固体物理：复习

1、第一章 晶体的周期结构,1.基元、格点和晶格,在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元，基元是晶体结构中最小的重复单元，基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构,1)基元,2)格点,晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点,一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子,2.布拉维格子、简单晶格和复式晶格,1）布拉维点阵是由在空间排列和取向完全等同的一系列分立的格点在空间作无限的规则排列所构成的点阵,2)简单晶格和复式晶格(complex crystal lattice,简单晶格：如果晶体由完全相同的一种原子组成，且每个原子周围的

2、情况完全相同，则这种原子所组成的网格称为简单晶格,复式晶格：如果晶体由两种或两种以上原子组成，且同种原子各构成和格点相同的网格，称为子晶格，它们相对位移而形成复式晶格。复式晶格可看成是由若干个相同的简单晶格相对错位套构而成,1）原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元，整个晶格可看成是由无限多个原胞无间隙地紧密排列而成，或者说将原胞平移一切可能的格矢量便可得到整个晶格,3. 原胞、单胞的概念,2）在晶体学中，习惯用晶系基矢 构成的平行六面体作为周期性重复排列的最小单元，我们把这种晶体学中选取的单元称为单胞，也叫惯用单胞，也有叫晶胞的,3). 单胞和原胞的比较,1）简立方(simple cubic,

3、简称SC,单胞包含1个格点,原胞的体积与单胞体积相同,对于立方晶系可以分为以下几种情况(简单、体心、面心,4、简单格子,平均每个单胞包含4个格点,2）面心立方(face-centered cubic，简称 fcc,原胞的体积,3）体心立方(body-centered cubic,简称：bcc,平均每个单胞包含2个格点,原胞的体积,1）金刚石结构(diamond,简称：DIA,金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点， 8个原子,2）氯化钠结构,氯化钠结构属面心立方,每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点,3）氯化铯结构,氯化铯结构属简立方,每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点,1)

4、平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点,3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同,4)同一晶面族中相邻晶面间距相等,2)晶面上格点分布具有周期性,6. 晶面、米勒指数,1).晶面,布拉维格子的格点还可以看成是分布在一系列平行等距的平面族上，这样的平面称为晶面。描写晶面方位的一组数称为晶面指数,以单胞基矢 为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数,例2：如图所示 ，I和H分别为BC，EF之中点，试求晶面AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密勒指数,AEG ABCD DIHG,1,1,1,1,2,1,在三个坐标轴上的截距,2）以单胞基矢表示-密勒指数,设某一原子面在基矢 方向的截距为 ，

5、将系数r，s，t的倒数1/r，1/s，1/t化简成互质的整数h，k，l，用(hkl)表示晶面指数,1:1:1,hkl,111,001,120,AEG 的密勒指数是(111,OEFG的密勒指数是(001,DIHG的密勒指数是(120,7、倒格子,原胞的基矢为,由格矢量 决定的布拉维格子称为正格子,1）、定义三个矢量,倒格子基矢构成的空间称为倒格子空间,2）倒格子的重要性质（正倒格子间的关系,正、倒格子互为倒格子,面心立方正格子的倒格子基矢,体心立方正格子的倒格子基矢,面心立方的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方,； ； （从定义及矢量的性质中直接得出）如果 互相垂直, 则 分别平行于,

6、与晶面族（h1、h2、h3）正交,正格子基矢与倒格子基矢之间的关系,倒格子原胞体积,8、晶体的对称性,由于晶体周期性的限制，转角只能是,一个旋转对称操作(rotational symmetry operation)意味着将点阵绕着某个轴旋转某个角度 或- 以后，点阵保持不变,即：晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4和6重轴,1）旋转对称,一个镜反射对称操作(symmetry operation of mirror image) 意味着将点阵对应于某一个面进行反射，点阵保持不变,2）镜反射,3）中心反演，如对原点的反演，使 变为 的操作，用符号i表示，如(x,y,z) (-x,-y,-z,

7、9. 14种布拉维格子,根据不同的点对称性，将晶体分为7大晶系，对应7个简单格子；进一步考虑平移对称操作后，还有7种复式格子，所以共有14种布拉维晶格,第 二 章 晶体的结合,1、 晶体的分类,根据化学键(或结合力)的性质不同，晶体可分为5种类型，即：共价晶体、离子晶体、金属晶体、分子晶体和氢键晶体,相应的化学健分别为：共价键(covalent bond)、离子健(ionic bond)、金属键、分子键(molecular bond)(或范德瓦耳斯键(van der Waals)和氢键(hydrogen bond,结合力,共价键,典型的共价晶体,金刚石、硅、锗等晶体,元素周期表中第族、第族、第

