第7章 应力状态分析

1、单,辉祖,:,材料力学,教程,1,第,7,章,应力状态分析,本章主要研究,：,?,应力状态分析基本理论,?,应变状态分析基本理论,?,应力应变关系,?,应力电测的基本理论,?,复合材料应力应变关系简介,单,辉祖,:,材料力学,教程,2,1,引言,2,平面应力状态应力分析,3,极值应力与主应力,4,复杂应力状态的最大应力,5,广义胡克定律,6,应变分析与电测应力,7,复合材料应力应变关系简介,单,辉祖,:,材料力学,教程,3,1,引,言,?,实例,?,应力与应变状态,?,平面与空间应力状态,单,辉祖,:,材料力学,教程,4,1,、,问题的提出,应力状态的概念,A,F,?,?,轴向拉伸杆件,F,F

2、,F,p,?,x,n,?,F,p,?,?,?,?,?,?,),2,sin(,2,cos,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,斜截面应力：,问题,1,：,同一点处,不同方位截面上,的应力不相同；,横截面应力：,单,辉祖,:,材料力学,教程,5,梁弯曲的强度条件：,?,?,?,?,.,*,max,max,max,max,?,?,?,?,?,?,?,?,?,b,I,S,F,W,M,z,s,z,z,z,F,F,Fl,),(,?,B,问题,2,B,点处应力该如何校核？,B,?,B,?,有必要研究,一点的应力状态。,单,辉祖,:,材料力学,教程,6,过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的,应力

3、,状态,（,State of the Stresses of a Given Point,）。,应,力,哪一个面上？,哪一点？,哪一点？,哪个方向面？,指明,2,、点的应力状态的概念,研究应力状态的,目的,：,找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最,大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当,的强度条件。,单,辉祖,:,材料力学,教程,7,?,实,例,微体,A,单,辉祖,:,材料力学,教程,8,微体,abcd,单,辉祖,:,材料力学,教程,9,微体,A,单,辉祖,:,材料力学,教程,10,?,应力与应变状态,过构件内一点所作各微截面的应力状况，称为该点,处的应力状态,应力状态,应变状态

4、,构件内一点在各个不同方位的应变状况，称为该点,处的应变状态,研究方法,环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋,于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应,力与应变状态,研究目的,研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件,的应力、变形与强度分析，提供更广泛的理论基础,单,辉祖,:,材料力学,教程,11,?,平面与空间应力状态,仅在微体四侧面作用应力，且,应力作用线均平行于微体的不,受力表面,平面应力状态,平面应力状态,的一般形式,微体各侧面均作用有,应力,空间应力状态,空间应力状态一般形式,单,辉祖,:,材料力学,教程,12,取单元体示例一,F,P,l/2,l/2,S,截面,5,4

5、,3,2,1,5,4,3,2,1,S,截面,4,P,l,F,M,z,?,2,P,F,单,辉祖,:,材料力学,教程,13,5,4,3,2,1,5,4,3,2,1,S,截面,4,P,l,F,M,z,?,2,P,F,1,x,?,1,2,?,2,x,?,2,?,2,3,3,t,单,辉祖,:,材料力学,教程,14,取单元体示例二,F,P,l,a,S,截面,x,z,y,4,3,2,1,S,截面,单,辉祖,:,材料力学,教程,15,y,x,z,M,z,F,Q,y,M,x,4,3,2,1,1,p,x,W,M,?,1,?,z,z,x,W,M,?,1,?,4,3,p,x,W,M,?,3,?,p,3,W,M,x,?

6、,?,z,z,x,W,M,?,?,3,?,忽略弯曲切应力,单,辉祖,:,材料力学,教程,16,2,平面应力状态应力分析,?,应力分析的解析法,?,应力圆,?,例题,单,辉祖,:,材料力学,教程,17,一、,应力分析的解析法,问题：,建立,s,a,t,a,与,s,x,t,x,s,y,t,y,间的关系,问题,符号规定：,?,方位角,a,以,x,轴为始边、,者为,正,?,切应力,t,以企图使微体沿,旋转者为,正,方位用,a,表示；应力为,s,a,t,a,斜截面：,/,z,轴；,单,辉祖,:,材料力学,教程,18,0,)sin,sin,d,(,)cos,sin,d,(,)cos,cos,d,(,)si

