2012高三数学一轮复习阶段性测试题(8)：平面解析几何

1、阶段性测试题八(平面解析几何 )本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分。满分150 分。考试时间120 分钟。第卷 (选择题 共 60 分 )一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。 )1(2011 宁沈阳二中阶段检测辽)“a 2”是“直线 2x ay1 0 与直线 ax 2y 20平行”的 ()A 充要条件B 充分不必要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件答案 B解析 2 a 1a 2.故 a2两直线平行的充要条件是，即两直线平行的充要条件是a 2 2是直线 2x ay 10 与直线 ax

2、 2y 20 平行的充分不必要条件点评 如果适合 p 的集合是 A，适合 q 的集合是B，若 A 是 B 的真子集，则 p 是 q 的充分不必要条件，若A B，则 p， q 互为充要条件，若B 是 A 的真子集，则 p 是 q 的必要不充分条件x2y22(2011 福州市期末 )若双曲线 a2 b2 1 的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 ()A.5B 5C.2D 2答案 A解析 bbc2 2a，两边平方并将22a2焦点 F(c,0)到渐近线 y ax 的距离为 d2b ca b22c代入得 c 5a ，e a1，e5，故选 A.3(2011 黄冈期末 )已知直线22y 轴

3、的正半轴l 交椭圆 4x 5y 80 于 M、 N 两点，椭圆与交于 B 点，若 BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l 的方程是 ()A 6x 5y 28 0B 6x 5y 280C 5x 6y 28 0D 5x 6y 28 0答案 A22xy解析 由椭圆方程 2016 1 知，点 B(0,4)，右焦点F(2,0)，- 1 -F 为BMN 的重心，直线 BF 与 MN 交点 D 为 MN 的中点，3BD 2BF (3， 6)，又 B(0,4)，D (3， 2)，将 D 点坐标代入选项检验排除B 、C、 D，选 A.4(2011 西南昌调研江)直线 l 过抛物线 y2 2px(p0)的

4、焦点 F ，且与抛物线交于A、B 两点，若线段 AB 的长是 8， AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线方程是 ()A y2 12xB y2 8xC y2 6xD y24x答案 B解析 设 AB 中点为 M，A、 M、 B 在抛物线准线上的射影为A1、 M1 、B1，则2|MM 1| |AA1 | |BB1| |AF| |BF | |AB| 8，p|MM 1| 4，又 |MM 1| 2 2，p 4，抛物线方程为 y28x.5(2011 福州市期末 )定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”过函数 y 9 x2图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45的直线条数为 ()A10B

5、11C 12D 13答案 B解析 依据 “ 左整点 ” 的定义知，函数y 9x2的图象上共有七个左整点，如图过两个左整点作直线，倾斜角大于45 的直线有： AC， AB， BG， CF ， CG，DE ， DF ， DG ，EF，EG， FG 共 11 条，故选 B.- 2 -y2x26(文)(2011 巢湖质检 )设双曲线 m2 1的一个焦点为 (0， 2)，则双曲线的离心率为()A.2B 2C.6D 22答案 A解析 由条件知 m 24，m 2，离心率 e 2 2.222(理 )(2011 山东潍坊一中期末)已知抛物线y2 2px(p0) 与双曲线 x2 y2 1 有相同的焦点abF，点

6、A 是两曲线的交点，且AF x 轴，则双曲线的离心率为()A.5 1B.3 12C.2 1D.22 12答案 C由 AF x 轴知点 A 坐标为 p， p ，代入双曲线方程中得，22解析 p2p21，双曲线24ab22与抛物线焦点相同， c p，即 p 2c，又 b2 c2 a2，4c24c 1，24ac2 a2c42由 e a代入整数得，e 6e1 0，e1 ，e2 3 2 2，e2 1.2x y21 共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ()7(2011 烟台调研 )与椭圆 4A.x22B.x22 y 12 y 14C.x2y22y2 1D x 1332答案 B- 3 -解析 椭圆的焦点

7、F1( 3， 0)， F2( 3， 0)，由双曲线定义知2a |PF1| |PF2| 23 212 3 2184 38 4322，a2，b2 c2a21，2双曲线方程为 x2 y2 1.8( 文)(2011 辽宁沈阳二中检测 )椭圆x22 4 y 1的焦点为 F 1，F 2，点 M 在椭圆上， MF 1MF 2 0，则 M 到 y 轴的距离为 ()2326A.3B.33C. 3D.3答案 B分析 在以线段 F 1F 2 为直径的圆上，点M 又在椭圆上，条件 MF 1MF 2 0，说明点 M通过方程组可求得点M 的坐标，即可求出点M 到 y 轴的距离解析 椭圆的焦点坐标是( 3，0) ，点 M

