多元函数的极值及其求法_第1页
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文档简介

1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4 求函数,的极值。,解,求解方程组：,得驻点,因此，驻点,因此，驻点,因此，驻点,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最

2、大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,解,令,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.,实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求解方程

3、组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2), (1)及(3), (2)得,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值就在此点处取得。,故，最大值,最大值一定存在，,解,则,由 (1)，(2) 得,由 (1)，(3) 得,将 (5)，(6) 代入 (4)：,于是，得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，最大值一定存在，,所以，,最大值就在这个可能的极值点处取得。,故，最大值,多元函数的极值,拉格

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