材料力学弯曲强度参考幻灯片

1、第五章 弯曲强度,材料力学,5-1 纯弯曲及其变形 5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 5-3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件 5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,5-1 纯弯曲及其变形,弯曲构件横截面上的（内力）应力,内力,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。,纯弯曲(Pure Bending):,5-1 纯弯曲及其变形,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(mm、nn）变形后仍为直线，但有相对转动，仍垂直于梁变形后的轴线。,（一）变形几何关系：,纵向线(aa、bb)变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵

2、向线变形后仍正交。,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲变形与受力的假设,平面假设,梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。,梁的纵向纤维为单向应力状态，互无挤压。,横截面上只有正应力,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。,中性轴：中性层与横截面的交线。,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,2.变形几何关系,取一微段dx,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,（二）物理关系：,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,（三）静力学关系：,中性轴z必通过横截面形心,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,y轴

3、和z轴是横截面的主形心轴,其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为抗弯刚度。,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最大。,上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,【例】 长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正

4、应力。,解：C截面的弯矩,截面对中性轴的惯性矩,代入应力公式,（拉应力）,5-2纯弯曲时梁横截面上的正应力,5-3 弯曲正应力强度条件,梁某截面上的最大正应力,Wz 称为抗弯截面模量 反映截面形状和尺寸对弯曲强度的影响。 单位：m3。,等截面梁的最大正应力,矩形截面,圆形截面,环形截面,5-3 弯曲正应力强度条件,梁要安全工作，必须满足正应力强度条件,正应力强度条件：,对于等截面梁,根据强度条件可进行下述工程计算：,强度校核；,设计截面尺寸；,确定容许荷载。,5-3 弯曲正应力强度条件,【例】一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布载荷，已知：l=4m，b=140mm， h=210mm，q=3kN

5、/m，弯曲时木材的许用正应力=10MPa。试校核该梁的强度。,解：画出梁的弯矩图,满足强度条件,5-3 弯曲正应力强度条件,【例】针对上题，试求梁能承受的最大载荷qmax。,解：由强度条件,5-3 弯曲正应力强度条件,【例】简支梁上作用两个集中力，已知：l=6m，F1=15kN， F2=21kN。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力=170MPa，试选择工字钢的型号。,解：画出梁的弯矩图,选择20a工字钢,5-3 弯曲正应力强度条件,【例】一T形截面的外伸梁如图所示，已知：l=0.6m，a=40mm ，b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力t=30MPa

6、，许用压应力c=90MPa。试校核梁的强度。,解：画出梁的弯矩图,M图,5-3 弯曲正应力强度条件,校核应力,5-3 弯曲正应力强度条件,C截面，上压下拉,B截面，上拉下压,5-3 弯曲正应力强度条件,综上,满足强度要求,5-3 弯曲正应力强度条件,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,梁的设计主要依据正应力强度条件，即,可从降低最大弯矩Mmax和增大抗弯截面模量Wz来考虑提高梁的强度。,一、降低梁的最大弯矩,a)、合理布置梁的最大弯矩,Fl/8,M图,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,b)、合理改变支座位置,通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。,5-7 提高梁弯曲强

7、度的主要措施,二、梁合理的截面形状,梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。,下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,矩形截面比方形截面好,方形截面比圆形截面好,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面

8、上的最大正应力才达到，而其它截面上的最大正应力均没达到。,三、变截面梁,若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到，此梁工程上称为等强度梁。,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,变截面梁,5-7 提高梁弯曲强度的主要措施,5-4 矩形截面梁的切应力,切应力分布和方向假设：,切应力与剪力方向平行； 矩中性轴等距离处，切应力 相等。切应力沿横截面宽度均匀分布,5-4 矩形截面梁的切应力,平衡条件：,研究方法：分离体平衡。,5-4 矩形截面梁的切应力,面积A*对横截面中性轴的静矩,A*为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积,5-4 矩形截面梁的切应力,为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴

9、的静矩。,A*,max,由上式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数，切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。,5-4 矩形截面梁的切应力,【例】 一矩形截面简支梁如图所示，已知l=3m，h=160mm，b=100mm， h1=40mm，F=3kN，试求mm截面上K点的切应力。,解：mm截面的剪力,截面对中性轴的惯性矩,（拉应力）,K点的切应力,5-4 梁的切应力强度条件,梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。,对于梁的某一截面,对于整个梁,5-4 梁的切应力强度条件,简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即,5-4 梁的切应力强度条件,需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核腹板的切应力。,梁的跨度较短，M较小，而FS较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核中性轴上切应力。,5-4