电磁场与电磁波总复习

1、一、 单项选择题 1两个矢量的矢量积（叉乘）满足以下运算规律（ B ）A. 交换律 B. 分配率 C. 结合率 D. 以上均不满足2. 下面不是矢量的是（ C ）A. 标量的梯度 B. 矢量的旋度C. 矢量的散度 D. 两个矢量的叉乘3. 下面表述正确的为（ B ）A. 矢量场的散度结果为一矢量场 B. 标量场的梯度结果为一矢量(具有方向性，最值方向)C. 矢量场的旋度结果为一标量场 D. 标量场的梯度结果为一标量4. 矢量场的散度在直角坐标下的表示形式为（ D ）A BC D 5. 散度定理的表达式为（ A ）体积分化为面积分A. B.C. D.6. 斯托克斯定理的表达式为（ B ）面积分化

2、为线积分A. B. C. D. 7. 下列表达式成立的是（ C ） 两个恒等式 ，A. ； B. ；C. ； D. 8. 下面关于亥姆霍兹定理的描述，正确的是（ A ）（注：只知道散度或旋度，是不能全面反映场的性质的）A. 研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。B. 研究一个矢量场，只要研究它的散度就可确定该矢量场的性质。C. 研究一个矢量场，只要研究它的旋度就可确定该矢量场的性质。D. 研究一个矢量场，只要研究它的梯度就可确定该矢量场的性质。二、 判断题 (正确的在括号中打“”，错误的打“”。)1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它

3、们是唯一的。( )2. 矢量场在闭合路径上的环流和在闭合面上的通量都是标量。( )3. 空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面。( )4. 标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。 ( )5. 矢量场在闭合路径上的环流是标量，矢量场在闭合面上的通量是矢量。( ) 标量6. 梯度的方向是等值面的切线方向。( ) 法线方向三、 计算题 1某二维标量函数,求（1）标量函数梯度;（2）求梯度在正方向的投影。解：（1）标量函数的梯度是（2）梯度在正方向的投影2已知某二维标量场，求（1）标量函数的梯度；（2）求出通过点处梯度的大小。解：（1）标量函数的梯度是（2）任意点处的梯度大小为在点处梯度的

4、大小为：3已知矢量，（1）求出其散度；（2）求出其旋度解：（1）矢量的散度是 （2）矢量的旋度是4矢量函数,试求（1）;（2）若在平面上有一边长为2的正方形，且正方形的中心在坐标原点，试求该矢量穿过此正方形的通量。解：（1）（2）矢量穿过此正方形的通量一选择题（每题2分，共20分）1. 毕奥沙伐尔定律（ C ）(提示该定律没有考虑磁化介质，是在真空中，)A. 在任何媒质情况下都能应用 B. 在单一媒质中就能应用C. 必须在线性，均匀各向同性媒质中应用。2. 一金属圆线圈在均匀磁场中运动，以下几种情况中，能产生感应电流的（ C ） A. 线圈沿垂直于磁场的方向平行移动 B.线圈以自身某一直径为轴

5、转动，转轴与磁场方向平行C.线圈以自身某一直径为轴转动，转轴与磁场方向垂直 （提示 , 磁场或面积变化会导致磁通变化）3 . 如图所示，半径为的圆线圈处于变化的均匀磁场中，线圈平面与垂直。已知，则线圈中感应电场强度 的大小和方向为（ C ）（提示,）A. ，逆时针方向 B. ，顺时针方向C. ，逆时针方向4. 比较位移电流与传导电流，下列陈述中，不正确的是（ A ）A. 位移电流与传导电流一样，也是电荷的定向运动 （提示位移电流是假想电流，为了支持电容中环路定理的连续提出的，实际是电场的微分量）B. 位移电流与传导电流一样，也能产生涡旋磁场C. 位移电流与传导电不同，它不产生焦耳热损耗 5.

