上海高考数学试卷及复习资料理科

1、 2006年上海高考数学试卷（理科）一填空题：（本大题共 12小题，每小题 4分，共 48分）21已知集合 A = 1 , 3 , 2m 1 ，集合 B = 3 , m 。若 BA，则实数m =_。222已知圆 x 4x 4 +y = 0的圆心是点 P，则点 P到直线 x y 1 = 0的距离是_。x3若函数 f(x) = a（a 0且 a1）的反函数的图像过点 ( 2 ,1 )，则 a =_。3nC4计算： lim=_。3nn 15若复数 z同时满足 z z 2i,z iz（i为虚数单位）。则 z =_。16如果 cos，且是第四象限的角，那么 cos() =_。257已知椭圆中心在原点，一

2、个焦点为 F( 2 3 , 0 )，且长轴长是短轴长的 2倍，则该椭圆的标准方程是 _。58在极坐标系中， O是极点，设点 A(4, ),B(5,)。则OAB的面积是 _。369 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共 8本。将它们任意地排成一排，左边 4本恰好都属于同一部小说的概率是 _。（结果用分数表示）10如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 _。211若曲线 y = |x| + 1与直线 y = kx + b没有公共点，则 k , b分别应满足的条

3、件是_。12三个同学对问题“关于 x的不等式 x + 25 + |x 5x2|23ax在 1 , 12 上恒成立，求实数 a的取值范围”提出各自的解题思路。甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量 x的函数，右边仅含常数，求函数的最值” 丙说：“把不等式两边看成关于 x的函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即围是_。a的取值范二选择题：（本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分）13如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中错误的是（）D(A) AB DC(B) AD AB AC(D) AD CB 0CAB(C)

4、 AB AD BD14若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（(A)充分非必要条件(C)充分必要条件）(B)必要非充分条件(D)既非充分又非必要条件24k + 4的解集是 M，则对任意实常数 k，15若关于 x的不等式 ( 1 + k )x总有（）(A) 2(C) 2M , 0M , 0MM(B) 2(D) 2M , 0M , 0MM16如图，平面中两条直线 l和 l相交于点 O。对12于平面上任意一点 M，若 p , q分别是 M到直线 l1和 l的距离，则称有序非负实数对 ( p , q )2是点 M的“距离坐标”。已知常数 p 0 , q 0

5、，给出下列三个命题：若 p = q = 0，则“距离坐标”为 ( 0 , 0 )的点有且仅有 1个。若 pq = 0，且 p + q0，则“距离坐标”为 ( p , q )的点有且仅有 2个。若 pq0，则“距离坐标”为 ( p , q )的点有且仅有 4个。上述命题中，正确命题的个数是（）(A) 0(B) 1(C)2(D) 3三解答题：（本大题共 6小题，共 86分）17（本小题满分 12分）求函数 y 2cos(x18（本小题满分 12分）) cos(x)43sin 2x的值域和最小正周期。4 如图，当甲船位于 A处时获悉，在其正东方向相距 20海里的 B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即

6、前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西 30，相距 10海里 C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往（角度精确到 1）？B处救援19（本小题满分 14分）在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为 2的菱形。DAB = 60，对角线 AC与 BD相交于点 O，PO 平面 ABCD，PB与平面 ABCD所成角为60。(1)求四棱锥 P-ABCD的体积；(2)若 E是 PB的中点，求异面直线 DE与 PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。20（本小题满分 14分）2在平面直角坐标系 xOy中，直线 l与抛物线 y = 2x相交于 A , B两点。(1)求证：“如果直线 l过点 T(

7、 3 , 0 )，那么 OA OB 3”是真命题；(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。21（本小题满分 16分）已知有穷数列 a 共有 2k项（整数 kn12），首项 a = 2。设该数列的前 n项和为 S，且 a = ( a 1 )S + 2 ( n = 1 , 2 , , 2k 1 )，其中常数 a 1。nn+1n(1)求证：数列 a 是等比数列；n21n(2)若 a 2 2k 1，数列b 满足 bnlog (a a2 a ) ( n = 1 , 2 , , 2k )，求2 1 nn数列b的通项公式；n3232(3)若 (2)中的数列 b 满足不等式 |

8、b1n| + | b2| +3232+| b2k 1|+ |b 2k| 4，求 k的值。22（本小题满分 18分） ax已知函数 y x有如下性质：如果常数 a 0，那么该函数在 (0, a上是减函数，在 a, )上是增函数。2b(1)如果函数 y x(2)研究函数 y x 2( x 0 )的值域为 6, )，求 b的值；xc（常数 c 0）在定义域内的单调性，并说明理由；2xac(3)对函数 y x和 y x 2（常数 a 0）作出推广，使它们都是x 2x你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，1x1不必证明），并求函数 F(x) (x 2nnx)（n是正整数）在区)(

9、2x1间 ,2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。22 0 0 6年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类） 1解：由m 2 2m 1 m 1，经检验， m 1为所求；|2 0 1|1 112；2P(2,0)，由点到直线距离公式得：d2解：由已知得圆心为：13 解：由互为反函数关系知，f (x)过点 ( 1,2)，代入得：a2 a；23 2n13Cn(n 1)(n 2)3(n 1)g3!32n2n 3n 2n316nlim解：nlimlimlimn；431 )g3!n 1nn(n 1)g3!(1n32i1 iZ iZ 2i Zi 1；5 解：已知2 6；2( 1 cos )