8、在以线段 F 1F 2 为直径的圆上，该圆的方程是2222x22282 6，此即点 M 到 yx y 3，即 y 3 x ，代入椭圆得43 x 1，解得x ，即 |x|33轴的距离点评 )的动点 M 的轨迹是以线段满足 MF MB0( 其中 A， B 是平面上两个不同的定点AB 为直径的圆(理 )(2011 山东实验中学期末) 已知双曲线的两个焦点为F1(10，0)，F2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且2| 2，则该双曲线的方程是()MF1MF 2 0， |MF 1| |MFA.x222 y2 y 1B x 1992222C.x y 1D.x y 13773答案 A解析 22210)

9、240，由条件知， MF 1 MF 2，|MF1| |MF2 | |F1 F2| (2222(|MF 1| |MF2|) |MF1| |MF2| 2|MF 1| |MF 2| 40 2|MF 1| |MF 2| 36，- 4 -|MF 1| |MF 2| 6 2a，a 3，222x22又 c10，b c a 1，双曲线方程为9 y 1.x2y29(2011 宁波市期末 )设双曲线C：a2b2 1(a0，b0) 的右焦点为 F ，O 为坐标原点 若以 F 为圆心， FO 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点A(不同于 O 点 )，则 OAF 的面积为()A abB bca2bC acD. c

10、答案 Ab解析 由条件知， |FA| |FO | c，即OAF 为等腰三角形， F(c,0)到渐近线 y ax 的距离为 b，OA2a，SOAF 12 2a b ab.10(2011 北京朝阳区期末)已知圆的方程为x2 y22x 6y 8 0，那么下列直线中经过圆心的直线方程为 ()A 2x y 1 0B 2x y 1 0C 2x y1 0D 2x y 10答案 B解析 将圆心 (1， 3) 坐标代入直线方程检验知选B.2211 (文 )(2011 江西南昌调研 )设圆 C 的圆心在双曲线x2y1(a0)的右焦点上，且与此a2双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线 l： x3y 0 截得的弦长等于

11、2，则 a ()A.14B. 6C.2D 2答案 C- 5 -222 a2 2解析 由条件知， 圆心 C( a 2，0)，C 到渐近线y a x 的距离为 d2 a2 2为 C 的半径，又截得弦长为2，圆心 C 到直线 l ：x3y 0 的距离a2 2 1，a2 2，2a0，a 2.(理 )(2011 辽宁沈阳二中阶段检测)直线 ykx 3 与圆 ( x3)2 (y 2)2 4 相交于 M，N 两点，若 |MN| 2 3，则 k 的取值范围是 ()A. 3， 0B. ，3 0， )44C. 3， 3D. 2， 0333答案 A|3k2 3|解析 由条件知，圆心(3,2)到直线ykx 3 的距离

12、不大于1， 1，解之得21 k 3 k0.412 (2011 辽宁沈阳二中检测 )已知曲线C：y 2x2 ，点 A(0， 2)及点 B(3，a)，从点 A 观察点 B，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 ()A (4， )B (， 4C (10， )D (， 10答案 D解析 过点 A(0， 2)作曲线 C： y 2x2 的切线，设方程为y kx 2，代入 y 2x2 得，2x2 kx2 0，令 k2 16 0 得 k 4，当 k 4 时，切线为l，B 点在直线 x 3 上运动，直线 y4x 2 与 x 3 的交点为 M(3,10) ，当点 B(3 ，a)满足 a 10时，视线不

13、被曲线C 挡住，故选D.- 6 -第卷 (非选择题共 90分)二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共16 分，把正确答案填在题中横线上)x2 y2 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则13 (2011 广东高州市长坡中学期末 )若方程 4 k6 kk 的取值范围是 _答案 (6， 1)解析 由题意知， 4 k6 k0，6 k0，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，设F1PM62tan tany y443 ，F2PM ，则 ，tan tan( )6 2123 ，1 tantan1 yy2 12y y 30 .15(文 )(2011 黑龙江哈六中期末)设抛物线 y2 8x 的焦点为