7、n,cos,d,(,d,0,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,A,A,F,y,y,x,x,，,0,)cos,sin,d,(,)sin,sin,d,(,)sin,cos,d,(,)cos,cos,d,(,d,0,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,A,A,F,y,y,x,x,，,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos,)sin,(,sin,cos,2,2,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,sin,cos,cos,)

8、sin,(,y,x,y,x,?,?,?,?,斜截面应力公式,单,辉祖,:,材料力学,教程,19,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos,)sin,(,sin,cos,2,2,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,sin,cos,cos,)sin,(,y,x,y,x,?,?,?,?,由,于,x,与,y,数,值相等,并利用三角函数的变换关系,得,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos2,sin2,2,x,y,x,?,?,?,上述关系建立在静力学基础上

9、，故所得结,论既适用于各向同性与线弹性情况，也适,用于各向异性、非线弹性与非弹性问题,单,辉祖,:,材料力学,教程,20,二、,应力圆,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos2,sin2,2,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos2,sin2,2,0,x,y,x,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,2,0,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,

10、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,y,x,C,?,?,?,?,?,2,2,2,x,y,x,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,应力圆,应力圆原理,圆心位于,轴,单,辉祖,:,材料力学,教程,21,应力圆的绘制,2,y,x,C,?,?,?,?,?,2,2,2,x,y,x,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,满足上述二条件,确为所求应力圆,根据：,问题：已知,?,x,?,x,?,y,画相应应力圆,单,辉祖,:,材料力学,教程,22,图解法求斜截面应力,),2,cos(2,0,?,?,?,?,?

11、,?,CD,OC,H,?,?,?,?,?,sin2,sin2,cos2,cos2,0,0,CD,CD,OC,H,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,H,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,H,同理可证：,单,辉祖,:,材料力学,教程,23,点、面对应关系,?,点面对应，以,D,为基点，转向相同，转角加倍,?,互垂截面，对应同一直径两端,单,辉祖,:,材料力学,教程,24,三、,例,题,例,计算截面,m-m,上的应力,解：,M

12、Pa,100,?,?,x,?,MPa,50,?,y,?,MPa,60,?,?,x,?,?,30,?,?,?,MPa,114.5,?,?,MPa,35.0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,m,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,cos2,sin2,2,x,y,x,m,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,25,例,利用应力圆求截面,m,-,m,上的应力,解：,MPa,115,?,?,m,?,MPa,35,?,m,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,26,例,利用应力圆求截面,m,-,m,上的应力,解：,MPa,115,?,?,m,?,

13、MPa,35,?,m,?,1.,画应力圆,2.,由应力圆求,m,m,?,?,与,A,点对应截面,x,B,点对应截面,y,由,A,点（截面,x,）顺时针转,60,。,至,D,点（截面,y,）,单,辉祖,:,材料力学,教程,27,例,：,如图所示单元体，求,a,斜面的应力及主应力、主平面。,（单位：,MPa,）,30,0,40,50,60,解：,1,、求斜面的应力,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,sin,2,cos,2,2,xy,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,cos,2,sin,2,xy,y,x,?,?,?,),(,3,.,58,),60,sin(,)

14、,50,(,),60,cos(,2,60,40,2,60,40,0,0,MPa,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,3,.,18,),60,cos(,),50,(,),60,sin(,2,60,40,0,0,MPa,?,?,?,?,?,?,?,?,?,30,50,60,40,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,y,x,?,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,28,50,40,60,2,、求主应力、主平面,y,x,xy,tg,?,?,?,?,?,?,?,2,2,0,2,2,min,max,),2,(,2,xy,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,

15、?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,7,.,60,),(,7,.,80,),50,(,),2,60,40,(,2,60,40,2,2,MPa,MPa,1,60,40,),50,(,2,?,?,?,?,?,?,?,0,0,5,.,67,?,?,?,),(,7,.,60,0,),(,7,.,80,3,2,1,MPa,MPa,?,?,?,?,?,?,?,?,主应力,：,主平面位置,：,3,?,1,?,y,?,x,?,x,?,x,0,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,29,3,极值应力与主应力,?,平面应力状态的极值应力,?,主平面与,主应力,?,纯剪切与扭转破

