18 19第1章13131推出与充分条件必要条件

1、1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念. （重点）2.会求某 些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件. （易混点）3.能够利用命题之 间的关系判定充要条件或进行充要条件的证明.（重点、难点）自主预习探新知1. 充分条件与必要条件当命题“如果p,则q”经过推理证明断定为真命题时，我们就说，由p可推出q,记作p? q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.（2）若p? q，但q? p，称p是q的充分不必要条件,若q? p,但p? q,称p是q的

2、必要不充分条件.思考1:若p是q的充分条件，p是唯一的吗？提示不一定唯一，凡是能使 q成立的条件都是它的充分条件，如 x3 是x0的充分条件，x5, x 10等都是x0的充分条件.2. 充要条件一般地，如果既有p? q,又有q? p,就记作p? q,此时，我们说，p是q 的充分且必要条件,简称充要条件.p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p, 或p与q等价.思考2:若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的充要条件吗？提示是.因为p? q, q? r，所以p? r，所以p是r的充要条件.基础自测1. 思考辨析（1）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（）（2）当p是q的充要条件时，也

3、可说成q成立当且仅当p成立.（）若p是q的充分不必要条件，则p是p的必要不充分条件.()提示“V V2. “x0” 是“ 3?0” 成立的()【导学号:73122048】A .充分条件B .必要条件C.既不充分也不必要条件D .充要条件A 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x0显然能推出3x20,而3x20? Xl0? xm0,不能推出x0,故选A.3. 已知 a, b, c, d 为实数，且 cd,贝U“ ab” 是“ a cb d” 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件B 由 a cb d 变形为 a bc d,

4、因为cd,所以c d0,所以a b0,即ab,a cb d? ab.而ab并不能推出a c b d.所以ab是a cb d的必要不充分条件.故选B.4. 命题 p： (x 1)(y 2)= 0;命题 q： (x 1)2+ (y 2)2= 0,则命题 p 是命题 q的()【导学号:73122049】A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件B 命题 p： (x 1)(y 2)= 0? x= 1 或 y= 2.命题 q： (x 1)2+ (y 2)2 = 0? x= 1 且 y= 2.由q? p成立，而由p? q成立.合作探究攻重难像型充分条件、必要条件、充要条

5、件的判断” )A .充分不必要条件B .必要充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件设 a, b R，贝厂ab” 是“ a|a| b|b|的”()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件(3)如果x, y是实数，那么“ xmy”是“ cos xm cos y”的()A .充要条件B .充分不必要条件C.必要不充分条件D .既不充分也不必要条件解析 设向量 a, b 的夹角为 9,则 ab= |a| |b|cos 9,若|a b|= |a|b|? cos 9 =，则向量a, b的夹角9为0或n,即a/ b为真；若a / b,则向量a, b的 夹角9为

6、0或n |ab匸|a|b|,所以“|ab匸|a|b|”是“a/ b”的充要条件.特别 地，当向量a或b为零向量时，上述结论也成立.故选C.构造函数 f(x) = x|x|,贝U f(x)在定义域 R上为奇函数.因为 f(x) = x2, x0,2所以函数f(x)在R上单调递增，所以ab? f(a) f(b)? a|a|b|b|.x , xv0,故选C.(3) 设集合 A= (x, y)|xMy , B = (x, y)|cos xmcos y，则 A 的补集 C = (x,y)|x= y, B 的补集 D = (x, y)|cos x=cos y，显然 CA.于是“xmy”是“cos xmco

7、s y”的必要不充分条件.故选 C.答案(1)C C (3)C规律方法充分条件和必要条件的两种判断方法(1) 定义法：可按照以下三个步骤进行 确定条件p是什么，结论q是什么； 尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p； 确定条件p和结论q的关系(2) 集合法：根据p, q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断设A=x|p(x) , B = x|q(x)，若A? B，贝U p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A= B,则p是q的充分不必要条件，若A= B,则p是q的充要条件.提醒：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解p的一个充分不必要条件是q”应是q推出p,而p不能推出q

8、”.跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不 充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)(1) 在厶ABC 中，p：Z AZ B, q： BCAC.(2) 对于实数 x, y, p： x+ y= 8, q： x= 2 且 y= 6.(3) 在厶 ABC 中，p： sin Asin B, q： tan Atan B.解在厶ABC中，显然有/ AZ B? BCAC，所以p是q的充要条件.(2) 因为：x= 2 且 y= 6? x+ y= 8,但x+ y= 8? x=2且y= 6,所以p是q的必要不充分条件.(3) 取/A= 120 / B