14、 F ，过点 F 作直线交抛物线于A、 B 两点，若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3，则 AB 的长为 _答案 10p解析 2p 8，22，E 到抛物线准线的距离为5，|AB| |AF| |BF| 25 10.(理 )(2011 辽宁大连联考 )已知抛物线“ y2 4x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 M， N 为抛物线上的一点，且满足 |NF| 32 |MN |”，则 NMF _.答案 6解析 设 N 在准线上射影为 A，由抛物线的定义与条件知， |NA|3 |NF | 2 |MN|，AMN 3，从而 NMF 6.x2216(文 )(2011 湖南长沙一中月考)直线 l

15、 ：x y0 与椭圆2 y 1 相交 A、B 两点，点 C是椭圆上的动点，则 ABC 面积的最大值为 _答案 2解析 设与 l 平行的直线方程为x y a0，当此直线与椭圆的切点为C 时，ABC 的x222222面积最大，将y x a 代入 2 y 0 中整理得， 3x 4ax2(a 1) 0，由 16a 24(a6x22 1) 0 得， a 3，两平行直线 x y 0 与 x y3 0 的距离 d 2 ，将 y x 代入 2 y6 6 1 中得， x1 3 ， x2 3 ，|AB|1 1|6 (64333 )|3，SABC1|AB | d1436 2.2232- 8 -x2 y21 上的任意

16、一点， F 为椭圆 C 的右焦(理 )(2011 湖北荆门调研 )已知 P 为椭圆 C： 2516点， M 的坐标为 (1,3)，则 |PM| |PF|的最小值为 _答案 5解析 如图，连结 F 1M，设直线 F 1M 与 C 交于 P， P是 C 上任一点，则有|PF1| |PF| |P F1| |PF|，即|PM | |MF 1| |PF | |P F1| |P F|，|P F1| |P M| |MF 1|，|PM | |PF| |P M | |P F|，故 P 点是使 |PM | |PF|取最小值的点，又 M (1,3) ，F1(3,0)，|MF 1| 5，|PM | |PF| |PF

17、1| |PF| |MF1 | 25 5 5.三、解答题 (本大题共6 个小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分 )(2011 山东潍坊一中期末x2y2)已知椭圆 2 2 1(ab0)的两个焦点为abF1， F2，椭圆上一点 M 26，3 满足MF1MF 2 0.33(1)求椭圆的方程；(2)若直线 L ：y kx 2与椭圆恒有不同交点 A、 B，且 OAOB1(O 为坐标原点 )，求 k 的取值范围解析 (1) 设 F1(c,0) ， F2(c,0)，2 632 63MF 1 c 3 ， 3，MF 2 c 3 ， 3 ， 22 6 23 2MF1

18、MF 20，c33 0，c2 3，a2 b2 381又点 M 在椭圆上， 3a2 3b2 1- 9 -8 1代入得 3a23 a2 3 1，整理得， a4 6a28 0，a2 2 或 a2 4，a23，a24， b2 1，2椭圆方程为 x4 y2 1.2x2(2)由4 y 1，y kx 2122消去 y 解得4kx22kx 1 0，设 A(x1， y1 )， B(x2，y2)， 2)(kx2 2)则OA OB x1x2 y1y2 x1x2 (kx12 (1 k2)x1x2 2k( x1 x2) 26 4k21，1 4k252121k 0 得 k 4，12510，1 1，10 . k ，k 48

19、422418(本小题满分 12 分 )(2010湖北文 )已知一条曲线 C 在 y 轴右边， C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有 FAFB0)化简得 y2 4x(x0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为A(x1 ，y1 )， B(x2， y2)设 l 的方程为x ty m，xtym由得 y2 4ty4m0，y2 4x此时 16(t2 m)0.-10-y1 y2 4t于是y1y2 4m又FA (x1 1，y1)

20、， FB (x2 1， y2) FAFB0? (x1 1)(x2 1) y1y2 x1x2 (x1 x2) 1y1y20又 x y2，于是不等式等价于42222y1 y2y1y2) 104 y1y2 (444? y1y221216y1y2 4(y1 y2) 2y1y2 10 由式，不等式等价于m26m 14t2对任意实数 t,4t2 的最小值为 0，所以不等式对于一切t 成立等价于 m2 6m 10，即 3 2 2 m3 2 2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任意一直线， 都有 FA的取值范围是 (3 22，3 2 2)FBb0) 的离心率为2 ，

