线性系统理论（第三章）线性系统的运动分析

1、第三章 线性系统的运动分析,3.1 引言,从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。,一、解的存在性和唯一性条件,设系统状态方程：,如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间t0,t上为时间t的连续实函数，输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。,从数学观点，上述条件可减弱为：,系统矩阵A(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为绝对可积，即：,输入矩阵B(t)的各个元ij(t)在时间区间t0,t上为平方可积，即：,输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间t0,t上为

2、平方可积，即：,条件可一步合并为要求B(t) 、u(t)的各元在时间区间t0,t上绝对可积。,二、零输入响应和初始状态响应,响应,零输入响应,零初态响应,1、零输入响应：只有初始状态作用而无输入作用时系统的状态响应。,物理上对应自由运动,2、零初态响应：只有输入作用而无初始状态作用时系统的状态响应。,物理上对应强迫运动,线性定常系统齐次状态方程为,先考察标量齐次微分方程的幂级数解法,假设其解为一幂级数,代入齐次微分方程得,1、系统的零输入响应（齐次状态方程的解）,3.2 连续时间线性时不变系统的运动分析,等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有,而,则解为,模仿标量解法，设线性定常系统齐次状态方

3、程的解为,等式两边t 同次幂的系数相等，因此有,而,记作,则线性定常系统齐次状态方程的解为,（1）零输入响应的几何表征 对线性时不变系统，零输入响应 随时间t的演化过程，几何上为状态空间中由初始状态 出发的一条状态轨迹。,（2）零输入响应的运动属性 对线性时不变系统，零输入响应 为状态空间中由初始状态 引起的自由运动。,（3）零输入响应的形态 对线性时不变系统，零输入响应即自由运动轨迹的形态，由且仅由系统的矩阵指数函数惟一决定。,（4）零输入响应趋向平衡状态 的属性 对线性时不变系统，零输入响应即自由运动轨迹趋向于系统平衡状态 当且仅当矩阵指数函数趋向于0，即 。,（5）零输入响应表达式的更一

4、般形式,2、矩阵指数函数的性质,（4）设A和F为两个同维可交换方阵，即AF=FA,则有,3、状态转移矩阵的求法,方法1 定义法（级数求和）,方法2 预解矩阵法（应用拉普拉斯变换法）,对上式求拉普拉斯变换，得,L,例 线性定常系统的齐次状态方程为,求其状态转移矩阵,解,于是,L,方法3 特征值法（线性变换）,因为,而,因为对角阵的特殊性质，有：,1）矩阵 A 特征值互异，可以经过线性变换成为对角阵,因此，状态转移矩阵为,例 线性定常系统的齐次状态方程为,用特征值法，计算其状态转移矩阵,解,2）矩阵 A 有n个重特征值可以经过线性变换成为约当形阵,状态转移矩阵为,应用凯-哈定理， 和 A 都满足

5、A 的特征方程。因此， 满足上式。,其中， ， 为待定系数， 的计算方法为：,1）A 的特征值互异,方法4 有限项展开法（应用凯莱-哈密顿定理）,（其中， ）,写成矩阵形式,于是,例 线性定常系统的齐次状态方程为,用有限项展开法计算其状态转移矩阵,解,即,2）A 的特征值相同，均为,3）A 的特征值有重特征值，也有互异特征值时，待定系数 可以分别求得。然后求出状态转移矩阵,求系统状态转移矩阵。,例 线性定常系统齐次状态方程为,解,用有限项展开法计算其状态转移矩阵,A 的特征值为,状态转移矩阵,线性定常系统非齐次状态方程为,改写为,式两边同乘 得,或写成,对上式在 0 到 t 时间段上积分，有,

6、4、非齐次状态方程的解,1）积分法,两边同乘 ，并且移项,更一般情况，当,由式上式可知，系统的运动 包括两个部分。一部分是输入向量为零时，初始状态引起的，即相当于自由运动。 第二部分是初始状态为零时，输入向量引起的，称为强迫运动。正是由于第二部分的存在，为系统提供这样的可能性，即通过选择适当的输入向量 ，使 的形态满足期望的要求。,例 线性定常系统的状态方程为,解,前面已经求得,2）拉氏变换法,对上式求拉普拉斯变换，得,如果 为非奇异,L,L,由拉氏变换的卷积定理：,L,例 线性定常系统的状态方程为,解,系统的输出方程为,则,或,可见，系统的输出 由三部分组成。 当系统状态转移矩阵求出后，不同