6、根据恒定磁场中磁感应强度、磁场强度与磁化强度的定义可知，在各向同性媒质中:（ A ）(,与的方向一定一致, ,与之间不确定同异)A. 与的方向一定一致，的方向可能与一致，也可能与相反B. 、的方向可能与一致，也可能与相反C. 磁场强度的方向总是使外磁场加强。6. 恒定电流场基本方程的微分形式说明它是（ A ）A. 有散无旋场 B. 无散无旋场 C. 无散有旋场7. 试确定静电场表达式中，常数的值是（ A ）（ 提示， 可以解出 ）A. B. C. 8. 已知电场中一个闭合面上的电通密度，电位移矢量的通量不等于零，则意味着该面内（ A ）（提示）A. 一定存在自由电荷 B. 一定不存在自由电荷

7、C. 不能确定9. 电位移表达式（ C ）（提示在非均匀介质中不是常数，见课本54） A. 在各种媒质中适用 B. 在各向异性的介质中适用 C. 在各向同性的、线性的均匀的介质中适用 10. 磁感应强度表达式（ A ） （提示任何磁介质，磁极矩极化只有和同向或反向，见课本58） A. 在各种磁介质中适用 B. 只在各向异性的磁介质中适用 C. 只在各向同性的、线性的均匀的磁介质中适用 二、计算题（每题10分，共80分）1真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为。试求（1）球内任一点的电场强度；（2） 球外任一点的电位移矢量。解：（1）作半径为的高斯球面，在高斯球面上电位移矢量的大小不变，（2分

8、）根据高斯定理，在区域，有 （2分） （1分）电场强度为 （2分）（2）当时，作半径为的高斯球面，根据高斯定理，有 （2分） （3分）2在真空中，有一均匀带电的长度为的细杆，其电荷线密度为。求在其横坐标延长线上距杆端为的一点处的电场强度。解：将细杆分解为无数个线元，每个线元都会产生各自的电场强度，方向都沿。在离左端长度为处取线元，它的点电荷为，在轴线P点产生的电场是 （5分）由电场的叠加，合电场只有分量，得到 （5分）3. 一个球壳体的内半径、外半径分别为和，壳体中均匀分布着电荷，电荷密度为。试求离球心为 处的电场强度。 解：电荷体密度为： （2分）由高斯定理： （2分）在区域内， （2分）在

9、区域内， 得到 （2分）在区域，得到 （2分）4设半径为的无限长圆柱内均匀地流动着强度为的电流，设柱外为自由空间，求柱内离轴心任一点处的磁场强度；柱外离轴心任一点处的磁感应强度。解：由电流的柱对称性可知，柱内离轴心任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向，在区域，由安培环路定律： (3分)整理可得柱内离轴心任一点处的磁场强度 () (2分)柱外离轴心任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向，在区域，培环路定律： (3分)整理可得柱内离轴心任一点处的磁感应强度 （） (2分)5设无限长直导线与矩形回路共面，（如图所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）

10、；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。解：建立如图坐标, 通过矩形回路中的磁感应强度的方向为穿入纸面，即为方向。（5分） 在平面上离直导线距离为处的磁感应强度可由下式求出： 即： （2分） 在处取面积元，通过矩形回路的磁通量 （3分）6有一半径为的圆电流， 求：（1）其圆心处的磁感应强度？（2）在过圆心的垂线上、与圆心相距为的一点，其？解：（1）在圆环上取电流微元，由毕奥萨伐尔定律，在圆心O产生的磁感应强度 （3分）圆心处的总磁感应强度 （2分）（2）如图，由毕奥萨伐尔定律，在圆轴线上P点产生的磁感应强度，在区域， （1分）在区域， （1分）由对称性，在整个区域磁感应强

11、度没有向分量，只有向的分量， （3分）7.正弦交流电压源连接到平行板电容器的两个极板上，如图所示。(1) 证明电容器两极板间的位移电流与连接导线中的传导电流相等；(2)求导线附近距离连接导线为处的磁场强度。解：( 1 ) 导线中的传导电流为（2分）忽略边缘效应时，间距为d 的两平行板之间的电场为，则 则极板间的位移电流为 （3分）式中的为极板的面积，而为平行板电容器的电容。( 2 ) 以 为半径作闭合曲线，由于连接导线本身的轴对称性，使得沿闭合线的磁场相等，故 （2分）穿过闭合线的只有导线中的传导电流，故得 （3分）8.在无源的电介质中，若已知电场强度矢量 ，式中的为振幅、为角频率、为相位常数

12、。试确定与之间所满足的关系。解：由麦克斯韦方程组可知， （3分）对时间 积分，得， （2分）， （1分），（1分）以上场矢量都满足麦克斯韦方程，将和代入式，和，由得到。 （3分）一选择题 1. 下面说法正确的是（ C ）A. 静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。 （注：一个为散度场，一个为旋度场 ）B. 泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。C由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。2. 下面说法错误的是（ C ）A. 一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。 B. 按统一规则绘制