16、坏,?,例题,单,辉祖,:,材料力学,教程,30,一、,平面应力状态的极值应力,CK,?,?,?,?,?,min,max,?,?,CA,OC,?,?,?,?,?,min,max,?,?,极值应力数值,2,2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,2,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,31,y,x,x,?,?,?,?,?,?,?,2,tan2,0,y,x,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,max,min,0,tan,极值应力方位,最大正应力方位：,m

17、ax,与,min,所在截面正交,极值,极值所在截面,成,夹角,?,45,单,辉祖,:,材料力学,教程,32,二、,主平面与主应力,主平面,切应力为零的截面,主应力,主平面上的正应力,主应力符号与规定,3,2,1,?,?,?,?,?,相邻主平面相互垂直，构成一,正六面形微体,主平面微体,（按代数值）,1,2,3,单,辉祖,:,材料力学,教程,33,应力状态分类,?,单向应力状态：,仅一个主应力不为零的应力状态,?,二向应力状态：,两个主应力不为零的应力状态,?,三向应力状态：,三个主应力均不为零的应力状态,二向与三向应力状态，统称,复杂应力状态,单,辉祖,:,材料力学,教程,34,三、,纯剪切与

18、扭转破坏,?,?,?,?,?,C,max,t,?,?,?,?,?,D,max,c,?,?,?,?,?,?,min,max,0,2,3,1,?,?,?,?,?,?,?,?,纯剪切状态的最大应力,3,1,主平面微体位于,方位,?,45,单,辉祖,:,材料力学,教程,35,圆轴扭转破坏分析,滑移与剪断,发生在,m,a,x,的,作,用,面,断裂发生在,max,作用面,单,辉祖,:,材料力学,教程,36,四、,例,题,解：,1.,解析法,MPa,70,?,?,x,?,MPa,50,?,x,?,MPa,26,1,?,?,0,2,?,?,MPa,96,3,?,?,?,?,?,?,?,?,MPa,96,MPa

19、,26,?,5,.,62,?,?,例,用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位,0,?,y,?,2,min,max,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,y,x,?,?,?,?,max,0,arctan,单,辉祖,:,材料力学,教程,37,MPa,26,1,?,?,0,2,?,?,MPa,96,3,?,?,?,?,5,62,0,.,?,?,?,2.,图解法,主应力的大小与方位,？,单,辉祖,:,材料力学,教程,38,4,复杂应力状态的最大应力,?,三向应力圆,?,最大应力,?,

20、例题,单,辉祖,:,材料力学,教程,39,一、,三向应力圆,与任一截面相对应,的点，或位于应力,圆上，或位于由应,力圆所构成的阴影,区域内,单,辉祖,:,材料力学,教程,40,二、,最大应力,1,max,?,?,?,2,3,1,max,?,?,?,?,?,3,min,?,?,?,最大切应力位于与,1,及,3,均成,45,的截面,上,单,辉祖,:,材料力学,教程,41,三、,例,题,例,已知,x,= 80 MPa,，,x,= 35 MPa,，,y,= 20 MPa,，,z,=,40 MPa,，,求主应力、最大正应力与最大切应力,解,：,画三向应力圆,MPa,1,.,96,1,?,?,C,?,?,

21、MPa,1,.,96,1,max,?,?,?,?,MPa,09,.,3,2,?,?,D,?,?,MPa,40,3,?,?,?,E,?,?,MPa,1,.,68,2,3,1,max,?,?,?,?,?,?,s,z,s,z,单,辉祖,:,材料力学,教程,42,5,广义胡克定律,?,广义胡克定律（平面应力状态）,?,广义胡克定律（三向应力状态）,?,例题,单,辉祖,:,材料力学,教程,43,一、,广义胡克定律,（平面应力状态）,E,x,x,?,?,?,?,E,x,y,?,?,?,?,?,G,x,xy,?,?,?,E,y,y,?,?,?,?,?,E,y,x,?,?,?,?,?,?,),(,1,y,x,

22、x,E,?,?,?,?,?,),(,1,x,y,y,E,?,?,?,?,?,),(,1,2,y,x,x,E,?,?,?,?,?,?,?,),(,1,2,x,y,y,E,?,?,?,?,?,?,?,xy,xy,G,?,?,?,适用范围：各向同性材料，线弹性范围内,单,辉祖,:,材料力学,教程,44,),(,1,z,y,x,x,E,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,1,x,z,y,y,E,?,?,?,?,?,?,?,?,),(,1,y,x,z,z,E,?,?,?,?,?,?,?,?,适用范围：各向,同性材料，线弹,性范围内,二、,广义胡克定律,（三向应力状态）,E,x,x,?,?,?,?,E

