2017年高考数学三轮讲练测核心热点总动员：专题08等差数列、等比数列的性质(新课标版)(解析版)

1、2016 年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点【全国通用版】热点八等差数列 , 等比数列的性质【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1.【 2015 全国卷 1 文】已知 a 是公差为1 的等差数列 , S为 a 的前n项和,若S4S,nnn84则 a10（） .A. 17B.2【答案】 B19C.10D.1222【. 2015 全国卷 1 文】在数列an 中 , a12, an 12an ,Sn 为 an的前 n 项和 . 若 Sn126 ,则 n.【答案】 6【解析】由 a2a ,an12, 即数列an是公比为 2的等比数列 .得n 1nana1 1qn2 12n126 , 得 n6.故填 6

2、.Sn中华资源库1q123. 【 2015 全国卷2 文】已知等比数列an满足 a11,a3a54a4 1 , 则 a2（） .4A. 2B.1C.1D.128【答案】 C【解析】由等比数列的性质得a3 a5a42 , 即 a424 a41 , 则 a42 . 所以有 q3a48 ,a1所以 q2 . 故 a2a1q1.故选C.24.【 2015 全国卷 2文】 设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和 , 若 a1a3 a53,则 S5（）.A. 5B.7C.9D.11【答案】 A【解析】由已知 a1a 3a53 , 则 3a33 , a31 .5 a1a552a3 =5a3 =5.故选A

3、.又因为S5225. 【 2015 全国卷2 理】设 Sn 是数列 an的前n 项和 Z, 且 a11,an 1Sn Sn 1 , 则Sn _1【答案】 Snn6. 【 2016 全国卷 1 理】已知等差数列 an 前 9 项的和为 27 , a10 =8 , 则 a100 = （） .A. 100B.99C.98D.97【答案】 C【解析】设等差数列an 的公差为 d ,由 S9279a5 , 得 a53 .7. 【 2016全国卷 1 理】设等比数列an满足 a1a310, a2a4 5, 则 a1a2an 的最大值为.【答案】 64由 a2 a4qa1 qa3q a

4、1 a310q1【解析】5 , 得 q.212又22, 得 a8 .a1a3a1a1qa1 1 qa111012n1n4故 an811nN* .221n 4解法一：由 an 1, 得1, 得 n,4 , 且 a41. 故当 n3或 4时,a1a2an 取得最大2值,3121即 a1a2an maxa1a2a3a1a2 a3a41164.222n n 11n 27 n解法二： a1a2ana1nq0 12n 18n123 或 42 22 . 故当 n2时, a1a2an 取得最大值2664.【热点深度剖析】等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性, 是高考必考内容 , 着重考查等差、 等比数

5、列的基本运算、 基本技能和基本思想方法, 题型不仅有选择题、 填空题、 还有解答题 , 题目多为难度中等从近几年的考题看,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力, 这个“灵活”就集中在“转化”的水平上2014年文理小题中都没涉及等差数列与等比数列, 只是在解答题中出现.2015 年两套文科试卷各有两道数列客观题 ,2016年全国卷1 理有 2 道客观题分别考查等差数列与等比数列, 其余试卷均只有一道解答题 . 从近几年的高考试题来看 , 本部分在高考中若出现解答题, 一般不会再有客观题 , 若没有解答题 , 一般会有两道数列客观题, 数列客观题突出小巧活

6、 , 主要数列的概念、 基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等, 可能是容易题 , 也可能是难题；数列解答题, 主要考查等差、 等比数列的通项公式与求和等知识, 属于中档题 预测 2017年高考在客观题中考查数列的可能性比较大 .【重点知识整合】1. 等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法an 1and ( d为常数 ）或 an 1 an an an 1 ( n 2) .（2）等差数列的通项： an a1(n 1)d 或 anam (n m)d .（3）等差数列的前n 和： Snn(a1an ) , Snna1n(n1)d .22a b（4）等差中项：若a, A, b 成等差数

7、列 , 则 A 叫做 a 与 b的等差中项 , 且 A.22. 等差数列的性质：（1）当公差 d0时 , 等差数列的通项公式 ana1( n1)ddn a1 d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ；前 n 和 Snna1n( n 1) dd n2( a1d )n 是关于 n 的二次函数222且常数项为 0.（2）若公差 d0, 则为递增等差数列, 若公差 d0 , 则为递减等差数列, 若公差 d0 , 则为常数列 .（3）当 mnpq时 , 则有 am ana paq , 特别地 , 当 mn 2 p 时 , 则有aman2ap .(4)若 an 、 bn 是等差数列 , 则 kan

