理论力学-8-质点动力学

1、理论力学课堂教学软件（8）,理论力学,第三篇 动力学,第三篇 动力学,舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞,第三篇 动力学,若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需要多长的跑道。,已知推力和跑道可能长度，则需要多大的初速度和一定的时间间隔后才能达到飞离甲板时的速度。,第三篇 动力学,爆破时烟囱怎样倒塌,第三篇 动力学,棒球在被球棒击打后，其速度的大小和方向发生了变化。如果已知这种变化即可确定球与棒的相互作用力。,第三篇 动力学,载人飞船的交会与对接,第三篇 动力学,高速列车的振动问题,第三篇 动力学,航空航天器 的姿态控制,第三篇 动力学,

2、动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,动力学中所研究的研究对象是质点和质点系(包括刚体)。,质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。,质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。,刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。,第三篇 动力学,第8章 质点动力学,第三篇 动力学,质点动力学(dynamics of a particle)：研究作用在质点上的力和质点运动之间的关系。本章主要介绍质点在惯性系下的运动微分方程。,第三篇 动力学, 8.2 质点动力学的两类基本问题, 8.3 结论与讨论, 8.1 质点运动微分方程,第8

3、章 质点动力学, 8.1 质点运动微分方程,第8章 质点动力学,第一定律(惯性定律),不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。,第二定律(力与加速度关系定律),质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。, 8.1 质点运动微分方程,理论基础：牛顿定律与微积分,在经典力学中质点的质量是守恒的,质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。,国际计量标准g9.80665 m/s2，一般取g9.8 m/s2,在国际单位

4、制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为导出量，它们的单位则是导出单位。,在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二定律有,或, 8.1 质点运动微分方程,第三定律（作用与反作用定律）,两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两个物体上。,以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。,第一、二定律： 第 三 定律：,适用条件？,惯性参考系 任意参考系, 8.1 质点运动微分方程,已知：质点M（质量m），作用其上的力有

5、F1，F2，, Fn。 根据牛顿第二定律，在不同坐标系中，质点在惯性系中的运动微分方程有以下几种形式：, 矢量形式, 8.1 质点运动微分方程,质点运动微分方程, 直角坐标形式, 8.1 质点运动微分方程, 自然坐标形式, 8.1 质点运动微分方程,1、矢量形式适用于理论分析；,2、直角坐标形式适于计算；,3、合理选择坐标系，如柱坐标、球坐标，会使计算简便。, 8.1 质点运动微分方程,第8章 质点动力学, 8.2 质点动力学的两类基本问题,动力学的基本问题：,第一类基本问题：已知运动求力。 如：万有引力定律的发现。,“我（牛顿）之所以看得远，是因为我站在巨人的肩膀之上。”,牛顿在总结前人的研

6、究成果，包括： 1）哥白尼（14731543） 日心说 2）第谷布拉赫（15461601）积累的天文观察资料 3）开普勒（15711630）行星三定律 总结出万有引力定律，写出了自然哲学之数学原理一书(1687年)，对动力学作了系统的描述，提出了牛顿三定律，它是整个古典力学的基础。,在求解过程中需对运动方程求导即可。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,第二类基本问题：已知力求运动。 如：跳楼时救援气垫的摆放位置。,所谓已知力是指：力F 可以表示成 的已知函数, 8.2 质点动力学的两类基本问题,在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程 。,两类问题综合 已知部分力和部分运动，求另一部分的力和

7、运动,已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,求解质点动力学问题的过程与步骤如下,1.对象：确定研究对象，选择适当的坐标系；,2.受力：进行受力分析，画出相应的受力图；,3.运动：进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量；,4.方程：列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,1. 力是常数或是时间的简单函数,3. 力是速度的简单函数，分离变量积分,2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换,常见问题的数学处理方法

