2025年上海市数学高考一轮复习：立体几何（Ⅰ）（考点练+模拟练）含详解

专题11立体几何（I）（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（2024•上海黄浦.二模）若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

2.（2022・上海黄浦•一模）若圆柱的高、底面半径均为1,则其表面积为.

3.（23-24高三上•上海浦东新•期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为三1T，体积为3兀，则圆锥的底面半径

为.

4.（22-23高三上•上海浦东新•期末）已知圆锥的侧面积为4兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径是—

5.（21-22高三下•上海闵行•开学考试）一个立方体内接于一个球，则该立方体与该球体表面积的比值为.

6.（21-22高三上•上海虹口•期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线。，b,则a,

6所成角的最大值为.

7.（2023・上海徐汇•二模）如图所示，圆锥SO的底面圆半径。4=1,侧面的平面展开图的面积为3兀，则此圆锥的

体积为.

8.（2023・上海普陀•一模）设圆锥的底面中心为。，PB,PC是它的两条母线，且BC=2,若棱锥O-是正三

棱锥，则该圆锥的侧面积为.

9.（22-23高三下•上海虹口•期中）已知A8是球。的球面上两点，ZAOB=60,尸为该球面上的动点，若三棱锥

尸-。LB体积的最大值为6,则球。的表面积为.

10.（22-23高三上•上海徐汇・开学考试）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分

别为际和S乙体积分别为《和师.若M=2,则孑=_________.

3乙V乙

11.（22-23高三上•上海宝山•开学考试）如图VA2C中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=73,在三角形内挖去一个

半圆（圆心。在边3C上，半圆与AC、AB分别相切于点交于点N）,则图中阴影部分绕直线2c旋转一

周所得旋转体的体积为.

A

12.（22-23高三下•上海•阶段练习）长方体ABC。-A4GB为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为丫的

水，已知4?=3,M=2,4）=1,如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为.

13.（21-22高二上•上海虹口•阶段练习）暂堵、阳马、鳖腌出自中国古代名著《九章算术.商功》，其中阳马.鳖牌是

我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体48。-4瓦£2,沿平面ABGQ斜切，一分为二，得

到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵.再沿平面切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥

2-ABCD以矩形A8CD为底，棱。Q与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥2-赤£是四个面都是直角三角形

的四面体，称为鳖腌.已知长方体中，AB=4,BC=3,的=2,按以上操作得到阳马，则该阳

马的最长棱长为.

14.（2024・上海・三模）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱

ABC。-的底面ABCD是正方形，且钻=3,44,=1.

DGCDC

出EiBi*'48

（A）（B）

店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H-E-居的方向捆扎包装盒会比按照图B中的

十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图8最多节省的彩绳长度为.

15.（2024上海虹口.二模）如图，在直四棱柱48。。-48。|2中，底面43。。为菱形,且/&4。=60.若43=44,=2,

点"为棱CG的中点，点P在4B上，则线段PAP"的长度和的最小值为.

16.（2024高三・上海・专题练习）已知正方体ABC。-A4GR的棱长为2,动点尸在正方形CDRG内，则下列正确

命题的序号是

①若斯=g（2C+皿），则三棱锥的尸-B©Ci的外接球表面积为4兀

②若B、F〃平面A{BD,则BJ不可能垂直CD,

③若C/L平面AC尸，则点尸的位置唯一

④若点E为BC中点，则三棱锥A-A耳E的体积是三棱锥A-鹏3体积的一半

二、单选题

17.（20-21高三上•上海黄浦•阶段练习）下列命题是真命题的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥

18.（21-22高三下•上海虹口•阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是中心角为270。的扇形，且扇形半径为4,则过圆

锥顶点的截面的面积的最大值为（）

A.也互B.—C.8D,3币

39

19.（23-24高二上•上海•期末）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体

ABCD-A.B^D,,下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）

A.42,4044,的长度B.A瓦,AC,4,的长度

C.的长度D.ABAG，BC的长度

20.（2021・上海.一模）如图，在正四棱柱ABCD-ABGA中，底面边长4?=2,高4A=4,E为棱的中点.设

ZBAD=a,NBED=。、NB、ED=y,则a、/、/之间的关系正确的是（）.

