机电控制工程基础：第四章根轨迹法2

1、4.3利用根轨迹分析系统的动态性能 The analysis of system dynamic performance using root locus,4.3.1用闭环零、极点表示的阶跃响应表达式,n阶系统的闭环传递函数可写成,式中 为闭环传递函数的零点， 为闭环传递函数的极点,设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则R(s)=1/s，代入上式得,如 无重极点，可将上式分解为部分分式,系统单位阶跃响应,系统响应与闭环零、极点密切相关,4.3.2闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 the qualitative relationship between Closed-loop zero

2、 and pole distribution and the step response,1、稳定性Stability 。如果闭环极点全部位于s左半平面，则系统一定是稳定的，即稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关,2、快速性Rapidity 。要提高系统的快速性，应使上述阶跃响应式（1）中的每一个分量 快速衰减，则闭环极点 应远离虚轴,一阶系统：first-order system: 闭环特征方程为 闭环特征根为实根， ，位于s平面左侧。 系统阶跃响应为 快速性能指标公式,可以看出，为提高快速性，减小调整时间 ，应使时间常数T小一些，即特征根（或称闭环极点）的绝对值 要大一些，亦即

3、 应远离虚轴。如此将使响应中的指数项衰减加快,二阶系统： Second-order system 闭环特征方程为 闭环特征根在欠阻尼 情况下为复根， ，位于 平面左侧， 系统阶跃响应式为 后一分量呈振荡衰减变化。 而快速性指标估算式,可以看出，为提高快速性，减小调整时间 ，应加大 ，即特征根实部的绝对值要大一些，亦即 应远离虚轴，如此将使响应中的指数振荡加速衰减,3、平稳性Stationarity。要提高系统的平稳性减小响应的超调，应使闭环极点 靠近实轴，复数极点最好设置在最佳阻尼线（即 平面中与负实轴成 的夹角线）附近,4、要求动态过程尽快结束，则式（1）中的系数 应小一些， 小，暂态分量就

4、小,故应使分母大、分子小。从而看出，闭环极点 应远离原点，且极点之间的距离 要大，即要拉开一些，分布要松散。另外，零点 应靠近极点,5、偶极子及主导极点。Dipole and Dominant pole,一对靠得很近的闭环零、极点，常称之为偶极子(Dipole),构成偶极子的闭环极点响应分量 的数值很小， 中的分量可忽略不计,系统分析中，某极点与零点之间的距离较其自身的模值小一个数量级，便可看作是偶极子。 离虚轴最近的（且其附近没有零点的）闭环极点，对系统响应影响最大，称之为主导极点(Dominant pole)，这可能是实数极点，也可能复数极点,4.3.3利用主导极点估算系统性能指标 Est

5、imate of system performance using the dominant pole,例：1,解：闭环有三个极点，分别为,零、极点分布如图所示,由图看出，极点S1 距离虚轴最近，故为主导极点,而极点S2,3 可略而不计，故系统可近似看作一阶系统，即,则由时域分析法可知，响应按指数规律变化，且,或表示为,系统阶跃响应为指数振荡型,例：设控制系统如图所示，试概略绘， ，时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。若取 ，试求出 时的闭环零、极点，并估算系统的动态性能,解：开环传递函数为,当 时,1）n=2，有2条根轨迹分支，n-m=1条趋于无穷远,2）实轴根轨迹,3）分离点Separation

6、 point,解得,两个分离点对应的开环增益分别为,当 ， 时系统单位阶跃响应为单调； 当 时，系统单位阶跃响应为振荡衰减,当 ， 时，可得闭环特征方程,得闭环极点,无闭环零点,得,解得,故,Sd1=-1.17,K1=0.686,Sd2=-6.83, K2=23.4,系统闭环响应分析,1）0K 0.686时，闭环有两个负实数极点，系统阶跃响应呈非周期性,2）0.686K23.4时，闭环有一对共轭复数极点，阶跃响应呈振荡衰减性,3）23.4K时，闭环两个极点又为负实数，阶跃响应呈非周期性，但由于极点远离虚轴，而K增加后出现一对偶极子，故响应快速性大大提高；当然，K过大会降低系统对输入端噪声抑制,

7、例 某负反馈系统的开环传递函数 试作系统K* (由0)变动的闭环根轨迹，并进行动态分析,解,开环极点：p1=0，p2=1， 开环零点: z1=-1,3) 实轴上根轨迹区段(0,1)，(-,-1,4) 渐近线,解得: sd1=0.46, sd2=-0.79+j2.16, sd3=-0.79-j2.16, sd4=-2.22, 其中，sd1和sd4为根轨迹上的分离点,5) 分离点坐标sd,6) 实轴上的分离角与会合角： 90和0、180,7) 起始角,8) 与虚轴交点坐标及临界增益,系统闭环特征方程为,展开，整理得,令s=j，则有,解之,由图看出，当K*在23.335.7范围内，根轨迹位于s平面左