10、6解：已知 cos(72) sin52b 4a 2b,c 2 3x2 y216 42解：已知a 161为所求；a b c222F ( 2 3,0)8解：如图OAB中，56 )56OA 4,OB 5, AOB 21( 3(S AOBg4g5gsin 55(平方单位 )；269解：分为二步完成： 1)两套中任取一套，再作全1C gPP4排列，有种方法；2)剩下的一套全排列，有种方法；421C P P1；352 4 4所以，所求概率为：P810 解：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线

11、面对”，所以共有 36个“正交线面对”；x 1,x 02y | x | 1的图象，11 解：作出函数x 1,x 0如右图所示：所以，k 0,b ( 1,1)；1225xx2x3x 2 ax ,1 x 12 a x2| x 5x |，解：由而25|5|25x25x2 xgx 10，等号当且仅当 x 5 1,12时成立； 2且|x 5x| 0，等号当且仅当 x 5 1,12时成立；25x2所以， a x|x 5x|min 10，等号当且仅当 x 5 1,12时成立；故 a (,10；二 13uuur uuur uuurAB AD DB解：由向量定义易得，（C）选项错误；14 解：1）第四点在共线三

12、点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；DC充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：AB；2）第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选（ A）15解：选（A）方法 1：代入判断法，将否为R；x 2,x 0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是方法 2：求出不等式的解集：2k 42min 2 5 2；(1 k ) x4k 4k 12(k 1)5222 x (k 1)k 1 k 152x4216解：选（D）正确，此点为点O；正确，注意到p,q为常数，由 p,q

13、中必有一个为零，另2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距一个非零，从而可知有且仅有相距为 p的两条平行线和与直线l 2离为q（或 p）；正确，四个交点为与直线 l1相距为q的两条平行线的交点；三解答题17 解y 2cos( x 4)cos( x 4) 3sin2 x12122( cos x sin x) 3sin2 x22cos2x 3sin2 x2sin(2 x 6)函数 y 2cos( x 4)cos( x4) 3sin2 x的值域是 2,2 ,最小正周期是；18 解连接 BC,由余弦定理得BC =20 +10222010COS120=700.22于是,BC=107 . sin

14、ACB sin12037,sinACB=,2010 7 ACB90 ACB=4171方向沿直线前往 B处救援 .乙船应朝北偏东19 解（1）在四棱锥 P-ABCD中,由 PO平面 ABCD,得PBO是 PB与平面 ABCD所成的角 , PBO=60.在 RtAOB中 BO=ABsin30 =1,由 POBO,于是 ,PO=BOtg60=3 ,而底面菱形的面积为23 .13 3 =2.四棱锥 P-ABCD的体积 V=23（2）解法一：以 O为坐标原点 ,射线 OB、OC、OP分别为 x轴、 y轴、 z轴的正半轴建立空间直角坐标系 .在 RtAOB中 OA= 3 ,于是 ,点 A、B、D、P的坐标

15、分别是 A(0, 3 ,0),B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, 3 ).123 )于是 DE =(233),23 3 ).,E是 PB的中点 ,则 E(,0,0,AP =(0,23222设 DE与 AP的夹角为 有 cos,=arccos,449 34 43 32异面直线 DE与 PA所成角的大小是 arccos；4解法二：取 AB的中点 F,连接 EF、DF.由 E是 PB的中点 ,得 EFPA， FED是异面直线 DE与 PA所成角(或它的补角 )，在 RtAOB中 AO=ABcos30 =于是 ,在等腰 RtPOA中，3 =OP， 6PA=6，则 EF=.2在正

16、ABD和正PBD中,DE=DF= 3，12DE6EF24cosFED=3 42异面直线 DE与 PA所成角的大小是 arccos.420解（1）设过点 T(3,0)的直线交抛物线 y =2x于点 A(x ,y )、B(x ,y2).l2112当直线 l的钭率不存在时 ,直线 l的方程为 x=3,此时 ,直线 l与抛物线相交于点 A(3, 6 )、B(3,6 ).OA OB =3；当直线l的钭率存在时 ,设直线 l的方程为 y k(x 3)，其中 k 0，2y 2x2ky 2 y 6k 0 y1y2由6得y k( x 3)12122y22又 x1y1 , x2，uuur uuurOAgOB x1

17、x 2 y1y2142( y y ) y y 3，1 2 1 2综上所述，命题“如果直线 l过点 T(3,0)，那么 OA OB =3”是真命题；l交抛物线 y =2x于 A、B两点 ,如果 OA OB =3,那么该直线过点 T(3,0).该命2(2) 逆命题是：设直线题是假命题 .uuur uuurOAgOB =3,1)，此时12例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(23直线 AB的方程为： y(x 1)，而 T(3,0)不在直线 AB上；说明：由抛物线 y2=2x、 ，A (x ,y ) B (x ,y )满足 OA OB =3，可得 y y = 6上的点11221 2或 y y =2，如

18、果 y y =6，可证得直线 AB过点 (3,0)；如果 y y =2，可证得直线1 21 21 2AB过点 (1,0),而不过点 (3,0). a2a121 (1) 证明 当 n=1时,a =2a,则2=a；2 n 2k1时, a =(a1) S +2, a =(a1) S +2,n 1n+1nnan 1an+1a =(a1) a ,=a,数列 a 是等比数列 .nnnann( n 1)n( n 1)2k 1,n(2)解：由 (1)得 an=2a n 1 ,a1a2nn=2 a1 2(n 1)=2 an=221nn(n 1)n 1n1(n=1,2, ,2k).b =n2k 112k 133；2（3）设 bn,解得 n k+ ,又 n是正整数 ,于是当 n 时, bn.23332323b )+(1b )+ +(2b )+(b)+ +(b2k原式 =(kk+1)222=(b + +b )(b + +bk)k+12k11 (k 2k 1)k 2