8、族、第族元素都可以形成共价晶体,2、共价晶体,原子之间靠共价键结合而形成的晶体，称为共价晶体,3. 离子晶体的特征,在离子晶体中电子壳层饱和，电子云分布基本上是球对称的,离子晶体的特点要求离子的空间排列要正负相间，并不要求尽可能紧密的近邻排列，所以，离子晶体的配位数均小于密排结构的配位数12；一般最大为8,原子间最简单的作用力是离子键，它源于正电荷与负电荷之间的静电相互吸引,结合力,典型的共价晶体: NaCl,CsCl等,第族、第族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体,结合力：金属键（原子实与电子云之间的静电库仑力,金属原子在形成晶体时，各原子的价电子不再束缚于原来的原子上，而为所有原子实(正离子

9、)所共有，能在整个晶体中比较自由的运动。正离子和电子云之间的相互作用使整个金属结合在一起,4. 金属晶体的特征,5、分子晶体,具有稳固的电子结构的原子或分子，靠范德瓦尔斯力结合成的晶体。在晶体中它们基本上保持原来的电子结构,范德瓦尔斯力：分子偶极矩的静电吸引作用产生的力,1）极性分子永久偶极矩间的相互作用力称为范德瓦尔斯-葛生力,2）非极性分子被极性分子的电场极化而产生的诱导偶极矩与极性分子永久偶极矩间的相互作用力称为范德瓦尔斯-德拜力,3）非极性分子的瞬时偶极矩间相互作用力称为范德瓦尔斯-伦敦力,氢原子同时与两个负电性较大，而原子半径较小的原子(O、F、N等)结合，构成氢键(hydrogen

10、 bond,H与其中一个原子结合较强，具有共价键性质。可以靠静电作用同另一个负电性强的原子结合起来,6.氢键晶体,第三章 晶格振动和晶体的热学性质,1、 一维单原子链、声学支,1）.模型与振动方程,2).振动方程及其格波解,解得,q的取值由边界条件来定，采用波恩-卡门边条件可得,3). 声学支，长波极限,q趋于零的长波极限下，晶格可以看成弹性连续介质(虚线,这个结果可以这样理解，由于长波极限下，格波的波长远大于原子间距，晶格就像一个连续介质，在连续介质中传播的波为弹性波，其波速为声速，它是与波矢无关的常数，故单原子链中传播的长格波叫声学波,长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的

11、振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动,光学支名字的由来，是由于对于离子晶体来说，长波极限下，由于两种原子的振动方向相反，所以，这种振动类似于振荡电偶极矩，可以和同频率的电磁波相互作用，引起共振吸收。在实际的离子晶体中，会导致强烈的远红外吸收，即宏观极化,3). 光学支，长波极限,长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动,晶格振动频率数目,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数 mNp， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数 mp,设晶体有N个原胞,每个原胞有p个原子,m支声学波，m(p-1)

12、支光学波，这里m是晶体的维数，p是原胞中原子的数目,波矢可取的数目为倒格子原胞的体积乘以波矢密度,2、三维晶格的振动,例题：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模式数为多少,答,有6支格波，3支声学波，3支光学波,振动模式数(格波振动频率数目)为6N,晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数 mpN， 晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数 mp,格波(晶格振动)的能量量子-声子,由于晶格振动的能量是以 为单位量子化的，通常把该能量量子称为声子(phonon,注意,1.声子是晶格振动的能量量子，模的角频率为 的声子能量为 ，波

13、矢为q的声子“准动量”(或称晶体动量) 为,3、 声子,2.由于 相同的各声子之间不可区分且自旋为零，且对每个声子能级 ，声子的占据数没有限制，不受泡利不相容原理限制，粒子数也不守恒，所以声子是玻色型的准粒子(即玻色子(boson)，遵循玻色统计,4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以 为单位，若电子从晶格获得 能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格 能量，称为发射一个声子,5.声子与光子有很大的区别：光子是一种真实粒子，它可以在真空中存在。 声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。声子只是晶格中原子

