人教版数学必修二平面解析几何初步

1、 平面解析几何初步 一、直线的倾斜角和斜率 、倾斜角的定义：直线向上的方向和x轴正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角。1 时斜率不存在，与x轴垂直。,180），为0时斜率为0，即与x轴平行； 为902、倾斜角的范围：直线倾斜角是0 , 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角？例题：已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率 二、直线的方程 1特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时： 90，互相平行；(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为 ，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直(2)当另一条直线的斜率为0时，

2、一条直线的倾斜角为90王新敞 2一般情况下斜率存在时两直线的平行与垂直：bkb?l/lk?212121且）a、两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，亦可证明。即：（1 = CAB111?llllll 0Ax?By?CCBA0C?Ax?By?221121的充要条件是：，的方程为 ：，、已知直线 b 222222111王新敞1?k?kkk2211 （2）a、两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是0?BBlllllAA?l0?Ax?By?C?0?Ax?By?C?2211212121 ，即：的一般式方程为：，和、已知直线b 111222

3、两条直线是否相交的判断30?CAx?By?111?0?CAx?By?是否有惟一解两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：222 王新敞点到直线距离公式：C?By?Ax00?d)P(x,y0l?:Ax?By?C22B?A00的距离为：到直线点 两平行线间的距离公式5lll0?By?CAx?121 ：的一般式方程为和已知两条平行线直线，1CC?21?dlll0?Ax?By?C22BA?221的距离为：，则与2 王新敞 6直线系方程)?CAx?Bylx?By?C?0ll(lA0?yx?B?CA1121111211与：，有交点，则过若两条直线交点的直线系方程为：222?0?y?C)x(

4、A?B?)?C(Ax?By?C)?0Ax?By111或222222为常数) +( 练习：04?2y?kx?2k1x?y?k_? 的取值范围是和的交点在第四象限，则例1 两条直线04?2y?x?1?26k?4k, ）得交点为解法一：解方程组(? 1?12k2k?1?2ky?kx? 此点在第四象限y 2k?411?0?,k? ?1?2k22P(-2,1)即 ?A(4,0)111?6kOx?.?k?0? Q261k?2?B11?k?C. ，故选 62 m5m?1)y(m?1)x?2m 例为什么实数，直线2 求证：不论都通过一定点?my?5?x?(2m1)?(m1)，证法三：（ mxxyy1）（25

5、mmmxxyy ，R的解集为5）12（的一元一次方程为任意实数，知关于由0?1?x?2y?xy ，解得9?0?5?x?y?5m?x?(2m?1)y?)(m?1，）所以直线都通过定点(9 王新敞xlyA (，），直线的方程为30，求：例4已知点2的坐标为lAA (1)点的对称点关于直线的坐标；?llA. 关于点的方程的对称直线(2)直线xyA. 解：(1)设点）的坐标为（，1kllllAAAAAA. 的斜率是因为点3与的中点在关于直线，所以对称，所以上，而直线，且 ?AA3?1y?4y4?,所以k 又因为 ?AA王新敞?3x?4x4?4?4x?4xy?4yx?,lyAA0 2)，所以再因为直线3

6、的方程为3220，的中点坐标是( 王新敞2222xyA ，6) 6.所以点的坐标为由和，解得(22王新敞?xllllyMc），对称的两直线(0与0.互相平行，于是可设在直线，的方程为3上任取一点2(2)关于点A?xlyMMMM 点在的中点为点其关于点A对称的点为A（上，且，由此得），于是?2yx?0x4?4,y6. ，即：， 22?lMM 点在上，）.于是有因为（，6?cc18 0，所以36（） 王新敞?xly 183故直线0 的方程为王新敞 三、直线的交点坐标与距离公式: 、直线方程的五种形式10?cax?by 一般式方程为 A x ；不能表示的直线为垂直于轴的直线 B 斜截式方程为b?y?

