空间向量的夹角

1、江苏运河中学 数学组,x,知识基础：平面向量的数量积公式、夹角公式，空 间向量的坐标表示,空间向量的数量积. 本节内容：空间向量的夹角公式，用空间向量求立 体几何中异面直线的夹角. 后续内容：向量在数学、物理上的综合运用,教材分析,教学目标,方法手段,教学程序,教学评价,用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算,地位作用,教学重点： 1)空间向量夹角公式及其坐标表示； 2)选择恰当方法求两异面直线的夹角,关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量 的坐标,将几何问题转化为代数问题,教学难点： 1)两条异面直线的夹角与两个空间向量的夹 角之间的区别； 2)构

2、建恰当的空间直角坐标系，并正确求出 点的坐标及向量的坐标,教材分析,教学目标,方法手段,教学程序,教学评价,重点难点,知识目标 : 掌握空间向量的夹角公式及其简单应用； 提高学生选择恰当的方法求异面直线夹角的技能,情感目标： 激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位； 感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情,能力目标： 培养学生观察分析、类比转化的能力； 体验从 “定性” 推理到“定量” 计算的转化，提高分析 问题、解决问题的能力,教材分析,教学目标,方法手段,教学程序,教学评价,教学方法：启发式讲解 互动式讨论 研究式探索 反馈式评价,教学手段：借助多媒体（几何画板、实物

3、投影、幻灯片等）辅助教学,教材分析,教学目标,方法手段,教学程序,教学评价,学习方法：自主探索 观察发现 类比猜想 合作交流,以问题为载体，学生活动为主线,探索、类比、猜想、发现并获得新知,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,学生活动-复习回顾,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,平面内两个向量的夹角公式,问题2：是否可以将上述夹角公式推广到空间?公式 的形式有什么变化,学生活动-类比推广,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,已知平面内两个非零向量,求下列两个向量夹角的余弦值 （1） ， （2）,学生活

4、动-及时巩固,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，求BE1与DF1所成角 的余弦值,例 题 讲 解,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,理 解 掌 握,巩 固 提 高,方法小结,几何法,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌 握,巩 固 提 高,向量法,质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？如何转化为本题的几何结论,本题的几何结论：异面直线BE1与DF1夹角的余 弦值为,方法小结,几何法,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌

5、 握,巩 固 提 高,小结评价,问题3：利用向量法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么,1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积； (3) 代入空间向量的夹角公式，求得其余 弦值； (4) 根据题意，转化为几何结论,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,方法小结,几何法,向量法,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,求对角线DB1与CM所成角的余弦值,题组练习一,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌 握,巩 固 提 高,问题4：如何放置几何体，可以构建恰当的空间 直

6、角坐标系,例2.如图，在几何体B1-A1BC1，已知E、F分别是A1B 和BC1的中点，求异面直线B1E与A1F的夹角,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌 握,巩 固 提 高,1.设点O(0,0,0)，A(0,1,1)，B(1,1,1)，C(0,0,1)异 面直线OA与BC夹角为，则的值为 （,A.60,B.120,D.240,C.-60,2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,请用恰当的方法求异面直线AC与BD1所成的角,必做题,题组练习二,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌 握,巩 固 提 高,选做题：沿

7、着正方体ABCD -A1B1C1D1对角面A1BCD1去截正方体,得到一个新的几何体D1CC1-A1BB1，E,F分别是A1D1,D1C1的中点，求异面直线BE与A1F所成的角,题组练习二,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,例 题 讲 解,理 解 掌 握,巩 固 提 高,鼓励学生选择不同的解题方法，培养 学生创新思维； 为学习能力不同的学生提供广阔的空 间； 体现学生的主体地位，发展学生的个性； 培养学生分工协作的能力，善于分析， 乐于探索的钻研精神,设计意图,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,值得注意的： 将求空间点的坐标转化为平面内点的坐标； 理解异面直线夹

8、角与空间向量夹角的区别； 选择恰当的方法求夹角，向量法并不是求 夹角的唯一途径，不是最佳途径,反馈评价,值得肯定的： 勇于思考、积极探索； 分工协作、合作交流,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,1）空间向量的夹角公式及其坐标表示; （2）异面直线的夹角与向量的夹角的区别; （3）恰当选择几何法或向量法求两条异面直线的夹 角. （4）掌握类比猜想的方法,将平面向量的夹角公式推 广到空间,将几何问题转化为代数问题,提高类比 转化的能力,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,感受理解：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与 D1N所成角的正弦值,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,思考运用：已知正三棱柱(地面为正三角形,侧棱与底面垂直) ABC-A1B1C1中，底面边长为2,求异面直线AB1与BC所成的角,探究拓展：利用向量法是否可以求直线与平面所成的角，二面角,点到平面的距离，两异面直线的距离等其它空间夹角或距离的问题,知识运用,小结作业,创设情境,建构数学,教学程序,教学中，以问题为载体，学生活动为主线; 将复杂的几何问题转化为代数问题,具有相当的优 越性,恰当选择,合理运用,通过学生参加活动是否积极主动,能否与他人合作 探索,对学生的学习过程评价; 通过学