13、出的力线可以确定矢量场中各点矢量的方向，还可以根据力线的疏密判别出各处矢量的大小及变化趋势。 C. 泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（注：拉普拉斯方程适用于无源区域）3. 电源以外恒定电场基本方程的积分形式是（ A ）A, B, C, 4. 静电场中电位为零处的电场强度（ C ）（注：电位的零点可以任意选，有意义的是电位差值）A. 一定为零 B. 一定不为零 C. 不能确定5. 若要增大两线圈之间的互感，可以采用以下措施（ A ）(注：互感与电流无关)A. 增加两线圈的匝数 B. 增加两线圈的电流C. 增加其中一个线圈的电流6. 两个载流线圈的自感分别为和，互感为。分别通有电流和，则系

14、统的储能为（ C ） A. B. C. （注：C是的变形）7. 镜像法的理论根据是（ A ）A. 场的唯一性定理 B. 库仑定律 C. 迭加原理 8. 对于像电荷，下列说法正确的是（ B ） A. 像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之内 B. 像电荷是虚拟电荷，必须置于所求区域之外 C. 像电荷是真实电荷，必须置于所求区域之内 9对于处于静电平衡状态的导体，下列说法不正确的是（ C ）A. 导体为等位体 B. 导体内部电场为0C. 导体内部可能存在感应电荷 （如果有，就不会平衡了）10. 如图所示两个平行通以同向的载流线圈，所受的电流力使两线圈间的距离而 （ B ）A. 扩大 B. 缩小 C.

15、 不变 （注：电流产生的场同向，类似磁铁的相异的两极相吸）二、计算题（每题14分，共70分）1. 电荷均匀分布在内半径为, 外半径为的球壳形区域内，如图2示(电荷分布在阴影部分)。(1) 求各区域内的电场强度；(2) 若以处为电位参考点0，计算球心的电位。 图1 解：(1) 电荷体密度为：由高斯定律： 可得， （球面总面积） 区域内， (里面没有包含电荷) （3分） 区域内， （3分） 区域内， （3分）(2) （2分）式中，因此， （3分） 2同轴长导线的内导体半径为，外导体半径为(外导体厚度可忽略不计)，内、外导体间介质为真空，在其间加以直流电压，如图2示。 (1) 求处的电场强度；(2)

16、 求处的电位移矢量；(3) 求出同轴线单位长度的电容。 图2 解：（1）在内、外导体间加以直流电压，电势差存在于内导体外表面和外导体内表面之间，内导体为等势体，因此内部电压为0， 即电场强度为 （4分）(内导体内部没有电荷，如果有，在电压作用下，会被吸附到内导体的外表面)（2）假设单位长度上内导线表面的电荷为，当时，作半径为的高斯球面，根据高斯定理，有 （2分） （1分）由 得到 （2分）因此 （1分）（3）同轴线单位长度的电容 （4分）3同轴长电缆的内导体半径为，外导体半径为(外导体厚度可忽略不计)，中间充塞两层同心介质：第一层为，其半径为；第二层为 ，如图3示 (图中同轴长电缆中的斜线表示

17、区分不同的介质)。在电缆内外柱面间加以 直流电压。求：(1) 电缆内从至各区域的场强。(2) 单位长度电缆的电容。(3) 单位长度电缆中(填充介质部分)的电场能。 图3 解：（1）假设单位长度上内导线表面的电荷为，当时，作半径为的高斯球面(注：这里是半径，因为已经被作为常数用了)，根据高斯定理，有 （2分） (), ()由 得到 （3分）因此 (),（1分） ()（1分）（2）同轴线单位长度的电容 （3分）(3) 单位长度电缆中(填充介质部分)的电场能 （4分）另解：用计算，结果一样，建议用上计算，需要证明。4在面积为、相距为的平板电容器里，填以厚度各为、介电常数各为和的介质，如图4示 (图中

18、平板电容器中的斜线表示区分不同的介质)。将电容器两极板接到电压为的直流电源上。求：(1) 电容器内介质和介质的场强； (2) 电容器中的电场能量。 图4 解:选取电容器上下板为高斯面，电场强度在两板区域，且垂直两板，假设上下板的电荷量为，由高斯定理 （2分）得电场强度 , （2分）由 （3分） , （2分）（2）电容器中的电场能量 （5分）5.同轴长导线的内导体半径为，外导体半径为(外导体厚度可忽略不计)，内导体线上流动的电流为，内、外导体间介质为真空，如图5示。(1) 计算同轴线单位长度内的储存的磁场能量；(2) 根据磁场能量求出同轴线单位长度的电感。 图5解：(1)由电流的柱对称性可知，柱

