ， x表示不超过 x 的最大整数 . 若存在实数 t ，使得 t1， t22 ， ， tnn同时成立 ，则正整数 n 的最大值是解：由 t1得 1 t2由 t 22得2t23由 t 44得4t45，所以 2t25由 t 33得3t 34，所以 6t54 5由 t 55得5t 56与 6 t 545 矛盾，故正整数n 的最大值是 4感知高考刺金362 题过点 M1,1 的直线 l 交圆 C : x2y21于点 A, B， O 为坐标原点， 若在线段 AB上的1Q 满足112，则 OQ minMAMBMQ解：设 Ax1 , y1， Bx2 , y2， Q m,n，

2、直线 l : yk x11则 MA1 k 2 x11 ， MB1 k2x21，MQ1 k 2 m 1由112得1121 x21 m 1MA MBMQx1221 得 k2由x 1y1 x22k 22k 2 x k 1 20ykx 11222k2k 2 ， x1 x2k1所以 x1x2k2k 2141所以 k21m所以 n24m 111m整理得点 Q m, n满足的轨迹方程为2mn 1 0所以 OQ min1555第 1页感知高考刺金363 题D 为ABC 的边 BC 上一点，uuuruuur如图，已知点BD3DC ，En n N *为 AC边上一列点，满足uuuur1uuuuruuuuran满足

3、 an0 ，En Aan 1 En B 3an2 En D ，其中数列4a1 1 ，则 an的通项公式为uuuruuuruuuur1 uuuur3 uuuur解：由 BD3DC 可得 En DEn BEnC44又uuuur1uuuuruuuur，且uuuuruuuurEn A4 an 1 En B 3an2 En DEnCEn A故uuuur1 uuuur31uuuuruuuurEn D4 En B44 an 1 En B 3an2 En Duuuuruuuur即 1 3 an 1 En B 133an2 En D4164uuuur uuuur13an 10416因为 En B, En D 不

4、共线，故，313an204两式相除消去得 an 13an2 ，又 a11 ，所以 an23n 1 1感知高考刺金364 题若点 A 在圆 C : ( x1)2( y 2)24 上 运动 , 点 B 在 y 轴上运动,则对定点P(3,2) 而uuuruuur言,|PAPB |的最小值为uuuruuur解法 1：设 A(x1, y1) , B(0, y2 ) ,则 PAPB ( x16, y1y24).uuuruuur6) 2( y1y24)2r 2若 设 r | PAPB | , 则 由 题 意 可 得 ( x1.即,点 A在以D(6, 4y2 ) 为圆心 ,以 r 为半径的圆 D : ( x

5、6) 2( yy24)2r 2上 .第 2页由圆C与圆D有公共点A可得r 2 |CD |(6 1)2(6 y2 )25 ,从而 r 3 .解法 2：设 A(x1, y1) , B(0, y2 ) ,则uuuruuurPAPB ( x16, y1y24) .从而,uuuruuur6)24)26)2| PA PB|(x1( y1y2( x16 x1 3.解法 3：由点 A 在圆 C 上可设 A(12cos, 22sin) , B(0, t) ,uuuruuur(2cos5, t2sin6) .则 PAPBuuuruuur5)26)2(2cos5) 2故|PAPB |(2cos(t2sin5 2co

6、s3 .uuuruuuruuur解法 4：设Q为 AB 的中点 ,则 PAPB2PQ ,过 P, Q, A 作 y 轴的垂线 ,垂足分别为P,Q ,A.由于 |PP|PQ |QQ|PQ|1|AA|PQ|32,2因此|PQ|PP|33uuuruuuruuur即|PA PB| 2|PQ| 3.2,2解法 5：设 B 为点 B 关于点 P 的对称点，uuur uuuruuuruuuruuuur则|PAPB | |PAPB |BA|.y由于点 B 在直线 x6上 ,点 A 在圆 C : ( x 1)2( y2)24 上可uuuurBP得|BA|523 .解法 6：同解法 5，设 A 为点 A 关于点

7、P的对称点 ,则BOuuuruuuruuuruuuruuuurxA| PAPB | |PBPA| |AB|.C由于点 A在圆C :225)( y 6)4,( x上 点 B 在 y 轴上可uuuur523得|AB |第 3页感知高考刺金365 题xy2011设实数 x, y 满足x2 y50 ，则的取值范围为uy20x2 y解：可行域如图所示，A 1,2， B4,2 ，C3,1 ，所以 1 x4,1y2设点 P x, y是可行域内一动点，目标函数 u11既是关于 x 的减函数，又是关于y的减函数x2 y所以当点 P 与点 C 重合时，此时 x 取得最大值4，同时 y 取得最大值2，此时 u 取得

