构造全等三角形种常用方法

1、名师堂校区地址：南充 市顺庆区吉隆街咨询电话：2244028优学小班提分更快、针对更强、时效更高构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法 （“SSS”， “SAS”， “ASA ”，“ AAS ”，“HL”）中，至少有一组相等的边， 因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“ SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“ AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：ss（用 SSS

2、S |A（用 SAS）aS（用 SAS） （用 AAS或 ASA）搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角 形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了下面举例说明几种常见的构造方法,图（1）供同学们参考.1截长补短法例1.如图（1）已知：正方形 ABCD中，/ BAC的平分线交 BC于E,求证：AB+BE=AC .解法（一）（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC ,由已知 AEF AEC ,/ F= / ACE=45o, BF=BE , AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截长法或分割法 ）在AC上截取AG=AB，由已知

3、ABE AGE , EG=BE, / AGE= / ABE, v/ ACE=45o, CG=EG, AB+BE=AG+CG=AC2 .平行线法（或平移法）若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt ，有时可作出斜边的中线.例 2. ABC 中，/ BAC=60 , / C=40 AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ ABC 交 AC 于 Q,证明：如图（1）,过 O 作 OD / BC 交 AB 于 D, / ADO= / ABC求证：AB+BP=BQ+AQ=180 - 60 40 =80。，又V/ AQO= / C+ / QBC=80 / ADO= / AQO，又

4、 V/ DAO= / QAO , OA=AO , ADO AQO , OD=OQ , AD=AQ，又 v OD / BP, / PBO= / DOB，又 v/ PBO= / DBO，/ DBO= / DOB , BD=OD , AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ说明：本题也可以在 AB截取AD=AQ，连0D , 构造全等三角形，即“截长补短法”.本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： 如图（2）,过 0作0D / BC交AC于D,则厶ADO ABO来解决. 如图（3）,过0作DE / BC交AB于D,交AC于丘，则厶ADO AQO , ABO AEO来解决. 如图（4

5、）,过P作PD / BQ交AB的延长线于 D ,则厶APD APC来解决.如图（5）,过P作PD / BQ交AC于D, 则厶ABP ADP来解决.（本题作平行线的方法还很多，感兴趣的同学自己研究）.3 .旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。例3如图3所示，已知点E、F分别在正方形 ABCD的边BC 与CD上，并且 AF平分.EAD，求证：BE DF二AE。分析：本题要证的BE和DF不在同一条直线上，因而要设法将 它们“组合”到一起。可将 厶ADF绕点A旋转90到 ABG，则ADF也 ABG , BE = DF，从而将BE BG转化为线段GE , 再进一步

6、证明 GE =AE即可。证明略。4 倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。例4.如图（7） AD是厶ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF .求证：AC=BF图（证明：延长 AD至H使DH=AD，连BH , v BD=CD ,/ BDH= / ADC , DH=DA , BDH CDA , BH=CA / H= / DAC，又 v AE=EF , / DAC= / AFE, vZ AFE= / BFD , AFE=/ BFD= Z DAC= Z H , BF=BH - AC=BF .5、过手练习：（1）.已知：E是正方形 A

7、BCD的边长 AD上一点，BF平分Z EBC ,交CD 于 F ,求证 BE=AE+CF.（2）.如图, ABD和厶ACE是厶ABC外两个等腰直角三角形，/ BAD= / CAE=90. （1）判断CD与 BE有怎样的数量关系；（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与 DE的位置关系。6 翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质， 沿轴翻转图形来构造全等三角形. 例5.如图（8）已知：在厶 ABC中，/ A=45o, AD丄BC 若BD=3 DC=2求： ABC的面积.图（8）解：以AB为轴将 ABD翻转1800,得到与它全等 的厶ABE