8、, 8.2 质点动力学的两类基本问题,曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动，OA=r，AB=l，当 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程可近似写为,如滑块的质量为m， 忽略摩擦及连杆AB的质量，试求当 ，连杆AB所受的力。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,例 题 1,解：对象：滑块 受力：如右图 运动：平移 方程：滑块运动微分方程为：,其中,当,得, 8.2 质点动力学的两类基本问题,有,得,这属于动力学第一类问题。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,、,，。,质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如

9、图所示。质点在电场中受力FeE作用。已知常数A,k，忽略质点的重力，试求质点的运动轨迹。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,例 题 2,由,积分,解：对象：点电荷；受力：如图所示；运动：平面曲线； 方程：电荷的质点运动微分方程为, 8.2 质点动力学的两类基本问题,得运动方程,消去t, 得轨迹方程,这是第二类基本问题。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,单摆由一无重量细长杆和固结在细长杆一端的重球组成。杆长为l，球质量为m。 试求：,1.单摆的运动微分方程； 2.初始时小球的速度为u ， = 0，分析摆的运动； 3 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,

10、例 题 3,解：1. 单摆的运动微分方程,对象：小球 受力：如图 运动：圆周运动 方程：采用自然坐标形式的运动微分方程比较合适。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,解：1. 单摆的运动微分方程：, 8.2 质点动力学的两类基本问题,第一式描述了系统的运动，即单摆运动微分方程； 第二式给出了杆对球约束力的表达式。,分析小球的运动,（1）微幅摆动,运动特点：等时性 （周期与初始条件无关）,初始条件：,微分方程的通解,确定积分常数, 8.2 质点动力学的两类基本问题,（2）大幅摆动,大幅摆动不具有等时性, 8.2 质点动力学的两类基本问题,解：3.在运动已知的情形下求杆对球的约束力 ：,现在是已知

11、运动，要求力，属于第一类动力学问题。,根据已经得到的单摆运动微分方程, 8.2 质点动力学的两类基本问题,解：4.讨论 ：,本例如果采用直角坐标形式建立运动微分方程，建立如图所示的直角坐标系, 8.2 质点动力学的两类基本问题,一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m 的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成60角。如小球在水平面内作匀速圆周运动， 求：小球的速度v与绳的张力F。, 8.2 质点动力学的两类基本问题,例 题 4,这是混合问题。,解得,解：对象：小球；受力：小球的受重力及绳子的拉力如图所示；运动：圆周运动；方程：采用自然法求解，其运动微分方程为, 8.2

12、 质点动力学的两类基本问题,质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。,解：对象：质点；受力：如图； 运动：圆周运动；方程：质点运动微分方程为,由（2）式解得：,代入（1）式得：,当：,同理，当：, 8.2 质点动力学的两类基本问题,例 题 5,数值方法给出质点位置、速度和切向加速度随时间的变化规律,t(s), 8.2 质点动力学的两类基本问题,思考题1：给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 （设空气阻力的大小与速度的平方成正比）,E: 未给出正确答案, 8.2 质点动力学的两类基本问题,思考题2：质点M用两根等长的绳索吊起

13、，绳索与铅垂线的夹角为 。若剪断绳索BM后的瞬时，绳索AM的拉力与未剪断绳索BM时相比，是增大了还是减小了？ ？时绳索AM的拉力不变。,剪断前：,剪断瞬时：, 8.2 质点动力学的两类基本问题,本章作业,P167169：81，85,谢 谢 大 家,Nanjing University of Technology,附录： 习题解答,作业中存在的问题,1、“质点运动微分方程”：初等数学知识；高等数学的方法。,2、要画受力图。, 81,附录： 习题解答,8-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。,解：（初等解法）接触跳台时,设运动员在斜面上无机械能损失, 81,附录： 习题解答,8-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。,解：（高等解法）在斜面上运动时,对象：运动员 受力：如右图所示 运动：平动，速度如图所示 方程：由质心运动定理,对上式化简，得到,对上式两侧同时积分，得到, 81,附录： 习题解答,解：（高等解法）离开斜面时,对象：运动员 受力：如右