8、最小值为 11142 22对于每一个固定的y 的值，要使 u 取得最大值， 应使 x 取得最小值， 即点 P 应位于线段 AB 上，此时 x 52 y 1y2111151y 2u yx 2 y 5 2 y 2 y 2y 5 2 y所以 umax y5与点 A重合，此时 P 1,24综上所述， 1u524感知高考刺金366 题已知点 A, B是双曲线 x 2y 21 右支上两个不同的动点，O22uuur uuur为坐标原点，则OAgOB 的 最小值为解法一：韦达定理当 kAB 存在时，设 l AB : ykxb第 4页x2y 22kb222211 k 2 x22kbxb220 x1x21, x1

9、 x2b 22ykxbkk1uuuruuur22gx 1 x 2kx1b kx2bk1 x1 x 2kb x1 x 2bOA OB x 1 x 2 y1 y21 k 2 b22 2k 2b 2b22 2k 22k2412k 21 1 k 2k 21x2y22 ，则uuuruuur22当kAB 不存在是，OA OBx1x2y ym2m2xmg1 2uuur uuur2综上， OAgOB解法二：由于 A,B 两点运动，故采取“一定一动”的原则，不妨先在B 点确定的情况下，让A点运动到最小值，然后再让B 点运动，即取最小值的最小值。如图，不妨设直线OB : ykx k0x2y 212222k 2由2

10、2，可得 xB1k2， yB1k2ykx故 OB22k22 k 211k21k21 k2显然点 A运动到，在点 A处的双曲线的切线 （即 AC ）与 OBuuuruuur垂直时，此时 OA 在 OB 上的投影达到最小值此时切线 AC 的方程为 xky2 1k 20uuuruuur故OA在OB上的投影等于点O到直线AC的距离为2 1k 21k2故uuuruuuruuuruuur2 1k22k 21gOCOB2OA OB1k 21 k2解法三： 设 A x1, y1 , B x2 , y2第 5页uuuruuurx12x22x12 x222 x12x22OAgOBx1x2y1 y2x1 x222x

11、1x24x1 x2x12 x224 x1 x24 x1 x2x1x22又因为 x12， x22，所以 x1 x22uuuruuur所以gx1 x22 2OA OB x1x2解法四： 设 Ax1, y1 , Bx2 , y222222x1y12 ， x2y2两式相乘得 x12y12x22y224即 x12 x22y12 y224 x12 y22x12 y222x 1 x 2y1 y2 ，得 x1 x2y1 y224x1 y2y1 x 22等式两边同时加上4uuuruuur故 OAgOB x 1 x 2y1 y22解法五：三角换元设 A2 sec ,2 tan， B2 sec, 2 tan所以uu

12、uruuur22sinsin1sinsinOA OB2gcoscoscoscoscoscosuuuruuur2 1sinsin41sinsin41sinsin41sinsin2OA OBgcoscoscos2cos22sin2sin222sinsin解法六： 前同解法五，令y1sinsin，则 y coscossinsin1cos cos故y2 cos2sin2cos1故y2 cos2sin21即 y2 cos2sin 212uuur uuur故y1，又因为y 0，所以y 1，OA OB 2 y 2g感知高考刺金367 题第 6页设 关 于 x 的 方 程 x2ax1 0和 x2x 2a0 的

13、 实 根 分 别 为 x1 , x2 和 x3 , x4， 若x1x3x2x4 ，则 a 的取值范围是解： x2ax10ax1xx2x2a0ax2x2在同一个坐标系中画出yx1 和 yx2x 的图象如图所示x2由 x1x 22x ，化简得 x33x220x显然有根 x1 ，故可因式分解为x31 3x23 x 1 x22x 2 0解得 x1 或 x 13 或 x 13当 x 13 时，y33 ；当 x 13 时，y33 ，22由图可知， 033a2感知高考刺金368 题设 a,bR ，关于 x 的方程 x2ax1x2bx10 的四个实根构成以q 为公比的等比数1,2 ，则 ab 的取值范围是列，

14、若 q3解：设等比数列为m, mq , mq 2 , mq 3，从而有 m2 q 31由题意知 abmmq3mqmq 2m2 q 1q1q3q1q21qq 221q1q2qq令 q1t2, 10 ，故 abt 2t2 在 t2, 10上单调递增，故ab4, 112q339第 7页感知高考刺金369 题已知 F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1 PF2，则椭圆3和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为解法一： 设椭圆的半长轴长，半短轴长，离心率为a1 ,b1 ,e1 ，双曲线的半长轴长，半短轴长，离心率为 a2 ,b2 ,e2 ，共同的半焦距为c则PF1PF22a1 ，