A.a=y>6B.y>a>3C.0>y>aD.a>O>y

21.（2021・上海嘉定•一模）在棱长为2的正方体A3cO-A用GA中，点尸是该正方体棱上一点.若满足

|尸耳+卢。|=加（加＞0）的点的个数为4,则机的取值范围是（）

A.[20,4]B.卜,2+2石]

C.[4,4@D.[2+2百,4应]

22.（2024.上海徐汇•二模）三棱锥P-ABC各顶点均在半径为20的球。的表面上，AB=AC=2s/2,ABAC=90,

二面角P-BC-A的大小为45。，则对以下两个命题，判断正确的是（）

①三棱锥O-ABC的体积为三；②点P形成的轨迹长度为2c兀.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

三、解答题

23.（23-24高三上•上海闵行•期中）正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,PO=3,其中。为底面中心，M为尸。上靠

近P的三等分点.

⑴求证：平面ACP；

⑵求四面体M-ACP的体积.

24.（23-24高三上•上海杨浦•期中）如图,长方体ABCD-A/iCQi的底面ABCD是正方形,点E在棱A4i±.,BELEC1.

⑴证明：2E_L平面防iCi

⑵若44i=2,AB=1,求四棱锥E-BB1cle的体积.

25.（22-23高三下•上海浦东新•阶段练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖席”.现

有“鳖晴'P-ABC,其中平面ABC,ABLBC,过A分别作网,AE，PC,D,E分别为垂足.

（1）求证：四面体尸-ADE也是“鳖膈”；

⑵记“鳖腌”尸-40£,四棱为A-3CED,“鳖席”尸-A5c的外接球的表面积分别为试比较A+S?与S,的

大小，并说明理由.

26.（22-23高二下•上海杨浦・期末）如图，正四棱柱43co-ABG2的底面边长为1，高为2,点/是棱CG上一

个动点（点M与C,a均不重合）.

（1）当点〃是棱CG的中点时，求证：直线AM,平面4瓶〃；

⑵当，A耳时，求点A到平面AM耳的距离；

（3）当平面AB}M将正四棱柱ABCD-^QD,分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC的长度.

27.（23-24高二上.上海普陀.期中）如图，长方体中，AB=m,AD=AAt=l,点M是棱CD的

中点.

（1）求异面直线与C与AG所成的角的大小;

（2）是否存在实数机，使得直线AG与平面垂直？并说明理由;

A尸

（3）若根=2.设尸是线段AG上的一点（不含端点），满足亍="求几的值,使得三棱锥B「CRG与三棱锥B-CDF

/IC-1x

的体积相等.

02上海模拟练

一、填空题

1.（2024•上海•三模）已知圆柱的底面半径为3cm，侧面积为24?rcm3,则此圆柱的体积为cm3

2.（2023・上海崇明•一模）己知圆锥的母线与底面所成角为45。，高为1,则该圆锥的母线长为.

3.（2023・上海静安•一模）有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均匀，则它

的内直径为cm.（钢的密度是7.9g/cm3,结果保留一位小数）.

4.（2024・上海静安•二模）正四棱锥尸-ABCD底面边长为2,高为3,则点A到不经过点A的侧面的距离为.

5.（2024.上海.三模）若四面体ABCD各棱的长为1或2,且该四面体不是正四面体，其体积V的所有可能的值

为.

6.（2023•上海徐汇•一模）己知一个棱长为。的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底

面半径为3,母线长为6,则实数。的最大值为一.

7.（2024・上海•三模）如图，矩形ABCD中，E为的中点，AB=1,BC=2,连接EB,EC,若VBEC绕直线

旋转一周，则所形成的几何体的表面积为.

8.（2023•上海长宁•一模）已知AA是圆柱的一条母线，A8是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A,

8的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥外接球体积的最小值为

9.（2024・上海奉贤.三模）如图，已知三角形为直角三角形（。为直角），分别连接点8与线段Q4的〃等分

点4，A,I得到〃个三角形依次为z，»2，…，△“，将。钻绕看03所在直线旋转一周，记I，的，..

△“旋转得到的几何体的体积依次为K，匕，…，匕，若匕=1,匕=49,则三角形。山旋转得到的几何体的体积

V=.