21、过原点 O 斜率为 1 的直线与椭圆C 相交于 M， N 两点，椭圆右焦点 F 到直线 l 的距离为2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆上异于M， N 外的一点，当直线 PM， PN 的斜率存在且不为零时，记直线PM 的斜率为 k1，直线 PN 的斜率为 k2，试探究 k1k2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由解析 (1) 设椭圆的焦距为2c(c0)，焦点 F(c,0)，直线 l： xy 0，F 到 l 的距离为|c|2，解得 c 2，2又e c2，a 2 2，b2.a2x2y2椭圆 C 的方程为 8 41.x2y2(2)由 8 41，解得 xy 236，或 xy 2

22、36，y x，-11-不妨设M236， 236，N236， 236， P(x， y)，262628kPM PN y 3y 3 y3，k268622x 3x 3x3x2y2221由 8 4 1，即 x 82y，代入化简得k1k2 kPMkPN 2为定值20 ( 本小题满分12 分 )(2011厦门期末质检 )已知抛物线 C： y2 4x，直线 l： y 1xb 与2C 交于 A、B 两点， O 为坐标原点(1)当直线 l 过抛物线 C 的焦点 F 时，求 |AB|；(2)是否存在直线l 使得直线 OA、 OB 倾斜角之和为 135 ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由211解析 (

23、1) 抛物线C：y4x的焦点为F(1,0)，代入直线y2x b 可得 b 2，11l： y 2x2，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，2y 4x，消去 y 得 x2 18x 1 0，联立11y2x2x1 x2 18， x1x2 1，(方法一 )|AB |1 k2|x1 x2 |51 x22 4x1 2 20.4 xx(方法二 )|AB | x1 x2 p18 2 20.1(2)假设存在满足要求的直线l ： y2x b，设 A(x1， y1 )， B(x2，y2)，-12-y2 4x，消去 x 得 y2 8y 8b 0，联立1y2xby1 y2 8， y1y2 8b，设直线 OA、

24、OB 的倾斜角分别为、，斜率分别为k1、 k2，则 135 ， tan()tan135 ?k1 k2 1，1 k1k2其中 k1 y1 4 ， k2 y2 4 ，代入上式整理得y1y2 16 4(y1 y2x1 y1x2 y2) 0，8b 16 32 0，即 b 2，代入 64 32b 1280，满足要求1综上，存在直线l ： y 2x2 使得直线 OA、 OB 的倾斜角之和为135 .21 ( 本小题满分12 分 )(2011 黑龙江哈六中期末)已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线BD 所在直线的斜率为 1.(1)当直线 BD 过点 (0,1)时，求直线A

25、C 的方程；(2)当 ABC 60时，求菱形ABCD 面积的最大值解析 (1) 由题意得直线BD 的方程为 y x 1.因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD .于是可设直线AC 的方程为y xn.x2 3y2 4，由得 4x2 6nx 3n2 4 0.y x n因为 A，C 在椭圆上，所以 12n2640，4343解得3 n 3 .设 A， C 两点坐标分别为(x1， y1)， (x2， y2 )，则-13-3n3n2 4x1 x22 ， x1x24，y1 x1n， y2 x2 n.n3nn所以 y1 y22，所以 AC 的中点坐标为4 ，4 .由四边形 ABCD 为菱形可知，点3n n

26、在直线 y x 1 上，所以n3n 1，解得 n4 ， 4442.所以直线AC 的方程为y x 2，即 x y 2 0.(2)因为四边形ABCD 为菱形，且 ABC 60，所以 |AB| |BC| |CA|.32所以菱形 ABCD 的面积 S 2 |AC| .由(1) 可得 |AC |2 (x1 x2)2 (y1 y2)2 3n2 16，2324343所以 S 4 ( 3n 16)3 n1) 构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为3 ，直线 l 与圆 O 相切于点 M，与椭圆 C 相交于两点A，B.(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在直线 12，若存在，求此时直线l 的方程；若不存在，请说l，使得 OAOB OM2明理由-14-c6222a2 1解析 (1) e a3 ，ca 1，3 a2，2x22解得： a 3，所以所求椭圆C 的方程为3 y 1. 1 2(2)假设存在直线 l，使得 OAOB 2OM易得当直线 l 垂直于 x 轴时，不符合题意，故设直线l 方