8、、 kanpbn( k 、 p 是非零常数 ) 、 ap nq( p, qN * ) 、Sn , S2 n Sn , S3nS2n ,也成等差数列, 而 aan 成等比数列； 若 an 是等比数列 , 且 an0 ,则 lg an 是等差数列 .（5）在等差数列 an 中 , 当项数为偶数2n 时 ,S偶 S奇nd ；项数为奇数 2n 1时,S奇 S偶a中 ,S2n1 (2n1) a中 （这里 a中 即 an ）； S奇 : S偶 (k1) : k .（6）若等差数列 Anf ( n) , 则an 、 bn 的前 n 和分别为 An 、 Bn , 且Bnan(2n1)anA2n1f (2n 1

9、) .bn(2n1)bnB2n1(7) “首正”的递减等差数列中, 前 n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中 , 前 n 项和的最小值是所有非正项之和. 法一：由不等式组a n0a n0 确a n0或01a n 1定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数 , 故可转化为求二次函数的最值 , 但要注意数列的特殊性 nN * . 上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想） , 由此你能求一般数列中的最大或最WWW.ziyuanku.co小项吗？3. 等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法an 1为常数, 其中q0,an0或

10、q( qan）an 1an(n 2) .anan1（2）等比数列的通项： an a1 qn 1或 anamq nm .（3）等比数列的前 n 和：当 q 1时 , Snna1 ；当 q1时 , Sna1(1qn )a1anq .1q1q特别提醒： 等比数列前 n 项和公式有两种形式 , 为此在求等比数列前n 项和时 ,首先要判断公比 q 是否为 1, 再由 q 的情况选择求和公式的形式, 当不能判断公比q 是否为 1时, 要对 q 分q 1 和 q 1两种情形讨论求解 .（4）等比中项：若a, A, b 成等比数列 , 那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项 . 提醒：不是任何两数都有等比中项

11、 , 只有同号两数才存在等比中项, 且有两个ab .4. 等比数列的性质：（1）当 m npq时 , 则有 amana p aq , 特别地 , 当 mn2 p 时 , 则有 am ana p2.an 是等比数列 , 则*) kan an bn(2)若| an | ap nq( p, q N、成等比数列； 若、成等比数列 , 则 anbn 、 an 成等比数列；若 an 是等比数列 , 且公比 q1, 则数列bnSn , S2nSn , S3 nS2 n,也是等比数列. 当 q1, 且 n 为偶数时 , 数列Sn , S2nSn , S3 nS2 n,是常数数列0, 它不是等比数列 .(3)

12、若a10,q1 an为递增数列；若a10,q1,则 an为递减数列；若, 则a10,0q1 ,则 an 为递减数列； 若 a10,0q1,则 an 为递增数列； 若 q0,则 an 为摆动数列；若q1 , 则 an 为常数列 .(4)当 q1时 , Sna1q na1aq nb , 这里 ab0, 但 a0, b0 , 这是等比1q1q数列前 n 项和公式的一个特征, 据此很容易根据Sn , 判断数列 an 是否为等比数列 .(5) 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列 , 那么数列 an 是非零常数数列 , 故常数数列 an 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.5. 数列

13、的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式. 已知 Sn （即 a1a2anf (n) ）求 an , 用作差法：anS1 ,(n1).Sn Sn 1 ,( n2)已知 a1 a2anf ( n) 求 an , 用作商法： anf (1),( n1)f ( n).f (n1) ,( n 2)若 an 1 anf (n) 求 an 用累加法： an(anan 1 )(an 1an 2 )(a2a1 )a1 (n 2) .已知 an 1f ( n) 求 an , 用累乘法： ananan 1a2a1 (n2) . 已知递推关系anan 1an 2a1求 an , 用构造法 （构造等差

