一元二次不等式与简单的线性规划问题

1、1,二元一次不等式表示平面区域,1,一般地，二元一次不等式,Ax,By,C,0,在平面,直角坐标系中表示直线,Ax,By,C,0,某一侧的所有点,不含,边界直线,组成的平面区域,半平面,_,含,不等式,Ax,By,C,0,所表示的平面区域,半平面,_,边界直线,2,对于直线,Ax,By,C,0,同一侧的所有点,x,y,使得,Ax,By,C,的值符号相同，也就是位于同一半平面,的点，其坐标适合,Ax,By,C,0,而位于另一个半平,Ax,By,C,0,面内的点，其坐标适合,_,3,可在直线,Ax,By,C,0,的某一侧任取一点，一般,符号,来判断,Ax,By,取特殊点,x,0,y,0,从,Ax,

2、0,By,0,C,的,_,C,0,或,Ax,By,C,0,所表示的区域,4,由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的,_,公共部分,2,线性规划的有关概念,3,线性规划问题一般用图解法，其步骤如下,1,根据题意，设出变量,x,y,2,找出线性约束条件,3,确定目标函数,z,f,x,y,4,画出由不等式,组,确定的可行域,5,作出,f,x,y,t,的图象，在可行域内找出使,t,取最大,值或最小值的位置，确定最优解，给出答案,是,1,不等式,x,2,y,2,0,所表示的平面区域,阴影部分,解析,因,x,2,y,2,x,y,x,y,0,故选,C,答案,C,2,不等式

3、,x,3,y,1,0,表示的平面区域在直线,x,3,y,1,0,的,A,右上方,B,右下方,C,左下方,D,左上方,解析,把原点,0,0,代入不等式，不等式成立，结合图,形知选,C,答案,C,x,y,1,0,3,下面给出的四个点中，位于,x,y,1,0,表示的,平面区域内的点是,A,0,2,B,2,0,C,0,2,D,2,0,解析,把备选项逐个代入检验,答案,C,4,原点,0,0,和,1,1,在直线,x,y,a,0,的两侧，则,a,的,取值范围是,_,解析,由题知,a,1,1,a,0,故,0,a,2,答案,0,a,2,1,在确定平面区域时，一般考虑取,0,0,或,1,0,点,代入判定,2,对线

4、性目标函数,z,Ax,By,中,B,的符号一定要注,意,当,B,0,时，直线过可行域且在,y,轴上截距最大时,z,值最大，在,y,轴上截距最小时,z,值最小；当,B,0,时，直,线过可行域且在,y,轴上截距最大时,z,值最小，在,y,轴上,截距最小时,z,值最大,3,解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所,以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范求最优解时,若没有特殊要求，一般为边界交点,4,常见代数式的几何意义,1,x,y,表,示,点,x,y,与,原,点,0,0,的,距,离,x,a,y,b,表示点,x,y,与,a,b,的距离,y,b,y,2,x,表示点,x,y,与原点,0,0,连线的斜率,

5、表示,x,a,点,x,y,与点,a,b,连线的斜率,2,2,2,2,即时巩固详解为教师用书独有,考点一,二元一次不等式组表示平面区域,x,4,y,3,0,案例,1,不等式组,3,x,5,y,25,x,1,所表示的,平面区域图形是,A,第二象限内的三角形,B,四边形,C,第一象限内的三角形,D,不确定,关键提示,严格按步骤作图，取点验证区域,解析,x,4,y,3,0,表示的区域为直线,x,4,y,3,0,及,左上方部分的区域,3,x,5,y,25,表示的区域为直线,3,x,5,y,25,0,及左下方的平面区域,x,1,表示,x,1,及右侧部分,的平面区域，故不等式组表示的平面区域为第一象限内的,

6、三角形如图所示，选,C,答案,C,即时巩固,1,若点,P,m,3,到直线,4,x,3,y,1,0,的,距离为,4,且点,P,在不等式,2,x,y,3,表示的平面区域内，则,m,_,4,m,9,1,4,5,解析,由题意可得,解得,m,3,2,m,33,答案,3,考点二,应用线性规划求最值,案,例,2,2009,海,南,宁,夏,设,x,y,满,足,2,x,y,4,x,y,1,则,z,x,y,x,2,y,2,A,有最小值,2,最大值,3,B,有最小值,2,无最大值,C,有最大值,3,无最小值,D,既无最小值，也无最大值,关键提示,注意比较目标函数的斜率与约束条件的斜,率大小,解析,由图象可知,z,x