19、内离轴心任一点处的磁场强度大小处处相等，方向为沿柱面切向，在区域，由安培环路定律： (2分)整理可得柱内离轴心任一点处的磁场强度 ， () (1分)柱外离轴心任一点处的磁感应强度也大小处处相等，方向为沿柱面切向，在区域，培环路定律： (2分)整理可得柱内离轴心任一点处的磁感应强度 （） (1分)同轴线单位长度内的储存的磁场能量 (4分)(2) 由 故 (4分)一选择题（每题3分，共30分）1. 损耗媒质中的电磁波, 其传播速度随媒质电导率的增大而 ( B )A. 不变 B. 减小 C. 增大 D. 先增大后减小2. 在无损耗媒质中,电磁波的相速度与波的频率 (D ) A. 成正比； B. 成反

20、比； C. 成平方反比 D. 无关3. 自由空间中所传输的均匀平面波，是 ( C ) A. TE波 B. TM波 C. TEM波 D. 以上都不是 4. 电偶极子所辐射的电磁波，在远区场其等相位面为 ( A ) A. 球面 B. 平面 C. 柱面 D. 不规则曲面5.下面说法错误的是 ( A )A. 坡印廷矢量 ， 它的方向表示电磁能量的传输方向， 它的大 小 表示单位时间通过 面积的电磁能量。与能流方向相垂直的B对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量都为0。C电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生全反射。D对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合右手螺旋关系。

21、 6. 两个极化方向相互垂直的线极化波叠加，当振幅相等，相位差为或 时，将形成 ( B )A.线极化波； （0 ） B.圆极化波； C. 椭圆极化波 （其它） 7. 均匀平面波由一介质垂直入射到理想导体表面时，产生全反射，入射波与反射波叠加将形成驻波，其电场强度和磁场的波节位置(B )（见课本231面） A. 相同； B. 相差； C. 相差8.下面说法错误的是 ( D )A在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使电磁场以波的形式传播出去，即电磁波。B. 麦克斯韦方程组表明不仅电荷可以产生电场，而且随时间变化的磁场也可以产生电场。 C. 一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，

22、但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。 D. 电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生全透射。(反)9.下面说法错误的是 ( D )A. 在自由空间中， 均匀平面波等相位面的传播速度等于光速， 电磁波能量传播速度等于光速。B. 均匀平面波的电场和磁场除了与时间有关外， 对于空间的坐标， 仅与传播方向的坐标有关。 均匀平面波的等相位面和传播方向垂直。C. 所谓均匀平面波是指等相位面为平面，且在等相位面上各点的场强相等的电磁波。 D. 在导电媒质中，电磁波传播速度随振幅变化的现象称为色散现象。（频率）10. 对于载有时变电流的长直螺线管中的坡印廷矢量，下列陈述中，正确的是(

23、 C )A. 无论电流增大或减小， 都向内B. 无论电流增大或减小， 都向外C. 当电流增大，向内；当电流减小时，向外,电流增大或减小,使相反,也就相反,所以方向也相反二、计算题（共70分）1. (15分) 真空中存在一电磁场为：， ，其中，是波长。 求 ，各点的坡印廷矢量的瞬时值和平均值。解：(1) 和的瞬时矢量为 (因为) 瞬时坡印廷矢量为点瞬时坡印廷矢量 ，点瞬时坡印廷矢量 ，点瞬时坡印廷矢量 ，(2) 在点的平均坡印廷矢量 在点的平均坡印廷矢量 （） 2. (10分) 时变电磁场的电场强度和磁场强度分别为：, 。(1) 写出电场强度和磁场强度的复数表达式；(2) 证明其坡印廷矢量的平均

24、值为： 。解：(1)电场强度的复数表达式 （3分）电场强度的复数表达式 （2分）(2) 根据 得 （2分） （3分）或者积分计算（较复杂，要把时间标出积分） 3、(10分) 电场强度为伏米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？请说明其传播方向。并求：(1) 波阻抗； (2)相位常数； (3) 波长； (4) 相速； (5) 的大小和方向；(6) 坡印廷矢量。解：该波满足均匀平面波的形式，所以是均匀平面波。 其传播方向沿向。(1) 波阻抗 （3分）(2)相位常数(3) 波长 (4) 相速 (5) 的大小和方向 (6) 坡印廷矢量4. (15分) 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复