9、 = 30 p? q ,又取/A= 30 , / B= 120 , q? p , 所以p是q的既不充分也不必要条件.类型3充要条件的探求与证明7已知数列an的前n项和Sn= pn+ q(pM0且1),求证数列an为等比数列的充要条件为q= 1.【导学号:73122050】思路探究充分性：由q= 1推出an是等比数列；必要性：由an是等比数列推出q= 1.证明(1)充分性：当q= 1时，a1 = p 1,n 1当 n2 时，an= Sn Si1 = p (p 1),当n= 1时也成立./ pM 0 且 pM 1,an+ 1p p 1:肓=p11=p,即数列an为等比数列.(2)必要性：当 n=

10、1 时，a1 = S1= p+ q.n 1当 n2时，an= Si St = p (p 1)./ pM 0 且 pM 1,n .an+ 1p p 1:肓=p11=p.- an为等比数列，.a2-=p.a1p p 1 =p, - - q= 1,p+q即数列an为等比数列的充要条件为q= 1.规律方法证明p是q的充要条件”时，要分别从p? q”和q? p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面 .但是，在表述中要注意两种句式 的不同，分清充分性与必要性对应的关系如证p是q的充要条件”时，充分性是指P? q”成立，必要性是指q? p”成立. 而证p成立的充要条件是q”时，充分性是指q?p”

11、成立，必要性是指p?q” 成立.提醒：在充分性与必要性分别进行证明的试题中， 需要分清命题的条件是什 么，结论是什么；在一些问题中充分性和必要性可以同时进行证明， 即用等价转 化法进行推理证明.跟踪训练2 .已知A，B是直线I上的任意两点，0是直线I外一点，求证：点P在直 线I上的充要条件是0P = xOA+ yOB,其中x, y R，且x+ y= 1.证明 充分性：若点P满足0P = xOA+ yoB,其中x，y R，且x+ y= 1，消去 y,得 0P = xOA+ (1 x)OB=x(OA OB) + OB，OP OB = x(OA OB)，即 BP = xBA.点P在直线AB上，即点P

12、在直线I上.必要性：设点P在直线I上，则由共线向量基本定理知，存在实数t,使得 aP= tAB= t(OB OA), OP = OA+AP= OA+ tOB tOA=(1 t)OA+ tOB.令 1 1=x, t= y,则oP = xOA+ yOB,其中 x, y R，且 x+ y= 1.IS3|利用充分条件、必要条件求参数的值 （或范围）探究问题1. R是p的必要不充分条件的等价命题是什么？提示q是p的必要不充分条件.2. 如何从集合的角度判断充分条件、必要条件、充要条件?卜例提示若A? B,则p是q的充分条件，若A宰B，贝U p是q 的充分不必要条件若B? A,则p是q的必要条件，若諄A,

13、则p是q的必要不充分条件若A= B,则p, q互为充要条件若A? B且B? A,则p既不是q的充分条件，也不 是q的必要条件其中 p： A= x|p(x)成立 , q： B = x|q(x)成立.已知 P = x|x2 8x 20 0，非空集合 S= x|1 m x 1 + mx P是x S的必要条件，求m的取值范围.【导学号:73122051】思路探究解出集合P,把x P是x S的必要条件转化为集合间的包含关系，列不等式组求m的取值范围.解 由 x2 8x 20 0,得一2x 10, P = x| 2xb”是“ a2b2”的()【导学号:73122052】A .充分不必要条件B .必要不充分

14、条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件D 可采用特殊值法进行判断，令a= 1 ,b= 1,满足ab,但不满足a2b2, 即“ab”不能推出“a2b2” ；再令a= 1, b = 0,满足a2b2，但不满足ab, 即“a2b2”不能推出“ab”.故选D.3. 函数f(x) = x2+ mx+ 1的图象关于直线x= 1对称的充要条件是()A . m= 2B. m=2C. m=1D. m=1A 当m= 2时，f(x) = x2 2x+ 1的图象关于x= 1对称，反之也成立.所 以函数f(x) = x2+ mx+ 1的图象关于直线x= 1对称的充要条件是 m= 2.4. 下列命题中是假命题的是 .(填序号)“x2且y3”是“x+ y5”的充要条件；“ AH Bm?”是“ A= B” 的充分条件；“ b2 4ac0”是“ax2 + bx+ cv0(a0)的解集为R”的充要条 件；“ sin a 0的充分条件；“ MN” 是 “ log2Mlog2N” 的 充要条件. 当x2且y3时，x+ y5成立，反之，例如x= 1, y= 5, x+ y5,但 x2，故为假命题；当 A= 1,3 , B = 1,2 , AH B = 1，但 A? B,