7、,y,在点,A,处取最小值,z,min,2,无最大值,答案,B,x,y,3,0,即时巩固,2,已知实数,x,y,满足,x,y,1,0,x,2,1,求,z,2,x,y,的最大值,y,2,求,z,x,的最大值,解,1,如图可得,A,1,2,B,2,1,M,2,3,当直线过点,B,2,1,时,y,2,x,z,的纵截距最小,此时,z,max,2,2,1,3,1,2,如图,k,OA,2,k,OB,2,1,y,所以,x,2,z,的最大值为,2,2,考点三,简单线性规划的实际应用,2,x,y,0,案例,3,若实数,x,y,满足,y,x,y,x,b,且,z,2,x,y,的最小值为,3,则实数,b,的值为,_,

8、关键提示,把,b,视为已知量，确定可行域，平移直线,确定最优解对应的顶点,2,x,y,0,解析,在坐标平面内画出不等式组,y,x,y,x,b,表示,的大致平面区域，在坐标平面内平移直线,2,x,y,0,注意,到当直线平移到经过直线,2,x,y,0,与,y,x,b,的交点,时,目标函数,z,2,x,y,取得最小值,再结合,z,2,x,y,的最,9,小值为,3,分析确定,b,4,9,答案,4,x,0,即时巩固,3,若不等式组,x,3,y,4,3,x,y,4,所表示的,4,平面区域被直线,y,kx,分为面积相等的两部分，则,k,的,3,值是,7,3,A,B,3,7,4,3,C,D,3,4,解析,由图

9、可知,线性规划区域为,ABC,边界及内部,4,4,4,y,kx,恰过,A,0,y,kx,将区域平均分成面积相等,3,3,3,1,5,5,1,4,7,的两部分，故过,BC,的中点,D,k,k,2,2,2,2,3,3,答案,A,考点四,简单线性规划的实际应用,案例,4,2010,广东,某营养师要为某个儿童预订,午餐和晚餐已知一个单位的午餐含,12,个单位的碳水化合,物,6,个单位的蛋白质和,6,个单位的维生素,C,一个单位的,晚餐含,8,个单位的碳水化合物,6,个单位的蛋白质和,10,个单,位的维生素,6,个单位的蛋白质和,10,个单位的维生素,C,另,外，该儿童这两餐需要的营养中至少含,64,个

10、单位的碳水化,合物,42,个单位的蛋白质和,54,个单位的维生素,C,如果一个,单位的午餐、晚餐的费用分别是,2.5,元和,4,元那么要满足,上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订,多少个单位的午餐和晚餐,关键提示,确定两个变量，找出约束条件，构造目标,函数；注意实际问题的限制,解,设为该儿童分别预订,x,个单位的午餐和,y,个单位的,晚餐，设费用为,F,则,F,2.5,x,4,y,12,x,8,y,64,6,x,6,y,42,由题意知,6,x,10,y,54,x,0,y,0,画出可行域如图所示,将目标函数,F,2.5,x,4,y,转化为直线的截距式方程,y,5,F,x,当目标函数

11、过点,A,即直线,6,x,6,y,42,与,6,x,8,4,10,y,54,的交点,4,3,F,取得最小值,即要满足营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分,别预订,4,个单位的午餐和,3,个单位的晚餐,即时巩固,4,2010,四川,某加工厂用某原料由甲,车间加工出,A,产品，由乙车间加工出,B,产品甲车间加工,一箱原料需耗费工时,10,小时可加工出,7,千克,A,产品，每千,克,A,产品获利,40,元乙车间加工一箱原料需耗费工时,6,小,时可加工出,4,千克,B,产品，每千克,B,产品获利,50,元甲、乙,两车间每天共能完成至多,70,箱原料的加工，每天甲、乙车,间耗费工时总和不得超过,480,小时，甲、乙两车间每天总,获利最大的生产计划为,A,甲车间加工原料,10,箱，乙车间加工原料,60,箱,B,甲车间加工原料,15,箱，乙车间加工原料,55,箱