2021年高考数学学霸纠错笔记：平面向量

1、忽略了零向量的特殊性给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等.向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反.两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同.零向量与任意数的乘积都为零.其中不正确命题的序号是 .【错解】【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性【试题解析】与是相反向量、模相等，正确；由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是.【参考答案】解决向量的概念问题应关

2、注六点：（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.（2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.（3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.（5）非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量.（6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.1下列说法正确的是A若与都是单位向量，则=B若=，则|=|且与的方向相同C若+=0，则|=|D若=0，则与是相反向量【答案

3、】C【解析】因为向量相等必须满足模相等且方向相同，所以A不正确;因为0的方向是任意的，当时，B不正确;因为，所以，所以，故C正确;因为，所以，与不是相反向量，故D不正确.所以选C.【名师点睛】本小题主要考查两个向量相等的充要条件，即大小和方向均相同.还考查了零向量的概念，零向量长度为零，方向任意.属于基础题.忽视平行四边形的多样性失误已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），求第四个顶点的坐标.【错解】设A（1，0），B（3，0），C（1，5），D（x，y），四边形ABCD为平行四边形，=，又=（4，0），=（1x，5y），解得x=3，y=5，第四个顶点的坐标为（3

4、，5）.【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.【试题解析】如图所示，设A（1，0），B（3，0），C（1，5），D（x，y）. 若四边形ABCD1为平行四边形，则=，而=（x1，y），=（2，5）.由=，得，D1（3，5）. 若四边形ACD 2B为平行四边形，则=.而=（4，0），=（x1，y5）.，D2（5，5）.若四边形ACBD3为平行四边形，则=.而=（x1，y），=（2，5），D3（1，5）.综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（3

5、，5）或（5，5）或（1，5）.1要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标2向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10.2已知为四边形所在的平面内的一点，且向量，满足等式，若点为的中点，则ABCD【答案】B【解析】向量，满足等式，即，则四边形为平行四边形，为的中点，为对角线与的交点，则，则，故选：B忽视两向量夹角的范围

6、已知向量（1）若为锐角，求的取值范围；（2）当时，求的值.【错解】（1）若为锐角，则且不同向.，.（2）由题意，可得，又，即，解得或.【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况；（2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出.【试题解析】（1）若为锐角，则且不同向.，.当时，同向,.即若为锐角，的取值范围是x|且.（2）由题意，可得，又，即，解得或.【参考答案】（1）x|且；（2）或.1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 2.两向量夹角的范围为0，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反

7、向时，其夹角为.3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围3已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为ABCD【答案】B【解析】若，则，解得.因为与的夹角为锐角，.又，由与的夹角为锐角，即，解得.又，所以.故选B.【名师点睛】本题主要考查由向量夹角为锐角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.三角形的“四心”的概念混淆不清 已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足，（0，），则点P的轨迹一定通过的A内心B外心C重心D垂心【错解】A【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关

8、系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.【试题解析】由原等式，得=，即=，根据平行四边形法则，知是的中线AD（D为BC的中点）所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过的重心，故选C.【参考答案】C三角形的“四心”与平面向量1. 重心. 若点G是的重心，则0或（其中P为平面内任意一点）.反之，若0，则点G是的重心.2. 垂心. 若H是的垂心，则或.反之，若，则点H是的垂心.3. 内心. 若点I是的内心，则有=0.反之，若=0，则点I是的内心.4. 外心. 若点O是的外心，则=0或.反之，若，则点O是的外心.4G是的重心，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若，则角A90 B60C45 D30【答

9、案】D【解析】因为G是的重心，所以有.又，所以abc111，设c，则有ab1，由余弦定理可得，cosA，所以A30，故选D.向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题一、平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念2向量的线性运算3共线向量定理及其应用向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得b=a.提醒限定a0的目的是保证实数的存在性和唯一性二、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e12e2.

10、其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.3.平面向量的坐标运算（1）向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2

11、x1，y2y1）.（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.（3）平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1y2x2y1=0.（4）向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.三、平面向量的数量积 1.平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积（或内

12、积），记作ab，即ab=|a|b|cos ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0a=0.（2）几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.平面向量数量积的运算律（1）ab=ba（交换律）.（2）ab=（ab）=a（b）（结合律）.（3）（ab）c=acbc（分配律）.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），为向量a，b的夹角.（1）数量积：ab=|a|b|cos =x1x2y1y2.（2）模：|a|=.（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离|AB|=.（4）夹角：cos = .（5）