7、输入状态向量作用下的系统输出即可以求出。,5、基于特征结构的状态响应表达式,设系统的状态空间描述为,A的属于12n线性无关右特征向量组,A的属于12n线性无关左特征向量组,12n为A的n个两两相异的特征值,右特征向量矩阵,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵指数函数eAt的表达式：,左特征向量矩阵,显然,结论,对特征值两两相异一类n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零输入响应x0u(t)零初态响应x0 x(t)以及状态运动规律x(t)的表达式为：,基于特征结构的状态响应特点：,特征值对状态响应的影响 状态响应的运动模式即函数结构，主要由特征值决定，特征

8、值对系统运动行为具有主导性作用。 特征向量对状态响应的影响 特征向量对系统运动行为影响体现在对不同运动模式的权重上，属于非主导性影响。 特征结构在系统分析和系统综合中的基础性 系统基本特性如稳定性、能控性、能观性等都和特征值有直接关系，对系统综合具有重要作用。,3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵,设连续时间线性时不变系统，状态方程为：,基本解阵定义,矩阵方程,的解阵,称为连续时间线性时不变系统的基本解阵。,其中H为任意非奇异实常阵,的任意n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。,(3). 连续时间线性时不变系统的一个基本解阵为,结论：(1). 基本解阵不唯一 (2). 由系统自治方程,状

9、态转移矩阵,矩阵方程,的解阵(t-t0),称为连续线性时不变系统的状态转移矩阵。,结论：,1)连续线性时不变系统的状态转移矩阵可由基本解阵定出,2)状态转移矩阵 (t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关。,3)状态转移矩阵的形式为,基于状态转移矩阵 的系统响应表达式:,状态转移矩阵的特性,定义：表hi j(t-)为第j个输入端在时刻加以单位脉冲(t-)而所有其他输入为零时，在第i个输出端的脉冲响应，对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-)为元构成的一个输出响应矩阵,结论：对p维输入，q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，

10、则系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为,1、脉冲响应矩阵,3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵,2、脉冲响应矩阵和状态空间描述,结论：对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲响应矩阵为,结论：两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相 同的脉冲响应矩阵 两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相 同的“输出零状态响应”和“输出零输入响应”。,结论：对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数矩阵G(s)之间有如下关系：,例,求脉冲响应矩阵,解,也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得,3.5连续时间线性时变系统的运动分析,1、状态转移矩阵,设

11、连续时间线性时变系统，状态方程为,对连续时间线性时变系统，矩阵方程：,的解矩阵(t,t0)称为状态转移矩阵。,矩阵方程,的解矩阵(t)称为基本解阵,其中H为任意非奇异实常值矩阵。,结论：基本解阵不唯一。 对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵 可由系统自治状态方程 。,的任意n个线性无关解为列构成,对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵,结论：状态转移矩阵为唯一。,状态转移矩阵的性质,系统的状态响应,结论：对连续时间线性时变系统，状态方程的解,脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵,结论：对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为：,3.6 连续时间线性系统

12、的时间离散化,基本约定,1）对采样方式的约定： 采样方式取为以常数T为周期的等间隔采样，采样时间宽度比采样周期T小得多。 2）对采样周期T的约定：满足Shamnon采样定理 3）对保持方式的约定：零阶保持方式,基本结论,给定连续时间线性时变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,其中,结论,给定连续时间线性时不变系统,则其在基本约定下的时间离散化描述为,其中,结论,时间离散化不改变系统的时变或时不变属性。 不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。,例：,线性定常系统的状态方程为,设采样周期T=1秒，试求其离散化状态方程。,解,1、 状态空间表达式

13、,1） 由差分方程建立状态空间表达式,选取状态变量,写成矩阵形式,3.7 离散时间线性系统的运动分析,可以表示为,其中,输出方程,或者,其中,推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统,选取状态变量,系统状态方程,输出方程,差分方程中含有输入量差分项,选择状态变量,待定系数为：,系统状态方程为,即：,输出方程为,即：,2）由系统脉冲传递函数求状态空间表达式,设 n 阶差分方程为：,能控标准形,对角标准型,当 、 、 和 的各元素与时刻 无关时，即得线性定常离散系统状态空间表达式,多输入-多输出线性时变离散系统状态空间表达式,3、线性定常离散系统状态方程的解（离散系统运动分析）,系统的齐次状态方程为：,其中，x(k)为n维状态向量,采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解,其中,系统的输出为,1）齐次状态方程的解,若系统初始状态为 ，通过 将其转移到状态 ，故 称为状态转移