23、,y,x,?,?,?,?,?,?,E,z,x,?,?,?,?,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,45,x,?,y,?,广义胡克定律的应用,求平面应力状态下任意方向,的正应变：,?,?,?,90,1,?,?,?,?,?,?,?,?,?,E,a,a,+,90,xy,?,求出,就可求得,方向的正应变,?,?,?,?,90,?,?,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,46,三、,例,题,例,已知,E,=,70,GPa,u,=,0.33,求,45,。,解,：,?,应力分析,?,45,。计算,),(,1,145,45,45,?,?,?,?,?,?,?,?,E,4,10,31,.,3,?,?,

24、?,?,MPa,30,0,MPa,50,?,?,?,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,cos2,2,2,x,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,0,9,sin,30,0,9,cos,2,0,50,2,0,50,45,?,?,?,?,?,?,MPa,5,?,?,MPa,55,135,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,47,例,边长,a,=10,mm,正方形钢块，置槽形刚体内，,F,=,8,kN,，,u,=,0.3,，求钢块的主应力,解：,MPa,80,2,?,?,a,F,y,?,0,?,x,?,y,x,?,?,?,MPa,24,?,E,E,

25、y,x,x,?,?,?,?,?,?,0,?,?,?,E,E,y,x,?,?,MPa,80,MPa,24,0,3,2,1,?,?,?,?,?,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,48,6,应变分析与电测应力,?,任意方位的正应变,?,应力分析电测方法,?,应变花,单,辉祖,:,材料力学,教程,49,一、,任意方位的应变,平面应变状态特点,0,?,?,?,yz,xz,z,?,?,?,微体内各点的位移均平行于同一平面,单,辉祖,:,材料力学,教程,50,平面应变状态任意方位应变,问题：,已知应变,e,x,e,y,与,g,xy,，求,a,方位的正应变,e,a,?,使左下直角增大之,g,为正,规定

26、：,?,方位角,a,以,x,轴为始边,，,为正,单,辉祖,:,材料力学,教程,51,分析方法要点：叠加法，切线代圆弧,分,析,方,法,知,e,x,e,y,g,xy,求,e,a,单,辉祖,:,材料力学,教程,52,l,x,x,d,cos,d,?,?,?,?,?,?,?,cos,d,d,?,l,x,?,?,2,sin,y,?,l,y,xy,d,cos,d,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,2,cos,x,?,?,l,y,y,d,sin,d,?,?,?,?,?,?,?,2,sin2,?,?,xy,?,?,推导：,单,辉祖,:,材料力学,教程,53,?,?,?,?,?,?,?,?,?

27、,?,?,?,?,?,?,?,?,结论：,?,?,?,?,2,cos,x,?,?,?,?,?,?,2,sin,y,?,?,?,2,sin2,?,?,?,?,xy,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin,cos,sin,cos,2,2,xy,y,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,xy,y,x,y,x,?,?,?,?,?,上述分析建立在几何关系基础上，所得结论适用,于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关,单,辉祖,:,材料力学,教程,54,例,对于各向同性材料，试证明：,),(1,2,?,?,?,E,G,证,：,0,?,?

28、,y,x,?,?,G,/,xy,?,?,?,2,45,xy,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,xy,y,x,y,x,?,?,?,?,?,?,根据几何关系求,e,45,。,?,根据广义胡克定律求,e,45,。,),(,1,1,3,45,?,?,?,?,?,E,?,?,比较,),(1,2,?,?,?,E,G,E,?,?,),(1,?,?,?,G,2,?,?,?,单,辉祖,:,材料力学,教程,55,二、,应力分析电测方法,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,xy,y,x,y,x,?,?,?,?,?,A,xy,A,y,x,y,x,A,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,?,?,?,?,?,构件表层,应力一般,情况,(,无表,面外力时,),B,xy,B,y,x,y,x,B,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,?,?,?,?,?,C,xy,C,y,x,y,x,C,?,?,?,?,?,?,?,?,?,sin2,2,cos2,2,2,?,?,?,?,?,xy,