B

0A\A2An，2An.\A

10.（2023・上海黄浦・三模）已知正方形ABCL）的边长是1,将VASC沿对角线AC折到VAB'C的位置，使（折叠后）

A、B，、C、。四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为.

H.（2024・上海闵行・二模）已知空间中有2个相异的点，现每增加一个点使得其与原有的点连接成尽可能多的等

边三角形.例如，空间中3个点最多可连接成1个等边三角形，空间中4个点最多可连接成4个等边三角形.当增加

到8个点时，空间中这8个点最多可连接成个等边三角形.

12.（2023・上海•模拟预测）空间内存在三点A、B、C,满足AS=AC=3C=1,在空间内取不同两点（不计顺序），

使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

二、单选题

13.（2016・上海浦东新•一模）若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,则圆柱的体积为

A.MSS

B.-C.DZ

2v7171

14.（2022・上海黄浦・二模）如图，已知P,Q,R分别是正方体ABCD-A耳CQ的棱AB,BC和CR的中点，由点P,Q,R

确定的平面△截该正方体所得截面为（

C.五边形D.六边形

15.（2023・上海嘉定•二模）已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为凡，与该正方体每

条棱都相切的球半径为此，过该正方体所有顶点的球半径为4,则下列关系正确的是（）

A.4:鸟：7?3=：6：2B.片+&成

C.R；+R；=R；D.R：+R：=R；

16.（2024・上海・三模）已知Q4是圆柱。。1下底面的一条半径，（9A=1,OO,=10,尸为该圆柱侧面上一动点，PB

垂直下底面于点8,若PB=ZAOB，则对于下述结论：①动点尸的轨迹为椭圆；②动点尸的轨迹长度为2缶；以下

说法正确的为（）.

A.①②都正确B.①正确，②错误

C.①错误，②正确D.①②都错误

17.（2024・上海・一模）三棱柱ABC-A4G中，的，平面ABC,且AB=3C=1,抽=2,NA8C=90。,。为CC1中

点.

B

⑴求四面体A-ABD的体积：

（2）求平面ABD与ACB,所成锐二面角的余弦值.

18.（2023•上海奉贤•一模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈.如图，已知四面体尸-ABC

中，P4_L平面ABC,PA=BC=1.

B

（1）若48=1,PC=j3,求证：四面体P-ABC是鳖腌，并求该四面体的体积；

（2）若四面体P-ABC是鳖席，当AC=a（a>l）时，求二面角A-3C-尸的平面角的大小.

19.（2022.上海闵行•模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，P4垂直于平面ABCD,AB=4,

AD=3,PC=V34,点E、M分别在线段A3、PC上，其中E是A3中点，品=4,连接ME.

(1)当彳=1时，证明：直线ME平行于平面PAD；

(2)当2=2时，求三棱锥A/-3CD的体积.

专题11立体几何（I）（考点练+模拟练）

01上海考点练

一、填空题

1.（2024•上海黄浦.二模）若一个圆柱的底面半径为2,母线长为3,则此圆柱的侧面积为.

【答案】1271

【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可.

【解析】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3,另一边为2兀'2=4兀，

故侧面积为3x471=12兀.

故答案为：12兀

2.（2022.上海黄浦.一模）若圆柱的高、底面半径均为1,则其表面积为.

【答案】4万

【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.

【解析】根据题意得到圆柱的高力=1,底面半径r=1,

则表面积S=2"（r+/z）=4i.

故答案为：4乃

TT

3.（23-24高三上•上海浦东新•期末）已知圆锥的母线与底面所成的角为体积为3元，则圆锥的底面半径

为.

【答案】G

【分析】

由题意得到圆锥底面半径与高之间的关系，再根据圆锥的体积公式列方程即可求解.

【解析】圆锥的轴截面图如图所示：

由题意〃=厂•tan&=V=!兀r％=，^兀/=3兀，解得厂=有，即圆锥的底面半径为

333

故答案为：V3.

4.（22-23高三上•上海浦东新•期末）已知圆锥的侧面积为4兀，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面

半径是—

【答案】72

【分析】首先设圆锥的底面半径为r,母线为/,根据圆锥的侧面积得到/=2血，再根据圆锥底面圆的周长即可得

到答案.

