§1-2条件分布与条件数学期望

1、整理ppt,1,1-2 条件分布与条件数学期望,一条件分布 二条件数学期望,整理ppt,2,一条 件 分 布,整理ppt,3,设 pij = P X = xi , Y = yj （ i, j = 1, 2, ）是二维离散型随机向量(X，Y )的联合分布律， 则在事件 Y = yj 已发生的条件下，事件 X = xi 发生的条件概率 P X = xi | Y = yj （ i = 1, 2, ） 称为在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律,条件分布律的 定义,在事件 X = xi 已发生的条件下，事件Y = yj 发生的条件概率 P Y = yj | X = xi （ j = 1,

2、 2, ） 称为在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律,X，Y )为二维离散型随机向量,整理ppt,4,在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布律,条件分布律的 计算公式,在 X = xi 的条件下随机变量 Y 的条件分布律,X，Y )为二维离散型随机向量,整理ppt,5,2）条件分布律由联合分布律确定,3）联合分布律由边际分布律 和条件分布律共同确定,1）条件分布律计算公式成立的条件,注 记,X，Y )为二维离散型随机向量,4）离散型随机变量X、Y 相互独立的充要条件,整理ppt,6,例题 1,X,Y,1,2,3,4,2,3,4,P X = m , Y = n,P 共

3、射击 n 次，其中第 m , n 次击中目标， 其余 n-2 次不击中目标,p2 (1-p) n-2,m n,0,0,0,0,0,0,一战士进行射击，击中目标的概率为 p（0 p 1），射击到击中目标两次为止，设 X 以表示首次击中目标所进行的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和Y 的联合分布律及条件分布律,p2,p2 (1-p,p2 (1-p,p2 (1-p) 2,p2 (1-p) 2,p2 (1-p) 2,X，Y )为二维离散型随机向量,整理ppt,7,在 Y = yj 的条件下随机变量 X 的条件分布函数,条件分布函数的 计算公式,在 X = xi 的条件下随机变量 Y

4、的条件分布函数,X，Y )为二维离散型随机向量,整理ppt,8,设 F ( x, y ) 是二维随机向量 (X，Y )的联合分布函数,条件分布函数的 定义,X，Y )为二维连续型随机向量,给定 y ，设对于任意固定的正数 ，P y Y 0， 且若对于任意实数 x ，极限,存在，则称此极限为在 Y = y 的条件下 X 的条件分布函数， 记为,整理ppt,9,条件分布函数的 计算公式,X，Y )为二维连续型随机向量,若对于固定的 x ， f X ( x ) 0，则,设 f ( x，y ) 是二维连续型随机向量(X，Y )的联合概率密度,若对于固定的 y ， fY ( y ) 0，则,整理ppt,

5、10,在 Y = y 的条件下 X 的条件概率密度,条件概率密度的 计算公式,在 X = x 的条件下 Y 的条件概率密度,X，Y )为二维连续型随机向量,整理ppt,11,2）条件概率密度由联合概率密度确定,3）联合概率密度由边缘概率密度 和条件概率密度共同确定,1）条件概率密度计算公式成立的条件,X，Y )为二维连续型随机向量,注 记,4）连续型随机变量X、Y 相互独立的充要条件,整理ppt,12,例 题 2,0,1,1,y = x,y,G,设二维连续型随机变量( X , Y) 的联合概率密度函数为， 求 fXY ( x | y ) ，0 y 1,X，Y )为二维连续型随机向量,整理ppt

6、,13,条件分布函数的定义,X，Y )为一般二维随机向量,条件分布函数的 计算公式,整理ppt,14,重要结论,X，Y )为一般二维随机向量,如果 X，Y 相互独立，则 F Y | X ( y | x )= F Y ( y,证明,如果 X，Y 相互独立，则 F (x, y )= FX (x) FY ( y,进而,整理ppt,15,二条 件 数 学 期 望,整理ppt,16,如果 R-S 积分 绝对收敛，则称它为 X 在 Y = y 的条件下的条件数学期望，记为,条件数学期望的 定义,整理ppt,17,条件数学期望的 计算公式,整理ppt,18,条件数学期望的性质,1）当 X 、Y 相互独立时，

7、 E ( Y | X ) = E ( Y,2）E ( c | X ) = c （c为常数,3）E ( g ( X ) | X ) = g ( X,4）E ( a Y + b Z | X ) = a E ( Y | X ) + b E ( Z | X,整理ppt,19,5 ) 全数学期望公式 E E ( Y | X ) = E ( Y,全数学期望公式的证明,假设(X，Y )为二维连续型随机向量，得,条件数学期望的性质,整理ppt,20,条件数学期望的性质,6）E ( g ( X ) Y | X ) = g ( X ) E ( Y | X,7）E Y - E ( Y | X )2 E Y g ( X )2,整理ppt,21,一个工人看管分布在一直线上的 n 台同类型机床，相邻两台机床之间相距 a，假设每台机床需调整的概率为 1/n，求工人两次调整机床之间所走路程的数学期望,例题 3,设Y ：工人两次调整机床之间所走路程,E ( Y ) = E E ( Y | X ),X ：第一次调整的机床号码,E ( Y | X = i,(i -1)a .1/n+(i -2)a .1/n + + a .1/n +a .1/n+ 2a .1/n + + (n- i ) a .1/n,a 2 i 2 - 2(n+1)