7、kx ；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线C 两点式方程为 x?y?yx11? x?yxy?1212 x；)k(xyxy 轴的直线 D 点斜式方程是不能表示的直线为垂直于00 yx. E 截距式方程为；不能表示的直线为垂直于坐标轴的直线和过原点的直线1? ba 其他： |p|为原点到直线的距离）；（其中为法线倾斜角，a法线式方程：xcos+ysin=p?cost?x?x?0?sint?y?y?）的有向线段的数量（线段的长x, y）到动点P（为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0b参数式：（其中0 方向向上则取正，否则取负）。度前添加正负号，若P0P 所成的ll与重合所转过的最小

8、正角叫l到l的角；绕它们的交点逆时针旋转到与2、到角与夹角：若直线l, l的斜率分别为k, k，将ll2222121111k?kk?k12120.=,tan 角中不超过90，则的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为tan k1?kkk1?2121例题：1.下列四个命题中真命题的序号是 . 经过定点P（x，y）的直线都可以用方程yyk（xx）表示 00000经过任意两个不同点P（x,y）,P(x,y)的直线都可以用方程（yy)(xx)(xx)(yy)表示 111212111222xy?1表示不经过原点的直线都可以用方程 ab 表示bkxy）的直线都可以用方程b，0（A经过定点 答案 0 xy5y

9、10，则直线PB的方程为 答案的方程为2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PAx 直线与方程第三章 一、选择题 ( )1下列直线中与直线x2y10平行的一条是0 x4y2y10 B2A2x0 4y1D10 2xC2x4y13 ( 与点B(m，1) 之间的距离等于)，则实数m2已知两点A(2，m) 1 D4或 B4 C1或4 A1 )N(a，4)的直线的斜率为1，则实数a的值为(3过点M(2，a)和2 D1或 B2 C1或4 A1 )By0，那么直线AxC0不经过的象限是( 4如果AB0，BC D第四象限第一象限 B第二象限 C第三象限A) (4，0)，且第三个顶点

10、在第四象限，则BC边所在的直线方程是( 5已知等边ABC的两个顶点A(0，0)，B33 (xy4Ay) x B33 Dy4)(x (x4) Cy2 )，则倾斜角与直线l的倾斜角互为补角的一条直线方程是( 6直线l：mxm1y0经过点P(2，1 0 2xy3 B Axy10 0 Dx2y4 Cxy30 轴的对称的点依次是( )7点P(1，2)关于x轴和y ，(1，2) ) B(1，2)，A(21)，(1，2 (2，1) D(1，2)，C(1，2)，(1，2) )0间的距离为3，则bc( l8已知两条平行直线l : 3x4y50，: 6xbyc2 1 48 12或 C36 DA12 B48 )(1

11、，2)，且与原点距离最大的直线方程是( 9过点P0 4 B2xyAx2y50 0 D3xy5yCx370 )必过定点( 1满足a2b，则直线ax3yb0，10ab11111111?， ， ， ? BCDA 22662626? 二、填空题 1，)，则实数a的值是_，1有相同的斜率，且A(，0)，B(2a)，C(aAC11已知直线AB与直线 k的取值范围是_已知直线12x2y2k0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数 0的距离为1，则a的值为_到直线aa13已知点(，2)(0)xy3 恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是20y14已知直线axa _22y x 60y5yx15已

12、知实数，满足x12，则的最小值等于_ 三、解答题3 ，且与坐标轴所围成的三角形的周长是求斜率为1216的直线方程 4 2，求直线l的方程AB| 3xy60截得的线段长| : 4117过点P(，2)的直线l被两平行线lx3y10与l: 42 1 22m1)y62m)x(2m0(mR) 18已知方程(m2m3(1)求该方程表示一条直线的条件； (2)当m为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； (3)已知方程表示的直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值； (4)若方程表示的直线l的倾斜角是45，求实数m的值 19ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是yx，BC边