14、、 等比数列） . 特别地 , （ 1）形如 ankan 1b 、 ankan 1bn（ k, b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后 , 再求 an . 如(21) 已知 a1,a3a2 , 求 a ；（ 2）形如anan1的递推数列都可以用倒数法1nn 1nkan 1b求通项 .注意：（1）用 anSnSn1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗？（ n2 ,当 n1时, a1S1 ）；（ 2）一般地当已知条件中含有an 与 Sn 的混合关系时 , 常需运用关系式 anSnSn 1 , 先将已知条件转化为只含an 或 Sn 的关系式 , 然后再求

15、解 .6. 数列求和的常用方法：（ 1）公式法：等差数列求和公式； 等比数列求和公式 , 特别声明：运用等比数列求和公式, 务必检查其公比与 1 的关系 , 必要时需分类讨论 . （ 2）分组求和法： 在直接运用公式法求和有困难时 , 常将“和式”中“同类项”先合并在一起, 再运用公式法求和 （. 3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联, 则常可考虑选用倒序相加法 , 发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）. （ 4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成, 那么常选用错位相减法（这也是等比数列

16、前n 和公式的推导方法）.（ 5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式, 且相邻项分裂后相关联, 那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：111 ； 1k )1 (11 ) ；n(n1) nn 1n(nk nn k 111 (11) , 1111111 ；k 2k21 2 k 1 k 1k k 1 ( k 1)k k2(k 1)k k 1 k（6）通项转换法：先对通项进行变形, 发现其内在特征 , 再运用分组求和法求和 .【应试技巧点拨】1运用方程的思想解等差( 比 ) 数列是常见题型 , 解决此类问题需要抓住基本量a1 , d ( 或 q ),掌握好设未知数、列出方程、解方

17、程三个环节, 常通过“设而不求, 整体代入”来简化运算2深刻理解等差( 比) 数列的定义 , 能正确使用定义和等差( 比 ) 数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础处着笔, 首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式, 然后要熟悉它们的变形使用, 善用技巧 , 减少运算量 , 既准又快地解决问题3等差、等比数列的判定与证明方法：(1) 定义法： aa d ( d 为常数 ) ?an1( q 为非零常数 ) ? a 是等差数列；qn 1nnan an 是等比数列；(2)利用中项法： 2aaa(n N)? a 是等差数列；a2a an 1nn 2nn 1n n 2( nN ) ? an 是等比

18、数列 ( 注意等比数列的an 0 , q 0 ) ；(3)通项公式法： anpnq ( p, q 为常数 ) ? an 是等差数列； ancqn ( c, q 为非零常数) ? an 是等比数列；(4)前 n 项和公式法： Sn An2Bn ( A, B 为常数 ) ? an 是等差数列；Snmqnm ( m 为常数 , q 0) ? an 是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列, 只需用 a , a , a 验证即可123等差 ( 比 ) 数列的通项公式、 求和公式中一共包含a1, d ( 或 q ), n, an 与 Sn 这五个量 , 如果已知其中的三个 , 就可以

19、求其余的两个其中 a1, d ( 或 q ) 是两个基本量 , 所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量, 然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程组 , 通过解方程组求其值, 这也是方程思想在数列问题中的体现 易错提示 等差 ( 比 ) 数列的基本运算中, 容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制 , 如公差与公比的符号、 大小等 , 导致增解； 二是不能灵活利用等差 ( 比 ) 数列的基本性质转化已知条件 , 导致列出的方程或方程组较为复杂 , 增大运算量4. 等差数列前 n 项和的最值问题对于等差数列前n 项和的最值问题 , 取决于首项和公差的正负即：a1

20、0 ,d 0 时 , Sn有最大值； a1 0 ,d 0 时 , Sn 有最小值 . 常用下面两个方法去解决：(1)若已知 Sn , 可用二次函数最值的求法（n N ）；(2)若已知 an , 则 Sn 最值时 n 的值（ nan0an0.N ）可如下确定或an 1an 1005.利用转化 , 解决递推公式为 Sn 与 an 的关系式 .S(n 1)1. 通过纽带：数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系： anSn 1 (n 2)SnanSn Sn （1n2) , 根据题目求解特点, 消掉一个 an或 Sn . 然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解 . 如需消掉 Sn ,

21、利用已知递推式, 把 n 换成（ n+1）得到递推式 , 两式相减即可 .若消掉 an , 只需把 an SnSn 1 带入递推式即可. 不论哪种形式 , 需要注意公式an Sn Sn 1 成立的条件 n2.6. 由递推关系求数列的通项公式（1）利用“累加法”和“累乘法”求通项公式此解法来源与等差数列和等比数列求通项的方法, 递推关系为 an 1 anf (n) 用累加法； 递推关系为 an 1f ( n) 用累乘法 . 解题时需要分析给定的递推式, 使之变形为 an 1an、an 1anan结构 , 然后求解 . 要特别注意累加或累乘时, 应该为 (n1) 个式子 , 不要误认为 n 个 .