【解析】设圆锥的底面半径为「，母线为/,

因为圆锥的侧面积为4兀，且它的侧面展开图是一个半圆，

所以;兀厂=4兀，解得/=20.

圆锥底面圆的周长=gx2?ix2a=2“，解得r=0.

故答案为：V2

5.（21-22高三下•上海闵行•开学考试）一个立方体内接于一个球，则该立方体与该球体表面积的比值为.

2

【答案】-

71

【分析】由已知，该立方体的体对角线即该球的直径，设立方体棱长为。，球的半径为R,求出。与R的关系，再

求出表面积比值即可.

【解析】设立方体的棱长为。，球的半径为R,

・・•立方体内接于球，,立方体的体对角线即为球的直径，，耳=2R,即氏=且〃，

2

2

该立方体的表面积H=6a,该球体的表面积S2=4兀尺2=4兀x|虫|=3兀/，

该立方体与该球体表面积的比值为*=黑=2.

1^23兀47L

2

故答案为：一.

71

6.（21-22高三上•上海虹口•期中）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线mb,则〃,

b所成角的最大值为.

【答案】1/60°

【分析】由题意可得圆锥的母线长R和底面半径长r的关系，可知轴截面是等边三角形，即可求解.

设圆锥的母线长为R,底面半径长为小贝IJ2万厂=寺，解得R=2r,所以圆锥的轴截面是等边三角形.

任取圆锥的两条母线。，b,

TT

如图：当a,6为轴截面的两条母线时，a,6所成角最大为

故答案为：—■

7.（2023・上海徐汇•二模）如图所示，圆锥5。的底面圆半径。4=1,侧面的平面展开图的面积为3兀，则此圆锥的

体积为.

【分析】由圆锥侧面的平面展开图的面积公式求出圆锥的母线长，再由勾股定理求出圆锥的高，再由体积公式即可

得出答案.

【解析】设圆锥的母线长为/,

所以圆锥侧面的平面展开图的面积为：S=；x27tJ./=3兀，

所以/=3,所以圆锥的高SO=g2-1=20・

故圆锥的体积为：y=L兀xFx20=^2兀.

33

故答案为：）④兀.

3

8.（2023•上海普陀•一模）设圆锥的底面中心为。，PB,PC是它的两条母线，且BC=2,若棱锥O-是正三

棱锥，则该圆锥的侧面积为.

【答案】2亚n

【分析】求出圆锥的底面圆的半径，从而得到圆锥的侧面积.

【解析】由棱锥O-尸3C为正三棱锥，得产B=PC=BC=2,OB=OC=OP,

而尸POLOC,由勾股定理得O2=OC=O尸=0,

即圆锥的底面圆半径r=夜，母线长/=2,

则该圆锥的侧面积为无〃=20元.

p

故答案为：2亚n

9.（22-23高三下•上海虹口•期中）已知A3是球。的球面上两点，ZAOB=60,尸为该球面上的动点，若三棱锥

尸-。R体积的最大值为6,则球。的表面积为.

【答案】487r

【分析】当平面。钻时，三棱锥的体积最大，设球。的半径为R,列方程求解即可.

【解析】如图所示，当PO_L平面Q4B时，三棱锥的体积最大，

设球0的半径为R,止匕时Vp-oM=gxg*RxRxsin60xR=6,

故7?=2指，则球。的表面积为5=4兀代=48兀.

10.（22-23高三上•上海徐汇•开学考试）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分

别为际和S乙体积分别为5和吟.若乎=2,则¥=________.

3乙V乙

【答案】V10

【分析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为3,结合3=2,即

3乙

可求出外=2遇=1,再利用勾股定理可得儿=行也=2加,由此即可求出答案.

【解析】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，

设圆的半径（即圆锥母线）为3,

甲、乙两个圆锥的底面半径分别为小々高分别为4,

S21

由,=2,则2兀弓=2TCX3X—=4兀，2兀弓=2TIX3X—=2兀,

解得a=2,马=1,

由勾股定理得\=6kl=272,

V:跖力

所以e=M,

乙］叫:”2

故答案为：回.