15、则PF1a1a2PF1PF22a2PF2a1a21a1a222在PF1F2 中应用余弦定理得a1 a24c222 a1a2a1a2化简得 a123a224c2 ，即134 ，问题要求 11 的取值范围。e12e22e1e2设 12cos, 12sin，则 112cos2sin44 sin4 3e1e23e1e2333解法二： 11a1a22 PF1e1e2cF1F2在PF1F2 中运用正弦定理得112 PF12sinPF2 F14sinPF2 F14 3e1e2F1F2sinF1 PF233当且仅当PF2 F190o 时取得等号。感知高考刺金 370 题已知函数f x ax2bxc ，且 a

16、bc ， a bc0，集合 Am | fm0 ，则（）mA，都有 fm30mA，都有 fm30ABCm0A，使得 fm030Dm0A，使得 fm030第 8页解：有题干条件可知 a0,c 0, f 10于是函数 f xax2bx c 是开口向上的二次函数，由f 00 和 f10 知一个零点为1，另一个零点 x0 1结合选项知问题就是研究两个零点间的距离与3 的大小关系，即x0 与2的大小关系。因为 f 24a 2bc 3 a b0故画出大致图象知两个零点间的距离小于3，故 A 选项正确。感知高考刺金371 题若正数 a,b 满足2ab 1，则ab的最小值为2 2 a 2b解法一： 分母复杂时采

17、取换元。令 22a m,2bn ，则问题变为已知m n 32 m2n，求的最小值。2mn2 m 2 n1 2 3 m n 1 2 3 1 2 3 n 2m 2 2 12mnm n 23 m n 2 3 3 2 3m 3n32当且仅当 n112m ，即 a， b时取得等号。42解法二： 齐次化ababab112 2a 2 b 2 2 a b 2 a 2 2 a b b 2 a 2b 4a b22b4aa1b记 bk ，视为线段2a b1 a0,b 0上的点与坐标原点连线的斜率bk 0,aay111k2 k23k 442 2k k 4 2k 210k 83 2 k1k2k 210 k87k 47k

18、 42k 210k 812 k210k 8设 7k4 t4 ，第 9页y 1t149t228t1670 t48 492t 410 t482 t77149t1491492212541442t54t反思： 这个解法计算量很大，主要是题目设计的数据不好，但齐次化思想还是清晰的。感知高考刺金 372 题在ABC 中， AB边上的高与 AB边的长相等，则 ACBCAB 2的最大值BCACBC AC为解：由 S ABC1ab sin C2则 ACBCAB 2BCACBC AC2ab sin C2 ab cos Cab1c c 得 ab sin Cc22AC 2BC 2AB 2b2

19、a 2c22c22ab cos CBC ACabab2sin C2cos C22 sinC422当且仅当 C时，取得等号。4同类题：在ABC 中 ， BC 边 上 的 高 与 BC 边 的 长 相 等 ， 则 bc 的 取 值 范 围cb是解： S ABC1bc sin A1a22a a ，则 sin Abc2由余弦定理有cosAb2c2a2bca2bccbbc所以 bc2cos Asin A5sinA5cb又 bc2，故 bc2,5cbcb感知高考刺金373 题若ABC 沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的ABC 为“和谐三角形”。设ABC 的三个内角分别A, B,C ，则下

20、列条件中能够确定为“和谐三角形”的有 A : B :C7: 20: 25； sin A :sin B :sin C7:20:25； cos A:cos B :cos C7:20:25 ；第10页 tan A: tan B : tanC7:20:25解：本题是三角形翻折问题，主要考查了一个结论：“三棱锥任意一个顶角引出的三条棱，两两构成三个角，这三个角（三面角）有一个结论：任意两个的和都大于第三个”先证明如下：如图所示作AO面 PBC ，作 COPC ，则 AC PC ，作 BOPB ，则ABPB，因为 cosAPCPC ,cosOPCPC，PA POPAPO所以 cosAPCcosOPC ，A

21、PCOPC同理APBOPB所以APCAPBOPBOPCBPC即三面角中的两个之和大于第三个。回到这道题目， 形成的三棱锥的顶角的三面角恰好是原ABC 的三个内角， 又三面角中的两个之和大于第三个，故这个ABC 为锐角三角形。故检验四个条件，易知这三个条件构成锐角三角形。感知高考刺金374 题已知关于x 的方程x3ax 22axa 21 0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是解：看到本题时是不是第一反应就是三次函数求导做呢？这确实是一个办法，这里再从方程的根其实就是函数的交点的角度，给出一个更妙的解法。x3ax22ax a 210 既可以看成是关于 x 的三次函数，也可以视为关于a 的二次函数即转换主元得 a2x22x ax310x22x24 x31x22则2所以 ax22 xx22x 1 或 a x2x 12，即 a因为 ax1 已经有一个根 xa1 ，所以 x2x1a0 没有实数根，即014 1a0，解得 a34点评： 这种转换主元和方程根与函数交点互换的思想，在感知高考刺金367、 286 等题目中都有涉及。第11页感知高考刺金375 题r rrrrrrrr r已知 a, b 是非零向量， a2ba ， b2ab ，则 a 与 b