22、(2) 利用待定系数法 , 构造等差、等比数列求通项公式求数列通项公式方法灵活多样, 特别是对于给定的递推关系求通项公式, 观察、分析、推理能力要求较高 . 通常可对递推式变换, 转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解, 这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想, 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法 . 递推公式为 an 1panq （其中 p,q 均为常数 ,( pq( p 1) 0) ） . 把原递推公式转化为： an 1 t p(ant) , 其中 tq, 再利用换元法转化为等比数列求解.1p【考场经验分享】1. 关于等差 ( 等比 ) 数列的基本运算 , 一般通

23、过其通项公式和前n 项和公式构造关于 a1, d( 或 q ) 的方程或方程组解决 , 如果在求解过程中能够灵活运用等差( 等比 ) 数列的性质 , 不仅可以快速获解 , 而且有助于加深对等差( 等比 ) 数列问题的认识(1) 在等差数列与等比数列的综合问题中 , 特别要注意它们的区别 , 避免用错公式 (2) 方程思想的应用往往是破题的关键2. 等差数列与等比数列有很多性质很类似, 但又有区别 , 学习时需对比记忆 , 灵活应用3. 等差数列与等比数列的性质多与其下标有关, 解题需多注意观察 , 发现其联系 , 加以应用4. 应用等差数列、等比数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式5

24、数列是一种特殊的函数, 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数, 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值, 就是数列因此 , 在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性 , 又要考虑数列方法的特殊性1n 1S, 注意验证 a1 是否包含在后面a的公式中 , 若不符6由 S 求 a 时 , a nnnnSn Sn1 n2合要单独列出 , 一般已知条件含a与 S 的关系的数列题均可考虑上述公式nn7如果 p q r s, 则 ap aqar as, 一般地 , ap aq apq, 必须是两项相加, 当然可以是ap t ap t 2ap8公差不为0 的等差数列的前n 项和公式是n 的二

25、次函数 , 且常数项为0. 若某数列的前n项和公式是n 的常数项不为0 的二次函数 , 则该数列不是等差数列, 它从第二项起成等差数列9特别注意q 1 时, Sn na1 这一特殊情况主要各项不为0 的常数列即是等差数列, 又是等比数学 .10由 an1 qan, q0, 并不能立即断言 an 为等比数列 , 还要验证a10.【名题精选练兵篇】1【山西省太原市2017 届高三模拟考试（一）】已知 Sn 是等差数列an 的前 n 项和 , 则2 a1a3a53 a8a1036, 则 S11（）A. 66B.55C.44D.33【答案】 D【解析】由等差数列的性质有6a36a936, , 所以 a

26、3 a96 , 则11 a1a1111 a3a933.故选 D.S11222【河南省2017 届高中毕业年级考前预测】中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关, 初行健步不为难 , 此日脚痛减一半 , 六朝才得到其关 ,要见此日行数里 , 请公仔仔细算相还” , 其意思为： “有一个人走378 里路 , 第一天健步行走 , 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地”,请问第二天走了（）A. 96里 B.48 里C.192 里 D.24 里【答案】 A【解析】由题意 , 得该人每天走的路程形成以1 为公比、前6 项和为 378 的等比数列 , 设第2

27、1a1 1一天所走路程为a1 , 则26192,a296 , 即第二天走了96 里；故378, 解得 a1112选 A.3【山东省青岛市2017 届高三统一质量检测】已知 x1 ,y1, 且 lgx , 2 ,lgy 成等差数列 , 则 x y 有A. 最小值 20B.最小值 200C. 最大值 20D.最大值 200【答案】 B【解析】由题意得4lgxlgy, xy 104, 所以 xy2xy200 , 当且仅当xy100 时取等号 , 即 xy 有最小值 200 , 选 B.4【河南省 2017 届高中毕业年级考前预测】 数列 an前 n 项和是 Sn , 且满足 a1 3 ,a2 k8a

