第三章空间向量与立体几何

1、第三章空间向量与立体几何一、选择题下列各组向量中不平行的是（A.a (1,2, 2),b( 2, 4,4)B. c (1,0,0), d (3,0,0)C.e (2,3,0), f (0,0,0)D. g ( 2,3,5), h(16,24,40)已知点A（3,1, 4），则点A关于x轴对称的点的坐标为A.(3, 1,4)B.(3,1, 4)C. (3,1,4)D. (3, 1,4)若向量a(1,2),b8（2, 1,2），且a与b的夹角余弦为，则等于（）9A.B.C.22或一55D.255若 A(1, 2,1), B(4,2,3) , C(6, 1,4)，则 ABC的形状是(A.不等边锐角三

2、角形C.钝角三角形B.直角三角形D.等边三角形5.若 A(x,5x,2x1)，B(1,x 2,2X），当AB取最小值时，x的值等于（）A.19 B.8-C.7819-D.714空间四边形OABC 中，OBOC ,AOBAOCA.uuu UJUT则cosvOA, BC 的值是(B. 一2C.D.二、填空题1 .若向量a(4,2, 4),b(6,3,2），则（2 a3b)g(a2b)2 .若向量a2i j k,b 4i 9j k,，则这两个向量的位置关系是3.已知向量(2, 1,3), b ( 4,2, x),若 a b，则 x；若a / b则x4.已知向量mi 5j k,b 3ij rk,若a/

3、 b则实数m5.若(a 3b)(7a5b)，且(ar4b)(7a5b)，则a与b的夹角为19556.若A(0,2,) , B(1, 1-) , C( 2,1-)是平面 内的三点，设平面888的法向量a (x,y,z)，贝y x: y : z7.已知空间四边形 OABC，点M , N分别为OA,BC的中点，且OA a,OBb, OC c ,用a, b , c表示MN，则MN =&已知正方体 ABCD AB1C1D1的棱长是1，则直线DAi与AC间的距离为空间向量与立体几何解答题精选(选修2-1)1已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB / DC ,1DAB 90 , PA 底面 ABCD，

4、且 pA AD DC -2AB(I)(n)(川)证明:1, M是PB的中点。证明：面PAD 面PCD ;求AC与PB所成的角； 求面 AMC与面BMC所成二面角的大小。以A为坐标原点 AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为“0,0,0)0,2,0)。1,1,0),“1,。,0), P(O,0,1),1(I)证明：因 AP (0,01),DC(01,0),故AP DC 0,所以AP DC.由题设知AD DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC 面PAD . 又DC在面PCD上，故面PAD丄面PCD .(n)解：因 AC (1,1,0), PB (0,2, 1),

5、故 I入CI /2,I PBI 亦,AC PB 2,所以 AC PB QlUAC, PB.I AC I IPBI 5cos(川)解:在 MC上取一点N(x, y,z)，则存在NC(1x,1 y, z),MC o,。，2),y1,z要使ANuur ujinMC,只需 ANgMC 0 即 x1r 0,解得可知当此时,AN4时,N点坐标为(1,1,-),能使AN MC51155由 AN MC0,BNMC1 2、5 512 十(,1,),有 BN MC 0 550得 AN0.MC,BN MC.所 以ANB为所求二面角的平面角.jutr730 JJJTQ| AN I ,| BN I5jju jurcos

6、(AN,BN)ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，J3n juir JJLT 30,ANgBN 5JJLT JJLT AN gBN2JUJ JJJTI AN I I BN I32 故所求的二面角为 arccos().32.如图，在四棱锥V ABCD中，底面 平面VAD 底面ABCD .(I)证明：AB 平面VAD ;(n)求面VAD与面DB所成的二面角的大小. 证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系(I)证明：不防设作 A(1,0,0),则 BCI，1，。)，吩Q,# 1yf3AB (OZM (訐云)由 AB VA0,得 ABVA，又AB AD ,因而AB与平面VAD内两条相交直线

7、VA ,AD都垂直.- AB平面VAD .(n)解：设E为DV中点，贝y e,。,344Ea (3,O,4),EB(9,1,並)，而4441J3(訐亏).由 EB DV0,得EB DV,又EA DV.因此， AEB是所求二面角的平面角,EA EBcos(EA, EB) |EA| |EB|J217P。,2)、E(0,-,1)，从而 AC (无,1,0), PBG/3,0, 2).设AC与PB的夹角为AC PBcos|AC| |PB I3273茜14Cjfx6 AC与PB所成角的余弦值为 划714(n)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,O,z)，则NEx,2,1z),由NE面PAC可得

8、,NEAP0,NEAC0.x,-,i2x,-,i2z) (0,0,2) 0,化简得z) W3,i,0)0.z i 0,J3x 丄 0.2点的坐标为(孰 i),从而N点到AB和AP的距离分别为4 .如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面 AECiF所截面而得到的，其中AB 4,BC 2,CCi 3,BE 1.(I)求BF的长;(n)求点C到平面AECi F的距离.解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0) , B(2,4,0)A(2,0,0), C(0,4,0), E(2,4,1)Q(0,4,3)设 F(0,0,z).- AECiF为平行四边形,由AECiF为平行四边形

9、，由AFECi得,( 2,0,z) ( 2,0,2),z 2.F(0,0,2).EF ( 2, 4,2).于是I BF | 2J6,即卩BF的长为276.(II)设ni为平面AECiF的法向量,显然m不垂直于平面ADF，故可设ni (x, y,i)由 ni AE 0ni AF得0,即 4y 10,2x2 0,x 1,1y 4又CCi(0,0,3),设CCi与ni的夹角为，则cosCCi ni|CCi 1 |ni |11164(3333 C到平面AEC1F的距离为d |Cc? |cos3334岳115.如图，在长方体 ABCD ABiGDi，中,AD AAi 1,AB 2，点E在棱AD上移动.(