13、上高线所在的直线方程是y2x1，试求顶点B的坐标 参考答案 一、选择题D 1 B中直线与已知直线重合0来判断，排除A，C，而解析：利用ABAB1212C 222213 m 1)(2 m) ( 解析：因为|AB|136m5，所以2m 或m1m4解得A 3a 4 解析：依条件有11，由此解得a 2 aB 4ACACx，依条件0：因为B0，所以直线方程为y，0即直线的斜率为正值，纵截距为负值，所以直线不过第二解析 BBBB 象限C 5，且倾斜角为 ABC是等边三角形，所以BC边所在的直线过点B解析：因为 33 4所以BC边所在的直线方程为y)(xC 62 0l即的方程为xy1l解析：由点P在上得2m

14、m10，所以m1 ，显然x满足要求0y3所以所求直线的斜率为1C 7 yx，)，)解析：因为点(x，y关于x轴和y轴的对称点依次是(xy)和( 1(，所以P(12)关于x轴和y轴的对称的点依次是1，2)和(，2)D 8 解析：将l : 3x0，x改写为68y104y501 8因为两条直线平行，所以b10 c3，解得c20或c40 所以b由c12或48 228 69A 解析：设原点为O，依条件只需求经过点P且与直线OP垂直的直线方程， 1，且过点P2，所以所求直线的斜率为 因为kOP 21(x1)，即x2y2所以满足条件的直线方程为y50 210B 解析：方法1：因为a2b1，所以a12b 所以

15、直线ax3yb0化为(12b)x3yb0 0)y3x(b)x21(整理得11所以当时上式恒成立 x，y 6211? ， ? 过定点0所以直线ax3yb 26?11? ? a330b3b方法2：由a2b1得a120进一步变形为 62?11 3axyb0当x时恒成立，y这说明直线方程 6211? ， ? yb过定点0所以直线ax3 26? 二、填空题51? 11 251?0 a 01 2由已知得 10 解得a解析：，所以 aa 21 2 1a 121k1且k01 1，其中k0(否则三角形不存在)解析：依条件得|2|2k2|k| 2 k1且k0解得12 1133 a 2 22 a)1(依条件有1解得

16、a舍去1解析：，2211 x14y2 ，所以直线恒过点(1，2)解析：已知直线变形为y2a(x1 )，即y2x(故所求的直线方程是y22x1 60 15 13 12y60， 解析：因为实数x，y满足5x22y x 12y60所以上点的距离x表示原点到直线522y x 的距离12y所以60的最小值表示原点到直线5x60606022y xd的最小值为即所求 容易计算 1313144 25 三、解答题3 ，bx16解：设所求直线的方程为y 4y ；，所以直线与0，得ybb)轴的交点为(0，令x44?，b 0 ?轴的交点为0y令，得x b，所以直线与x 33?2 44?2b bb?|由已知，得b12，

17、解得b3| 33?3 04y12故所求的直线方程是yx3，即3x 4 ，(x1)x1时，可验证不符合题意，故设l的方程为y2k17解：当直线l的方程为k 2 y kx ?8 5k 3k 7? ，? ；由解得A? 4 43k 3k 0 1 4x 3y ?k 2 y kx ?k0 13k 128? ，? 由解得B? 4k 3k 4306 3y 4x?22k55?22 ? ，所以因为|AB| 43k 3k 4?12 7或k70解得k整理得7k48k21 7故所求的直线方程为x7y150或7xy50 18解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 22m30，解得m1令m，m3； 12 ，m0，解得m令2m1m1 2所以方程表示一条直线的条件是mR，且m1 1时，方程表示的直线的斜率不存在， 易知，当m)由(1)(2 24x轴的直线 ，它表示一条垂直于此时的方程为x 32m 624m150 3，所以33()依题意，有m 2m 2m 355，由(1)知所求m 所以m3，或m 33(4)因为直线l的倾斜角是45o，所以斜率