8、侧，闭环系统是稳定的。 K*在其他范围内取值，系统均不稳定,Example 4-11 Sys=tf(1 1,1 3 12 -16 0); rlocus(Sys); r,k=rlocus(Sys,4.4 广义根轨迹 Generalized root locus,4.4.1 广义根轨迹定义The definition of the generalized root locus,在控制系统中，除根轨迹增益 外，其他情况的根轨迹称为广义根轨迹Generalized root locus 。将负反馈系统中 变化时的根轨迹称为常规根轨迹Conventional root locus 。以非开环增益为可变参

9、数绘制的根轨迹称为广义参数根轨迹Generalized parameters root locus,4.4.2广义参数根轨迹的绘制 the mapping of Generalized parameters root locus,对闭环特征方程 进行等效变换，化为,得等效开环传递函数为,其中，A为不含 的系统任意变化的参数，而 和 为两个与A无关的多项式,例：系统的开环传递函数为 绘制以a为参变量的参数根轨迹，并讨论a值对系统稳定性的影响,解：作参数根轨迹的关键是引入等效传递函数 ，在等效传递函数中将参变量置于常规轨迹所对应的开环传递函数 的根轨迹增益位置上,系统的特征方程为,可改写为,即参变

10、量a所对应的等效传递函数为,根据等效传递函数，按照绘制常规根轨迹的方法，就可绘制参变量a的参数根轨迹,1、开环极点为,2、实轴上的根轨迹 ， 0,3、渐近线,4、无分离点,5、复极点 的初始角,由图可知，当 时系统是稳定的，当 时系统将有两个闭环极点位于 右半平面，系统不稳定,例：如图所示，试绘制以 为可变参数时，系统的根轨迹，并由根轨迹图回答下述问题 （1）确定系统临界稳定时的 值及在系统稳定范围内 的取值范围。 （2）确定系统阶跃响应无超调时 的取值范围。 （3）确定系统阶跃有超调时 的取值范围。 （4）系统出现等幅振荡时的振荡频率,解：系统的开环传递函数为,绘制根轨迹,1）等效开环传递函

11、数有3个开环极点： ， ，系统有3条根轨迹，均趋于无穷远处,2）实轴上的根轨迹,3）渐近线,5）与虚轴的交点：将 带入闭环特征方程式中得,则有,解得,系统根轨迹如图所示,从根轨迹图中可知,1）临界稳定 Critical Stabilizing ； 稳定系统应取,2）临界阻尼 Critical Damping 所以系统阶跃响应无超 调时,3） 时有超调,4）等幅振荡,例 已知系统 试作从0 变化的闭环根轨迹,解：特征方程,构造新系统,开环传递函数,根据* ： 0 ，作出根轨迹图,新系统的开环零、极点,z1 = 0 不是原系统的闭环零点，因此“等效”的含义仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点一

12、般是不同的,例 已知系统的开环传递函数 试作 K, 变化的广义根轨迹族,解：特征方程,1) 当 = 0 时,构造一个新系统,绘制K： 0 变化时的根轨迹,分离点sd： 解得,开环零、极点：p1= 0，p2= -1，p3= -2,三条，都趋于无穷远,实轴上 (-1, 0), (-, -2,渐近线,与虚轴交点,0.42,2) 再作 0 时的根轨迹,构造一个以参数 为开环增益的系统,其起点都在 = 0 时，K 变化的根轨迹上,取 K = 20，此时的开环传递函数为,开环零、极点： z1 = 0 ; p1= -3.8371，p2,3= 0.4186 j2.2443,广义根轨迹渐近线与实轴的交点,取K = 3，6，9等值： 开环零、极点： z1 = 0 ; p1= -2.6717，p2,3= -0.1642 j1.0469 开环零、极点： z1 = 0 ; p1= -3，p2,3= j1.4142 开环零、极点： z1 = 0 ; p1= -3.24，p2,3= 0.12 j1.6623,开环极点： 闭环极点： 渐近线与实轴交点坐标,起始角的计算,与虚轴交点,根据公式求出根轨迹与虚轴交点的坐标，具体求解过程省略,K=20的根轨迹图,K=3的根轨迹图,K=6的根轨迹图,K=9的根轨迹图,0.42,K, 变化的根轨迹族,4-5 用Matlab绘制根