28、2k1 ,a2k 11a2 kkN*, 则 S50 的值为（）2A.3 8251 B.9 8251C.3425 1 D.9425 1【答案】 D5【安徽省蚌埠市2017 届第二次（ 3 月）教学质量检查】已知等差数列 来 源 ： u.的前错误！未找到引用源。 项和为 错误！未找到引用源。 , 且满足 错误！未找到引用源。 , 错误！未找到引用源。, 则错误！未找到引用源。 （）A. 4B.5C.6D.7【答案】B【解析】设等差数列错误！未找到引用源。的公差为 错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。, 联立解得 错误！未找到引用源。, 则错误！未找到引用源。, 故选B.6【江西省鹰潭市20

29、17 届高三第一次模拟】已知数列 错误！未找到引用源。 的前错误！未找到引用源。 项和为 错误！未找到引用源。, 且错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。, 则数列错误！未找到引用源。 的通项公式 错误！未找到引用源。（）A. 错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。【答案】 C【解析】当 错误！未找到引用源。 时 , 错误！未找到引用源。 , 得错误！未找到引用源。 , 当错误！未找到引用源。 时 , 错误！未找到引用源。 , 即错误！未找到引用源。 , 即错误！未找到引用源。 , 故数列 错误！未找到引用源。 是以 3 为首项 ,

30、错误！未找到引用源。 为公比的等比数列 , 则错误！未找到引用源。 , 得错误！未找到引用源。 , 故选 C.7【 2017 届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测】已知数列 错误！未找到引用源。中错误！未找到引用源。 , 将数列错误！未找到引用源。 中的整数项按原来的顺序组成数列错误！未找到引用源。, 则错误！未找到引用源。的值为（）A. 5035B.5039C.5043D.5047【答案】 C8【 2017 届福建省泉州市高三3 月质量检测】数列错误！未找到引用源。满足 错误！未找到引用源。, 则数列 错误！未找到引用源。的前100 项和为（）A. 5050B. 5100C. 9800D.

31、 9850【答案】B【解析】由 错误！未找到引用源。, 得：a1=a1 ,a 2=a1 中华 资 源 库 zi +2,a 3=- a2+4=- a1+2,a 4=a3+6=- a1+8, a1+a2+a3+a4=12；同理求得 a5+a6+a7+a8=28；a9+a10 +a11+a12 =44；错误！未找到引用源。 , 数列 a 的前 100 项满足 S ,S-S,S12-S , 是以12 为首项 ,16n4848为公差的等差数列,则数列 a n 的前 100 项和为 S=2512+2524162=5100.故选： B.9【湖北省黄冈市2017 届高三 3 月份质量检测

32、】已知数列 错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。, 若错误！未找到引用源。, 错误！未找到引用源。, 且错误！未找到引用源。 对于任意正整数 错误！未找到引用源。 均成立 , 则数列 错误！未找到引用源。 的前2017 项和错误！未找到引用源。的值为（）A. 672B.673C.1344D.1345【答案】D【解析】由题意得错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。, 因此错误！未找到引用源。 , 选 D.10【湖北省稳派教育2017 届高三一轮复习质量检测】设正项等差数列 错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和为错误！未找到引用源。, 若错误！未找到引用源。, 则错误

33、！未找到引用源。的最小值为（）A. 错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.2D.4【答案】 D【解析】由等差数列的前错误！未找到引用源。项和公式 , 得错误！未找到引用源。, 则错误！未找到引用源。. 由等差数列的性质得错误！未找到引用源。, 所以错误！未找到引用源。.故选 D.11【 2017 届安徽省江南十校高三九章算术是我国古代的数字名著, 书中3 月联考】均属章有如下问题：“今有五人分五钱, 令上二人所得与下三人等. 问各德几何. ”其意思为“已知 错误！未找到引用源。 五人分 5 钱, 错误！未找到引用源。 两人所得与 错误！未找到引用源。 三人所得相同 , 且错误！未找到引用源。 每人所得依次成等差数列 . 问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） . 在这个问题中 , 错误！未找到引用源。 所得为 ( )A. 错误！未找到引用源。钱B.错误！未找到引用源。钱C.错误！未找到引用源。 钱D.错误！未找