10、1)证明：D1E AD ；(2)当E为AB的中点时，求点 E到面ACDi的距离;(3) AE等于何值时，二面角 Di EC D的大小为一.4C解：以D为坐标原点，直线 DA,DC, DDi分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AEx，贝y Ai(1,0,1),Di(0,0,1), E(1,x,0), A(1,0,0), C(0,2,0)(1)因为DAi，DiE (1,0,1),(1,x, 1) 0,所以 DAiDjE.(2)因为 E 为 AB 的中点，贝y E(1,1,0)，从而 DE (1,1, 1),AC( 1,2,0),AD1 ( 1,0,1)，设平面 ACD1 的法向量为 n (a

11、, b,c)，则 n AC 0 n AD10,也即a2b0a，得0a2b，从而n (2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为c| DiEn|(3)设平面|n|D1 EC的法向量n(a,b,c) , CE (l,x2,0),DiC (0,2, 1),DDi (0,0,1),DiC0,2bCE 0,cb(x02)0.令b 1,2,a 2 x,亠|n DD1I依题意cosA22J(x 2)25422 4 |n | |DD1 | X1 2 J3 (不合，舍去)，X22 73 . AE 2时，二面角 D1ECD的大小为一4.6 .如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中,AB侧面BB1C1C,E为棱C

12、C1上异于点，EA EB1，已知 AB 72, BB,2,BC 1, BCC1-，求：(2 x,1,2).- n(I)异面直线AB与EB的距离;C, G 的一(n)二面角 A EB1A1的平面角的正切值.解：(I)以B为原点,BB1、BA分别为y,z轴建立空间直角坐标系.由于，AB J2, BB12,BC 1, BCC13A1在三棱柱ABC AB1C1中有B(0,0,0), A(0,0,),B1(0,2,0) ,C23, 1,0)。(申设E(,a,0),由 EAEBi,得 EA EBi 0,即aj2)(a,0)a(a2) a22a34BE ER2）（a 2）0,即a43 1仔刖）（或a2品3-

13、0)2 23(舍去),故 E2l,i,0)343-0,即 BE EB仆4又AB侧面BBiGC，故AB BE.因此BE是异面直线AB, EBi的公垂线,则 | BE |(II)由已知有 EA EBi，BiAEB1,故二面角AEBiA的平面角的大小为向量B1A1与EA的夹角.因 BiAiBA (0,0j2),EA (故cosEA BiAi即tan|ea|BiAI /l，2 .7.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为矩形,PD底面ABCD , E是AB上31占41，故异面直线AB,EB1的距离为解：（I）以D为原点，DA、DC、DP分别为C一点，PF EC.已知 PD 72,CD 2, A

14、E求（I）异面直线PD与EC的距离;（n）二面角E PC D的大小.x, y,z轴建立空间直角坐标系.由已知可得 D（0,0,0）, P（0,0，问，C（0,2,0）设 A(x,0,0)(x0),则B(x,2,0),113,E%,。), PE (x,2，、CE (x,畀).由 PE CE得PECE 0,即x24 0,故x T.由呢富 j伴,|,0)0得 DE CE ,又PDDE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得I DE |1，故异面直线PD,CE的距离为1.(n)作 DG PC，可设 G(0,y,z).由 DG PC 0 得(0, y, z) (0,2, J2)0即 z J2y,故可取

15、 DG (0,1,j3),作 EF PC 于 F，设 F(0,m,n),则 EF ( ,m22,n).由EF PC 0得(73一,m21 f丄山)(0,2,扌2)20,即 2m又由F在PC上得n V2,故 m 1,n因 EF PC,DGPC,故 EPC D的平面角的大小为向量EF与DG的夹角.第三章空间向量一、选择题r rr r1.b2a a/b;dr3cu rd / c;而零向量与任何向量都平行2.3.关于某轴对称，则某坐标不变,r ragD其余全部改变4.5.6.r r cos a,b-r-t-ab634 25892,或 15UUUUUjrAB (3,4, 2), ACuuu(5,1,3)

16、, BCULU(2,ULUUUUU LUOCAgSB 0，得 C 为锐角；BAgBCuuuAB (1 x,2x 3, 3xJ14x2 32x19 ,UUr ULUT cos OA, BCULur ULur OAgBC uuu uLur OA BCUUU UUU3,1), ABgAC 0，得 A 为锐角;0,得B为锐角；所以为锐角三角形UUU3), AB8时,7(1 x)2(2x 3)2 ( 3xAB取最小值uut uuu uuuOAqOC OB) uuu uLurOA BC3)2uuuUULTUUTuuuOAOCcosOAOBUUU UUU OA BCcos0二、填空题1. 212rr2a 3

17、b(10,13,14), arrr r2.垂直a (2,1,1),b(4,9,1), ago13.巴6若a b，则8 23x 0,x31rrm4. 15,5a (m,5, 1),b2r r22r r5. 0 7a16a g?15b0,7a33a grrr352 a刁35r ragob ,rJ ,cos；a,b -10br2b(16, 4,0)10 r；若 a/ b，则 2:( 4)( 1):2 3: x,x 631，mr15,r6.2:3:4)uuuAB(1, 3,7 ujur-),AC7.ra)umu 设MNuuuu则MN23y43umuMN20b0,得 49：&r2 r2 r r35b ,49a 35agD,x:yy： zumrONuuuu OM2, 1,2 (3y:y:(1 r r尹c)35 r 2ba b