14、集体运动的激发单元，固体中，把格波激发的量子称作元激发(elementary excitation)或准粒子(quasiparticle,晶格振动的波和声子正是固体中原子振动的波粒二象性的两个表示,4、 晶体比热的爱因斯坦模型,1)晶体中原子的振动是相互独立的； (2)所有原子都具有同一频率E,1).模型,设晶体由N个原子组成，因为每个原子可以沿三个方向振动，共有3N个频率为E的振动,2).计算,通常用爱因斯坦温度E代替频率E ，定义为kB E = E,爱因斯坦比热函数,3).高低温极限讨论,在高温下爱因斯坦比热理论与实验结果是一致的,2)低温时，当T E时,但CV比T3趋于零的速度更快。爱因

15、斯坦模型能定性的解释Cv在低温下随温度下降的实验事实，这是它比经典模型优越之处,原因二:按爱因斯坦温度的定义，爱因斯坦频率E大约为1013Hz，处于远红外光频区，相当于长光学波极限,具体计算表明，在甚低温度下，格波的频率很低，属于长声学波，也就是说，在甚低温度下，晶体的比热主要由长声学波决定。因此爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合,但在定量上，CV比T3趋于零的速度更快。是什么原因使爱因斯坦模型在低温时不能与实验相吻合呢,原因一:爱因斯坦模型过于简单，他将固体中各原子的振动看成相互独立的，因而3个振动频率是相同的。实际上原子振动会带动邻近的原子振动而使全体原子振动，采取格波形式，格波的频率并

16、不完全相同，而是有一个分布的,B. 晶体比热的德拜模型,1）.模型,1）晶体视为连续介质，格波视为弹性波,2）有一支纵波两支横波,3）晶格振动频率在 之间(D为德拜频率,按照德拜模型中格波视为弹性波的假设，则频率和波矢之间的色散关系应是线性关系，即： ，因而，对应的应是声学支，自然是一支纵波两支横波,德拜函数,2）.计算,令 ，并定义一个德拜温度 ，且,1)低温时,由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律称为德拜T3定律(DebyesT3-law)。温度越低，理论与实验吻合的越好。德拜T3定律与前面很低温度下得到的规律一样,3).高低温极限讨论,高温时与实验规律(杜隆-珀蒂定律)相

17、吻合,2)高温时,第四章 晶体的缺陷,点缺陷是由于热运动,晶体中以空位、间隙原子、杂质原子为中心，在一个或几个原子尺寸范围的微观区域内，晶格结构偏离严格周期性而形成的畸变区域。 点缺陷是晶体中最简单、最常见或者说一定存在的缺陷形式,一、点缺陷,1）肖特基（Schottky）缺陷,在一定温度，晶体中原子由于热涨落获得足够能量，离开格点位置，迁移至晶体表面，于是在晶体中出现不被原子占据的空格点，称为空位，如图a。这种晶体空位称为肖特基缺陷,1、点缺陷,如果晶体内部格点上的原子或离子移到晶格间隙位置形成间隙原子，同时在原来的格点位置上留下空位，那么晶体中将存在等浓度的晶格空位和填隙原子，如图b。这种

18、空位-间隙原子对称为弗仑克尔缺陷,2）弗仑克尔（Frenkel）缺陷,当杂质原子取代基质原子占据规则的格点位置时，形成替位式杂质，如图a；若杂质原子占据间隙位置，形成间隙式杂质，如图b,3）、杂质原子,4）、色心 色心是一种非化学计量比引起的空位缺陷。该空位能够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，因而称它们为色心。 1、F心（最简单的色心是F心） 所谓F心是离子晶体中的一个负离子空位束缚一个电子构成的点缺陷。形成过程是碱卤晶体在相应的过量碱金属蒸汽中加热，例如：NaCl晶体在Na蒸汽中加热后呈黄色；KCl晶体在K蒸汽中加热后呈紫色；LiF在Li蒸汽中加热后呈粉红色,2、V心,与F心相对的色心是