13、已知两非零向量a与b，abab=0x1x2y1y2=0，abab=|a|b|.（6）|ab|a|b|（当且仅当ab时等号成立）|x1x2y1y2|.|a|=，|ab|=四、平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用若a=（x1，y1），b=（x2，y2），（1）aba=b（b0）x1y2x2y1=0.（2）abab=0x1x2+y1y2=0.（3）cos =.2.向量在三角函数中的应用向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题.3.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进

14、而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.4.向量在物理中的应用物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.1设是非零向量，则是成立的A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由可知：方向相同，表示方向上的单位向量，所以成立；反之不成立.故选B.【名师点睛】本题考查了向量相等、单位向量以及充分、必要条件的判断.判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想求解外，还可利用原命题和

15、逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题来解决2已知向量，且，则等于A1 B3 C4 D5【答案】D【解析】由向量，且，则，解得，所以，所以，所以.故答案为D.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.先根据已知求出x,y的值，再求出的坐标和的值.3【2019年高考全国I卷文数】已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为A BC D 【答案】B【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求

16、出夹角，注意向量夹角范围为4已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=AB2C5D50【答案】A【解析】由已知，所以，故选A.【名师点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错5设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与的夹角为锐角，所以，即，因为，所以|+|；当|+|成立时，|+|2|-|20，又因为点A，B，C不共线，所以与的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“

17、|+|”的充分必要条件,故选C【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断平面向量的模夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.6在矩形中，,若点，分别是，的中点，则A4B3C2D1【答案】C【解析】由题意作出图形，如图所示：由图及题意，可得：，.故选：C【名师点睛】本题主要考查基底向量的设立，以及向量数量积的运算，属基础题7如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则的值为 A B C D【答案】C【解析】，和共线，存在实数m，使，=.，解得故选C【名师点睛】本题考查向量的减法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理根据向量的减法运算及共线向量基本定理，可以用向量表示向量=，并根据

18、已知条件，这样即可建立关于的方程，解方程即可得到向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8已知向量满足，若与的夹角为，则m的值为A2 BC1 D【答案】A【解析】，

19、又，即，得或（舍去），故的值为2.故选A.【名师点睛】（1）本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题，由求得，结合与的夹角为，可得，从而可得结果.（2）平面向量数量积的公式有两种形式：一是；二是.（3）平面向量数量积的公式的主要应用有以下几个方面:求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；求投影，在上的投影是；若向量垂直，则;求向量的模（平方后需求）.9已知P是所在平面内一点，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是A B C D【答案】B【解析】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则，得：，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，所以点P到BC的距离等于A到BC的距

20、离的， 将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为.故选B.【名师点睛】本题给出点P满足的条件，求P点落在PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的中点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得本题的答案10在中，ABC=120，BA=2，BC=3，D，E是线段AC的三等分点，则BDBE的值为A659 B119 C419 D-139【答案】B【解析】因为D，E是线段AC的三等分点，所以BD=23BA+13BC, BE=13BA+23BC;

21、所以BDBE=(23BA+13BC)(13BA+23BC)=29BA2+29BC2+59BABC=89+2+5923cos120=89+2-159=119.故选B.11如图，在中，点D在BC边上，且CD=2DB，点E在AD边上，且AD=3AE，则用向量AB,AC表示CE为ACE=29AB+89AC B CE=29AB-89ACC CE=29AB+79AC D CE=29AB-79AC【答案】B【解析】由题意可得，CE=CA+AE=-AC+13AD=-AC+13AB+BD=-AC+13AB+13BD=-AC+13AB+19BC=-AC+13AB+19AC-19AB=29AB-89AC故选B12如

22、图，已知平面四边形ABCD，ABBC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记，则ABC D【答案】C【解析】因为，所以，故选C【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，进而得到13已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是ABC D【答

23、案】B【解析】如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，所以，所以，当时，所求的最小值为，故选B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决14在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为A3 B2C D2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设

24、,易得圆的半径，即圆C的方程是，若满足，则 ，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.15已知向量，则_.【答案】【解析】【名师点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键16在四边形中，点在线段的延长线上，且，则_【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，DAB=30，则，.因为，所

25、以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.【名师点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.17已知向量a=(cos(3+),1)，b=(1,4)，如果，那么cos(3-2)的值为_【答案】78【解析】由，得4cos(3+)-1=0，cos(3+)=14，故cos(3-2)=cos(2-3)=cos2(+3)-=-cos2(+3)=-2cos2(+3)-1=-2(14)2-1=78，故填78.18已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=_【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长，一夹角为60的菱形的对角线的长度，则为.【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案