8、，以AC为轴将 ADC翻转1800,得到 与它全等的 AFC , EB、FC延长线交于 G,易证 四边形AEGF是正方形，设它的边长为X,贝U BG2 2 2 =x 3, CG=x 2,在 Rt BGC 中，（x-3）+ （x-2）=5 1解得 x=6，则 AD=6，二 SA ABC=6=15.2且PB=4, PC=5,PA=3 ,图（6）例6.已知：如图（6）, P为等边三角形 ABC内一点, 求/ APB的度数.分析：直接求/ APB的度数，不易求，由 联想到构造直角三角形.略解：将厶BAP绕A点逆时针方向旋转贝忆 BAP ADC , DC=BP=4 , v AP=AD又 pc=5 , p

9、d2+dC=pc2 PDC 为 Rt , / PDC=90o./ APB= / ADC= / ADP+ / PDC=60 +90o=150o.1、平移法构造全等三角形例1 如图1所示，四边形 ABCD中，AC平分 DAB，若AB AD , DC二BC，求证:B D =180 。图1从而证得.B . D =180。主要方法是:证明：在AB上截取AE = AD，在:ADC与AEC中，A D= A EI上D A C二 / E A CA C= A C:ADC 也 AEC ( SAS)D = . AEC , DC = CE ,DC =BC ,CE =BC ,CEB = . B ,.CEB . AEC =

10、180 ,.B . D =180 .2、翻折法构造全等三角形例2 如图2所示，已知 AABC中，AC=BC , . ACB =90 , BD平分.ABC，求证:AB =BC CD 。证明： BD平分.ABC，将 BCD沿BD翻折后，点C落在AB上的点E，则有BE二CE ,图2在BCD与. BED中，B C= B EC B / E B DB D= B DBCD BED ( SAS)DEA ACB =90 ,CD =DE ,/ 已知 ABC 中，AC =BC , ACB =90 ,.A =45 ,.EDA A = 45 ,DE = EA ,AB =BE EA =BC CD 。4、延长法构造全等三角

11、形例4如图4所示，在 ABC中，三ACB =2eB ,.BAD =/DAC，求证：AB =AC CD。分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即 可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等 于另一条短线段。 本题可延长 AC至E，使AE =AB ，构造 ABD 也：AED，然后证明CE =CD，就可得 AB = AC CD。5、截取法构造全等三角形例5 如图5所示，在:ABC中，边BC上的高为 AD，又.B =2. C，求证：C AB BD 。分析：欲证明CD =AB BD，可以在CD上截取一线段等于 BD，

12、再证明另一线段等于 AB。如果截取DE二BD（如图所示），则.ADE可认为而 ADB沿AD翻折而来，从而只需证明CE二AE图5即可。证明略。除了上述的方法外，还可以根据题意和以图形中现有的边和角关系为基础构造全等的三角形。例6、已知/ BAC=90 , AB=AC , M是AC边的中点，AD丄BM交BC于D，交BM于E, 求证：/ AMB= / DMC先延长AD至F f使得CF丄低f得SjiABM=iDAC f再根据AB二AC r CF1AC f得出 AABMsziCAF f从而证出zBMA=zF f AM=CF F再根据所给的条件得岀公FCDsaMCD f即可 得出AMB = zF=xCMD

13、 ./AB丄AC , ADBM fArABM=DAC .在AAB阳与ACAF中,r zABM= DACAB=CAtBAXf= ACF/AABMsACAF ( ASA) /.-lBMA=zF ” AM=CF #在AFCD与AMCD中rm=CFAC, D、E 分另U在 AB、AC 上，且 BD=CE , / BCD= / CBE, BE、CD相交于O点，求/ BOC的度数.3.A ABC中，D是BC中点，DE丄DF , E在AB边上, 大小？ 4.已知：如图，在 AABC 中，/ A=90 AB=AC,Z 1 = / 2, 求证：BC=AB+AD .AD2（分别用截长法和补短法各证一次）5、已知：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC , / BAC=90 , / 1 = / 2,CE丄 BD 的延长线于 E.求证：BD=2CE