25、矢量为，求 (1) 平面波的传播方向； (2) 频率； (3) 波的极化方式； (4) 磁场强度； (5) 电磁波的平均坡印廷矢量。 解 (1) 平面波的传播方向为方向(2) 频率为 （因为） (3) 波的极化方式因为，故为左旋圆极化 (4) 磁场强度(5) 平均功率坡印廷矢量区域1 区域2图15(10分) 设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图1所示，该电磁波电场只有分量，即 ， (1)求出入射波磁场表达式；(2)画出区域1中反射波电、磁场的方向。解：由下列公式 ， ， ， ， ， ， ， （1）将代入得到 （2分） （2分） （1分）(2) 区域1中反射波电场方向为（3分）磁

26、场的方向为 （2分）区域1 区域2图26(10分) 设沿方向传播的均匀平面电磁波垂直入射到理想导体，如图2所示，该电磁波电场只有分量即， (1)求出反射波电场的表 达式；(2) 求出区域1 媒质的波阻抗。解：由下列公式 ， ， ， ， ， ， ， （1）将代入得到反射波电场 区域1中的总电场为 （2分）根据导体表面电场的切向分量等于零的边界条件得 ； （2分）因此，反射波电场的表达式为 （1分）(2) 媒质1的波阻抗 （3分）因而得 （2分） 7、矩形波导的横截面尺寸为, 将自由空间波长为,和的信号接入此波导, 哪些信号能传输？传输信号将出现哪些模式？ 答：当时信号能传输，矩形波导中各模式的截

27、止波长, , . 因此 的信号不能传输，的信号能够传输，工作在主模TE10，的信号能够传输，波导存在三种模式TE10，TE20，TE01. 常识性知识复习：(填空题)1在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为： 。2设线性各向同性的均匀媒质中，称为 拉普拉斯 方程。3时变电磁场中，数学表达式称为 坡应廷矢量（或 电磁能流密度矢量） 。4法拉第电磁感应定律的微分形式为 ()5矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为： 。6电磁波从一种媒质入射到理想 导体 表面时，电磁波将发生全反射。7静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 0 。8如果两个不等于零的矢

28、量的 点乘 等于零，则此两个矢量必然相互垂直。9对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合 右手螺旋 关系。10由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用 磁矢位A 函数的旋度来表示。11在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为，则电位移矢量和电场满足的方程为： 。12从场角度来讲，电流是电流密度矢量场的 （ 通量 ） 。 13电介质中的束缚电荷在外加 (电场) 作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为击穿。14在理想导体的表面，电场强度的 切向 分量等于零。15随时间变化的电磁场称为 (时变) 场。 16电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，

29、电磁波将发生 全反射 。17静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 0 。18如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 垂直 。19对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 0 。20由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 无散场 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。21在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生 电场 ，使电磁场以波的形式传播出去，即电磁波。22在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为 色散 。23电磁场在两种不同媒质分界面上满足的方程称为 边界条件 。24在无源区域中，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，使

30、电磁场以 （波） 的形式传播出去，即电磁波。 25电介质中的束缚电荷在外加电场作用下，完全脱离分子的内部束缚力时，我们把这种现象称为 击穿 。26从矢量场的整体而言，无散场的 （旋度 ） 不能处处为零。27如果一个矢量场的旋度等于零，则称此矢量场为 无旋场 。28电磁波的相速就是 等相位面 传播的速度。29 坡应廷定理 实际上就是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。30在导电媒质中，电磁波的传播 速度 随频率变化的现象称为色散。31一个标量场的性质，完全可以由它的 梯度 来表征。32由恒定电流所产生的磁场称为 恒定磁场 。33若电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹是圆，则波称为 圆极化波 。34如果两个不等于零的矢量相互平行，则它们的叉积必等于 0 。35对平面电磁波而言，其电场和磁场均 垂直 于传播方向。36亥姆霍兹定理告诉我们，研究任何一个矢量场应该从矢量的 散度和旋度 两个角度去研究。37如果一个矢量场的散度等于零，则称此矢量场为 无散场 。38所谓群速就是包络或者是 能量 传播的速度