11.（22-23高三上•上海宝山•开学考试）如图VABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,BC=73,在三角形内挖去一个

半圆（圆心。在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C,M交BC于点N）,则图中阴影部分绕直线BC旋转一

周所得旋转体的体积为.

【答案】空兀

27

【分析】由题意可知，所得的几何体是从一个圆锥中挖去一个球，用圆锥的体积减去球的体积.

【解析】连接QAOM,

因为半圆与AC、AB分别相切于点CM交5c于点N,ZACB=90°,ZABC=30°,BC=^,

所以NC4O=NBAO=30。，AC=BCtan30°=^x—=1,

3

OC=ACtan300=lx@=乌

33

所以图中阴影部分绕直线5。旋转一周所得旋转体的体积为

14.

-7rAC92BC——71OC3

33

=—^-l2x^3-—

33127

故答案为：哼兀

12.（22-23高三下•上海•阶段练习）长方体A3cO-A瓦G。为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积为V的

水，已知4?=3,M=2,AD=1,如果将该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，则V的取值范围为

【答案】（1,5）

【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.

【解析】水量较少，水面恰好为长方体的截面AC用时，V=1X!ABBCBB1=I；

水量较多，水面恰好为长方体的截面AC用时，V=3X2X1-|X|ABJBCJBB1=5;

因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以V的取值范围为。,5）.

故答案为：（1,5）.

13.（21-22高二上•上海虹口•阶段练习）暂堵、阳马、鳖腌出自中国古代名著《九章算术.商功》,其中阳马.鳖牌是

我国古代对一些特殊锥体的称呼，取一长方体，如图长方体4BCD-A4GQ,沿平面ABGQ斜切，一分为二，得

到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵.再沿平面28c切开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥

Q-ABCD以矩形ABCO为底，棱2。与底面垂直，称为阳马，余下的三棱锥2cq是四个面都是直角三角形

的四面体，称为鳖席.已知长方体ABC。-A瓦G2中，AB=4,BC=3,M=2,按以上操作得到阳马，则该阳

马的最长棱长为.

【答案】V29

【分析】根据题设所描述阳马的特征，应用勾股定理求各棱长，即可知最长棱长.

【解析】由题设结合题图，由阳马的结构特征可知：各棱长为

AD=BC=3,AB=DC=4,DDX=2,AD,=而,=26明=晒，

最长棱长为BDX=A/29.

故答案为：729.

14.（2024.上海.三模）日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，烘焙店的包装盒如图所示，正四棱柱

ABC。-ASG2的底面ABC。是正方形，且AB=3,M=1.

(A)(B)

店员认为在彩绳扎紧的情况下，按照图A中H-E-弓-玛-F-G-G「a-H的方向捆扎包装盒会比按照图B中的

十字捆扎法更节省彩绳（不考虑打结处的用绳量和彩绳的宽度）.则图A比图8最多节省的彩绳长度为

【答案】16-8垃

【解析】对于图（A）,沿彩绳展开正四棱柱，则彩绳长度的最小值为8点；

对于图（B）,彩绳长度的最小值为4x（3+1）=16,

因为16>8虚，所以图A比图B最多节省的彩绳长度16-8夜.

故答案为：16-8VL

15.（2024・上海虹口•二模）如图,在直四棱柱ABCD-中，底面为菱形,且NBAD=60.若AB="=2,

点M为棱CG的中点，点P在43上，则线段PAPM的长度和的最小值为.

【分析】取AG的中点N,连接MN、AN、BM、RC,首先证明43//MN,即可从、B、M、N四点共面,

连接A©,求出乙4,2加=90°,将AA即绕A/翻折，使得平面ABA1与平面ABMN共面，连接AM交于

点P,最后利用余弦定理计算可得.