19、V心。当碱卤晶体在过量的卤素蒸汽中加热后，由于大量的卤素进入晶体，为保持电中性，在晶体中出现了正离子空位,形成负电中心。这种负电中心可以束缚一个带正电的“空穴”所组成的体系称为V心,位错是晶体结构中的一种缺陷，也可以说是原子排列的一种特殊组态。位错最简单、最基本的类型是“刃位错”和“螺位错,1、刃位错,一个处在滑移面ABCD中的刃形位错,图中ABEF是滑移区，其中原子的相对位移超过晶格常量的一半;FECD是未滑移区，其中原子的相对位移小于晶格常量的一半,2、 线缺陷位错,2、螺位错,滑移面的一部分ABEF沿平行于位错线EF的方向发生了滑移。一个螺形位错可以看作是诸晶格平面的一种螺旋形排布，使得

20、绕位错线环行一周就将移到另一个面上去,位错线的特征,1.滑移区与未滑移区的分界线； 2.位错线附近原子排列失去周期性； 3.位错线附近原子受应力作用强，能量高，位错不是热运动的结果； 4.位错线的几何形状可能很复杂，可能在体内形成闭合线，可能在晶体表面露头，不可能在体内中断,刃型位错的特点是位错线垂直于滑移矢量b； 螺型位错的特点是位错线平行于滑移矢量b。 b又称为伯格斯（Burgers）矢量，它的模等于滑移方向上的平衡原子间距，它的方向代表滑移方向,3、 面缺陷,一、堆垛层错,二、孪晶界面,三、 晶粒间界,第五章 周期场中的电子态,1. 布洛赫定理,对于周期性势场，即 其中 取布拉维格子的所

21、有格矢，则单电子薛定谔方程(波动方程,的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即,且,对 取布拉维格子的所有格矢成立,这就是布洛赫定理,2、 波矢k的取值与物理意义,只能取一些分立的值,是倒格矢,波矢,为整数,为使本征函数和本征值一一对应，即使电子的波矢与本征值 一一对应起来，必须把波矢 的取值限制在一个倒格子原胞区间内，通常取,例1：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为 , f为某一确定函数，试求电子在这些状态的波矢,解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点,令m-n=l,在简约布里渊区中，即,取,近自由电子近似一般也称为弱周期场近似

22、，由于周期场的周期性起伏很弱，因而可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由电子，因此叫近自由电子近似,模型：假定周期场起伏较小，而电子的平均动能比其势能的绝对值大得多。作为零级近似，用势能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作为微扰来处理,亦即：假设布洛赫电子的哈密顿,就是自由电子的哈密顿,代表周期性的弱晶格势,3、近自由电子近似,1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现能隙，在能隙范围内没有许可的电子态，称为禁带，禁带宽度为,2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带顶部是向下弯曲的抛物线,3)在k远离

23、n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近,结论,4) 在弱周期势的作用下，准连续的能级被能隙隔开，形成一系列的能带(允带,4、 能隙和布拉格反射,c)周期区图：在每一个布里渊区中周期性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的能量可以用和它相差Gh的波矢来描述,b)简约区图：将不同能带平移适当的倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在简约布里渊区内画出所有的能带,a)扩展区图：在不同的布里渊区画出不同的能带,5、能带的三种图示法,6、布里渊区,1）、布里渊区的定义和确定方法,A：选定其布拉维格子的基矢,B：计算相应的倒格子基矢 ，并且由 确定该晶格的倒格子,C：以任一倒格点为原点，做所有倒格矢 的垂直平分

24、面，这些平面将倒格子空间分割为许多区域,定义：被上述平面所包围的围绕原点的最小区域称为第一布里渊区，它实际上是倒格子空间的维格纳赛次原胞,在第一布里渊区外面，由若干块对称分布且不相连的较小区域分别组成第二、第三。布里渊区,从原点至第二布里渊区，只需跨过一个垂直平分面，而到达第n布里渊区则需跨过n1个垂直平分面,2）以二维正方格子为例,A：正格子的基矢为,B：相应倒格子基矢为,C：作原点o至其他倒格点连线的中垂线，它们将二维倒格子平面分割为许多区域，围绕原点的最小区域就是第一布里渊区，在第一布里渊区外面是第二、第三。布里渊区,思想,电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，而将其它原子（格点）势场的作用看作是微扰，将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系,7、紧束缚近似模型,1).从上面的讨论中可看出，在N个原子相距较远时，每个原子才有相同的原子能级 ，整个体系的单电子态是N重简并的,2). 当N个原子形成晶体时，由于最近邻原子波函数的交叠，N重简并解除，单原子的能级展宽成能带,主要结论,3).能带从原子能级演化而来，为区分能带，常用描述原子能级的量子数标记，如：3s,3p