运筹学09-目标规划.ppt

1、第九章 目标规划 Goal Programming,9.1 目标规划模型 9.2 目标规划的几何意义与图解法,在科学研究、经济建设和生产实践中，人们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题，我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多目标规划叫目标规划(goal programming)，这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式,9.1 目标规划模型,1) 问题提出 为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路, 我们首先举一个简单的例子来说明. 例 1 某公司分

2、厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6小时根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标,首先，产量不能超过市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍 试建立这个问题的数学模型 讨论： 若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型,设决策

3、变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 60 x1 9 x2 8 x1 , x2 0 容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有多种. 在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标是不可能的,2) 目标规划模型的基本概念 把例1的4个目标表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量. 那么, 第一个目标为: x1 9 ，x2 8

4、； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成不等式需要找到一个目标下界，这里可以估计为252（=129 + 188），于是有 12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8,下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念 （1）正、负偏差变量d +，d - 我们用正偏差变量d + 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d - 表示决策值不足目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又末达到目标值，故恒有 d + d - 0 （2）绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目标约束,绝对约束 指必须严格满足

5、的等式约束和不等式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。设例1 中生产A，B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其它渠道予以补充，则构成绝对约束。 目标约束 目标规划特有的，我们可以把约束右端项看作要努力追求的目标值，但允许发生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差变量来表示，于是称它们是软约束,对于例1, 我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 (1) x2 + d2- -d2+ = 8 (2) 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (3) 12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (4,3) 优

6、先因子与权系数 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,fL, 决策者在要求达到这些目标时，一般有主次之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i = 1,2,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为f1,f2,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2、，并规定 Pi Pi+1，i = 1,2,L-1. 即在计算过程中, 首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时，可分别赋于它们不同的权系数wj 。优先因子及权系数的值，均由决策者按具体情况来确定,4）目标规划

7、的目标函效 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的 决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小： Min f f （d +，d -) 其基本形式有三种,要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。 这时取 Min （d + + d - )； 要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。 这时取 Min （d + )； 要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。 这时取 Min （d -,对于例 1, 我们根据决策者的考虑知 第一优先级要求 Min（d1+

8、 + d2+ )； 第二优先级要求 Min（d3+ )； 第三优先级要求 Min（d4- )； 第四优先级要求 Min（d1- + 2d2- )， 这里, 当不能满足市场需求时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数,综合上述分析，可得到下列目标规划模型 Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4

9、- -d4+ = 252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4,3) 目标规划模型的一般形式,式中的第二行是L个目标约束，第三行是m个绝对约束，clj 和gl 是目标参数,例2 甲 乙 有效工时 金工 4 2 400 装配 2 4 500 收益 100 80 LP： Max Z=100X1 + 80X2 2X1+4X2 500 s.t 4X1+2X2 400 X* =(50,100) X1 , X2 0 Z* =13000,目标：去年总收益9000，增长要求11.1% 即：今年希望总收益不低于10000 引入 d+：决策超过目标值部分(正偏差变量) d-：决策不

10、足目标值部分(负偏差变量) 目标约束： 100X1+80X2 -d+d- =10000 d+d- =0 d+,d- 0,例3 资源拥有量 原材料(公斤) 2 1 11 设备(小时) 1 2 10 利润(千元/件) 8 10 原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制 市场情况，产品销售量下降，产品的产量不大于产品的产量 充分利用设备，不希望加班 尽可能达到并超过利润计划指标56千元,建模： 设定约束条件。(目标约束、绝对约束) 规定目标约束优先级 建立模型 设X1 ，X2为产品，产品产量,d1- : X1产量不足X2 部分 d1+ : X1产量超过X2 部分 d2- : 设备使用不足10

11、 部分 d2+ :设备使用超过10 部分 d3- : 利润不足56 部分 d3+ :利润超过56 部分,或 Min Z1 = d1+ Min Z2 = d2- +d2+ Min Z3 = d3,Min Z=p1d1+p2(d2-+d2+)+p3(d3,对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解通过图解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、负偏差变量及权系数等的几何意义。 下面用图解法来求解例1 我们先在平面直角坐标系的第一象限内，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3，4。图中x，y分别表示问题的x1和x2；各直线移动使之函数值变大、变小的方向用 +、- 表示 di+ ,di-,9.2 目标规划的几何意义及图解法,Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ = 252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4,