【解析】取2G的中点N,连接MN、AN、BM、RC,

因为点M为棱CG的中点，所以MN//DQ,又AA〃3C且AR=BC,

所以AQCB为平行四边形，所以4B//RC，

所以AB//MV,即A1、B、M、N四点共面，连接A"，AG，

则”=万寿=2&,BM=M=#)，

因为底面ABCD为菱形，且/A4O=60,所以/ADC=120,

所以AG=V22+22-2X2X2COS120°=273,

所以AM=J(2&j+E=A/13，

所以432+8^2=4河2,即所以NABM=90°,

将△ABA绕AB翻折，使得平面ABA1与平面A8MV共面，连接AM交A出于点尸，

则

又NABM=135°,

在.ABM中AM?=AB?+BM2-2AB-BMcosZABM,

2(历、

即A/=2?+(君卜2x2x6x--=9+2质，

I27

所以AA/=也+2河，

即线段24、的长度和的最小值为,9+2版.

故答案为：也+2回

16.（2024高三・上海・专题练习）已知正方体42。-A4GR的棱长为2,动点尸在正方形内，则下列正确

命题的序号是

@^BF=1（BC+BD1）,则三棱锥的歹-与CQ的外接球表面积为47r

②若B、F〃平面AXBD,则不可能垂直CD,

③若GP，平面AC尸，则点尸的位置唯一

④若点E为中点，则三棱锥A-A与E的体积是三棱锥A-FA.B体积的一半

【答案】③④

【分析】

首先建立空间直角坐标系，并利用向量方法求外接球的球心和半径，即可判断①；利用线面垂直的向量公式，以及

线线垂直的向量公式，即可判断②；利用向量法，求解垂直关系，即可判断③；利用等体积转化，比较底面积和高

的关系，即可判断④.

【解析】

如图，建立空间直角坐标系：

则4（2,0,0）,3（2,2,0）,C（0,2,0）,D（0,0,0）,4（2,0,2）,4（2,2,2）,£（0,2,2）,〃（0,0,2）,

由于动点尸在正方形CD2G内，可设厂（0,根,〃），其中0<加<2,0<〃<2,

对于命题①选项，由于圻'=；（BC+2〃），则F为C2的中点，此时*0,1,1）,

设三棱锥的F-B.CQ的外接球的球心为O（x,y,z）,

x2+(y-2)Z+z2=(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2

'\oc=OBt

则［oc

=OFgp<x2+(y-2)2+z2=x2+(y-l)2+(z-l)2

「ocOG|#+(y—2)2+z2=/+(y—2p+(z-2)2

X=1

解得：y=2,所以0(121),

z=1

则三棱锥的尸-qcq的外接球的半径为R=|oc|=0,

所以三棱锥的尸-B.CQ的外接球表面积为4小胃=4%X（血）2=8无，故命题①不正确；

对于命题②选项，设平面4即的法向量为元=Q,y,z）,43=（0,2,-2）,BD=（-2-2,0）,

则〈ccc，令y=i，得无=T,Z=I,故

\-2x-2y=

而4尸=（—2,加一2,〃—2）,若耳尸〃平面A]BD,则3尸〃=0,

则2+ni—2+〃—2=0,Bpm+n=2,所以尸（。，^^一⑴,

此时BXF=,而CR=（0,-2,2）,

所以4尸.CD]=—2*0—2x（〃z—2）—〃z*2=Ym+4,

当相=1时，-4,71+4=0,止匕时鸟尸・S=0,则耳故命题②不正确；

对于命题③选项，若平面ACF,则

由于G尸=(0,%-2,"-2),4。=(-2,2,-2),CF=(0,m-2,,

f2x(m-2)-2(n-2)=0[m=l[m=2

人J[m-2)2+n-2)=0解得:（舍去），

此时尸（0,1,1）,即点歹的位置唯一，使得GF，平面ACF,故命题③正确;

对于命题④选项，点E为BC中点，由正方体可知BCL平面AAB百，

三棱锥A-A用E的体积为：匕1电=/心用=gS"期•四,

由于歹在正方形CDRG内，则尸到平面AAB为BC,

三棱锥A-吗B体积为：匕个产LAAB=；工&京BC,

而$△为做—SjAB'EB=^BC,所以匕匕一F\B，

所以三棱锥A-ABIE的体积是三棱锥A-E41g体积的一半，故命题④正确.

故选：③④

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是正确使用空间向量坐标法，解决几何问题，尤其是确定是否存在和唯一性问题.

二、单选题

17.（20-21高三上.上海黄浦•阶段练习）下列命题是真命题的是（）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D.有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥

【答案】D

【分析】根据棱柱的几何特征，可判断A、B的真假；根据棱锥的几何特征可判断CD的真假.

【解析】解：因为有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，所以A、B

错误；

因为有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体叫棱锥，所以C选项错误，D选项正确.

故选：D.

18.（21-22高三下•上海虹口•阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是中心角为270。的扇形，且扇形半径为4,则过圆

锥顶点的截面的面积的最大值为（）

A.更GB.—C.8D.3s'

39

【答案】C

【分析】首先判断圆锥底面半径，再判断截面顶角的范围，即可判断截面三角形面积的最大值.

377

【解析】由扇形弧长公式可知，中心角是270。的扇形，所对的弧长/=《~x4=6»,

设圆锥底面半径为「，贝|2万厂=6万，即r=3,2r=6,

设过圆锥顶点的截面三角形的顶角的最大角为。，则COS0=4"°<0，

2x4x4

所以。是钝角，那么过圆锥顶点的截面三角形的顶角为直角时，三角形的面积最大，

最大值S=（x4x4=8.

2

故选：C

19.（23-24高二上.上海.期末）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体

ABCD-A4G2,下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）

A.4民4。,朋的长度B.A综AC,AR的长度

C.4民网，22的长度D.4瓦46,2。的长度

【答案】D

【分析】根据题设定义，结合长方体的体积公式、已知量判断长方体的体积是否可以确定即可.

【解析】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可，

已知4民4。招的长度，则体积可定，A满足;

AB2+BB；=AB；

AB2+BC2=AC2,即可求出A民BC,84,则体积可定，B满足；

AD2+DD：=BC2+BB：=AD；

由勾股定理及AB,现可求AA，由勾股定理及网,2。可求AR,故体积可定，C满足;

已知无法求出BC,网，体积不能确定，D不满足.

故选：D

20.（2021.上海.一模）如图，在正四棱柱ABCD-ABG2中，底面边长4?=2,高4人=4,E为棱的中点.设

ZBAD=a,NBED=8、NB、ED=y,则a、/、/之间的关系正确的是（）.

A.a=y>0B.y>a>6C.0>y>aD.a>O>y

【答案】B

【分析】求出a、/、7的大小即可求解.

【解析】由题意可得4&山=“.，

-JT

连接HD,则VBDE为等边三角形，所以NBE£>=e=§,

连接与。，则耳£>=万方弄=2#，

BE=DE=A/22+22=2A/2，

取耳。的中点。,

连接EO,则4。=痛，EO=A/8^6=V2,

A/6

所以tanN4EO==G

jrz77

所以=BpZB1ED=y=—,

所以7＞。＞氏

故选：B

21.（2021・上海嘉定•一模）在棱长为2的正方体ABC。-4瓦G2中，点p是该正方体棱上一点.若满足

|P8|+|PG|=根（利＞0）的点的个数为4,则m的取值范围是（）

A.[2^/2,4]B.[4,2+2向

C.[4,4问D.[2+2区4旬

【答案】B

【解析】先求得正方体的8个顶点到民G两点的距离之和，进而得到得到在棱上的运动时优的取值范围，然后再

根据点的个数为4取交集即可.

【解析】如图所示：

因为顶点C,用到B,CX两点的距离之和分别为

|CB|+|CC；|=4,|4却+|4G|=4,忸Cj=2-72

所以当点尸分别在棱网，8C,CG，BG上运动时，m的取值范围是[20,4]；

因为顶点A,DX,到8,G两点的距离之和分别为：

|AB|+|Aq|=2+2招,|RB|+|AG|=2+2后，忸G|=2人,

所以当点尸分别在棱CQ,回上运动时，机的取值范围是［20,2+26］；

因为顶点A，片,C,。到B,C,两点的距离之和分别为：

|4同+|4。=4夜，国叫+国cj=4,|CB|+|CCj=4,|D@+|r）G卜4夜，

所以当点尸分别在棱4月,。上运动时，机的取值范围是［4,4应］;

因为顶点A，A，D，2到民G两点的距离之和分别为：

14同+|A£|=4夜，\DB\+\DQ\=4y/2,\AB\+\AC1\=2+2^3,\D}B\+\D1C1\=2+2S（3

所以当点尸分别在棱A2，，AD,M上运动时，m的取值范围是［2+2"40］.

由几何直观可知，点尸在正方体的每一条棱上运动时，它所在的位置与机的值是一一对应的，

所以当|尸3|+|尸端=加（〃?>0）的点P的个数为4时，则加的取值范围是［4,2+2百］,

故选：B

22.（2024•上海徐汇・二模）三棱锥P-ABC各顶点均在半径为2夜的球。的表面上，AB=AC=272,ABAC=W,

二面角尸-3C-A的大小为451则对以下两个命题，判断正确的是（）

Q

①三棱锥O-ABC的体积为耳；②点P形成的轨迹长度为2扁.

A.①②都是真命题

B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题

D.①②都是假命题

【答案】A

【分析】根据球的截面圆的性质可得出二面角，利用直角三角形性质判断7ABe外心。|和APBC外心02的位置，

利用垂直关系证明2是AO中点，利用体积公式判断①，根据02P为定长判断尸点轨迹是圆，判断②.

【解析】由题意知=AC=2A/I,/BAC=90。，故3c=4,

设VABC外心为。i，则。1为BC的中点，设△PBC外心为。2，如图,

则OO]±平面ABC,oo21平面PBC,

3Cu平面ABC,BCu平面PBC,

OOX±BC,OO21BC,

OO.nOQ=O,OO2，。。u平面OOQz，,3C_L平面O。。?，

又因为AQLBC,则A。u平面0002，即A,。1，O,。之四点共面，

则BC_L平面。A。，

连接。02，则4。。为二面角P—BC—A的平面角，

「二面角尸—BC—A的大小为45。，.,.乙4。。2=45。，

而AQ_LBC,«A=；BC=2,因为O。?，平面尸3C，O02U平面PBC,

故。。2，。02，而qo=Jol—ow=2,则QO=VL

在△4002中，（AQ）2=（AO]）2+（OQ2）2_2Aq。。2cos45=2,

则AQ=VL故。4=20=AQ+OO2，即A。”。三点共线，

且。2是Q4的中点；

则勿-ABC=；XOQ|XSMC=；x2x；x2忘x2®=|,故①是真命题；

2A

又O2P=^OP--（OO2）=/8^2=y/6,

•••点P形成的轨迹是以。2为圆心，半径为指的圆，

二轨迹长度为2扃，故②真命题.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据空间的位置关系，推出A，a，。三点共线，及说明。2是得中点,

从而确定点P形成的轨迹.

三、解答题

23.（23-24高三上.上海闵行.期中）正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,PO=3,其中。为底面中心，M为PD上靠

近P的三等分点.

⑴求证：3D工平面ACP；

（2）求四面体朋-ACP的体积.

【答案】（1）证明见解析

尾

【分析】（1）连接AC,BD,则AC与8。交于点。，由正四棱锥的性质得到AC1BD,POL平面ABCD,则

POVBD,即可得证；

2

（2）首先求出匕〜WC，再由M为尸。上靠近尸的三等分点，得到％.A»C=]%.ADC，所以

%—ACP=^P-ADC~^M-ADC=^P-ADC-

【解析】（1）在正四棱锥P-A5CD中。为底面中心，连接AC,BD,

则AC与BD交于点。，且尸平面ABC。，BDu平面ABCD,

所以PO_LBD,又AC尸0=0,AC,POu平面AC尸，所以5。/平面ACP.

(2)因为AB=2,PO=3,所以匕.旬。=]PO・Ssc=§x3xgx2x2=2,

2

又M为尸。上靠近P的三等分点，所以％一陋c=§匕〜wc，

12

=

则勿-ACP=Vp_ADC~^M-ADCXP-ADC=§

24.（23-24高三上•上海杨浦•期中）如图,长方体ABCD-人第1Gpi的底面ABC。是正方形，点£在棱A4i^BELECr.

⑴证明：8E_L平面EBiCx

⑵若A4i=2,AB=1,求四棱锥E-5&C1c的体积.

【答案】（1）证明见解析

【分析】线面垂