第6讲一元二次方程根与系数的关系

1、(x + A二2a 4a2(1)2当 b -4ac A 0 时,右端是正数，方程有两个不相等的实数根:-b Jb2 -4acx =2a2当 b -4ac = 0 时,右端是零.因此，方程有两个相等的实数根:2当 b -4acv0 时,右端是负数.因此，方程没有实数根.元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方 程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有 着许多应用.本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述.1.1 一元二次方程的根的判断式元二次方程ax2 +bx + c = 0 (a

2、HO)，用配方法将其变形为:2b - 4ac 叫2由于可以用b -4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此，把做一元二次方程 ax2+bx+c =0 (a H 0)的根的判别式，表示为：心=b2-4ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数:(1)22x -3x +1 =02(2) 4y +9 =12y 5(x2+3)-6x=0解：, =(3)2 -4天2咒1 =1 0,.原方程有两个不相等的实数根.原方程可化为：4y2 -12y+ 9=0:也=(一1 2) - 4X 4咒9亍.0原方程有两个相等的实数根.原方程可化为：5x2 -6x +15 =0 7=( g) 4咒5X 1

3、5= -26,. 0原方程没有实数根.说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式._2【例2】已知关于x的一元二次方程3x -2x+k=0，根据下列条件，分别求出k的范围:(1)方程有两个不相等的实数根;(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根;(4)方程无实数根.解：也=(-2)2 -4 k =4 -12ki(i) 4 -i2k0= k V3i(3) 4 -i2k 0= k ;3i(2) 4 -i2k =0= k =3i(4) 4 -i2k v0= k V.3【例3】已知实数X、y满足X2 +y2 -xy+ 2x - y +1 = 0 ,试求 X、y 的值.解：可以把

4、所给方程看作为关于 X的方程，整理得：x2-(y-2)x + y2-y+1 = 0由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此:2 2 2 =_(y2) -4( y -y+1) = 3y 0= y=0.代入原方程得：x2+2x + i=0= x = i.综上知：X = -1, y = 01.2 一元二次方程的根与系数的关系元二次方程ax2 + bx + C = 0 (a H0)的两个根为:_b + Jb2 -4ac-b-Jb2-4ac,x =2a2a所以：xi-b + Jb2 -4ac + -b - Jb2 -4ac bxi韦达定理:2a2aX _ -b + Jb2 - 4ac -b - Jb2

5、-4ac (-b)2 - (Jb2 -dac)24ac2a2a(2a)24a22如果一元二次方程 ax +bx+ c = 0 (aH0)的两个根为Xi,X2，那么:Xi+X2，XiX2 仝aa说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”.上述定理成立的前提是也0 2【例4】若Xi,X2是方程x + 2X-2007 =0的两个根，试求下列各式的值:22i i(i) Xi +X2 ; 一+；(3) (Xi -5)(X2-5);XiX2| Xi - X2 | 解：由题意，根据根与系数的关系得:为 + X2 = 2, xi x2 = -20072 2

6、 2 2X1 +x2 =(xx2) -2x,X2 =(2) -2(2007)=40181 亠 1X1 +X2十=2X1X2X1 x220072007x(为5)(X2 -5) =%必2 -5(X4 +X2)+ 25 =2007 -5(-2) + 25 = -1972| Xi -X2 1= J(为-X2)2 = J(Xi +X2)24XiX2 = J(2)2-4(2007) =47552说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:X2xj +X22 =(X1 +X2)22x,X2，丄+ 丄=为 + X2，(X1X2)2=(X1 +X2)2 4X1X2，X2X,X2I X1 -X2 | =

7、 J(X1 +X2)2 4X2，X1X22 +X12X2 =X1X2(X1 +X2)，3 33X1 +X2 =(X1 +X2)-3X1X2 (X1 +X2)等等.韦达定理体现了整体思想. 练习1.若X1和X2分别是一元二次方程2x2 + 5x 3= 0的两根.1 1 3 3X1X2(1)求 I X1 X2|的值；(2)求的值；(3) X13 + X23.解：TX1和X2分别是一元二次方程2x2 + 5x 3= 0的两根，二为+ X2 =-23X1X2 一 222225 2325(1 ) T I X1 X2| = X1 + X2 2 X1X2=(X1 + X2) 4 X1X2= (一一)4x(

8、) = 一 + 6224494| X1- X2|= 72(2)2丄 2_ X1 +X22 2 _ 22x2x25 23&宀2)2-2住(一5)2一2%2)3 233222)2X13 + X23= (X1 + X2)( X12 X1X2 + X?) = (X1 + X2) ( X1 + X2) (X1X2)兰+ 3_4_943X1X2379=(-1)孤 - I)23T)=-晋【例5】已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.或彳解：法一设这两个数分别是X , y，贝H x+?=4二严=-2或X2 xy = -12 y =6j2因此，这两个数是一 2和6.二 由韦达定理知，这两个数是方程 X2

9、4X 12= 0的两个根.解方程得：X1= 2, X2 = 6.所以，这两个数是2和6.【例6】关于X的方程X2 (k+1)x Jk2+1 = 0,根据下列条件，分别求出k的值.4(1)方程两实根的积为5 ；(2)方程的两实根X1,X2满足| X1 |=X2 解：(1) 方程两实根的积为5I212A =-(k +1)2 -4Gk2 +1) 04 =1 2Xix - k +1=5L 4所以，当k=4时，方程两实根的积为5.由|X1|=X2得知:当X1 0时,X, = X2，所以方程有两相等实数根，故 =0 =3 k =2当X1 0【例7】若关于X的一元二次方程 X2- X+ a- 4 = 0的一

10、根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围.解：设Xi, X2是方程的两根，则 xiX2= a 40.由得 a 4，17 a 4 由得a的取值范围是a4.*【例8】元二次方程x -4x+a=0有两个实根，一个比 3大，一个比3小，求a的取值范围。解一：由l(Xi 3)(X2-3) V0 解得：av3解二：设f(x)=x2-4x+a，则如图所示，只须f(3)吒0解得a 31LIyc|X=2111 .I111011求a的取值范围。解：如图，设f（x）2 2+ (a -9)x + a -5a +6rf（o）0则只须UvO1a8解之得I32a2B . k 2,且k2若x1,x2是方程2x -6x

11、+3 = 0的两个根，则1 1+ 的值为(X1X2B.-2C.已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方X2 + (2m -1)x +m2 +3 = 0的根,则m等于（4.A.3C.5或3-5或32若t是一元二次方程 ax + bx + c=0 （a工0）的根，则判别式A =b2-4ac和完全平方式= （2at+b）2的关系是（）B.卜 M大小关系不能确定5.2 2且 a,b满足 a -8a+5=0,b 8b+5=0,b 1 a 1则代数式+的值a-1 b1A . 20C. 2或-20D. 2 或 20*【例9】已知一元二次方程X2 +(a2 -9)x+a

12、2 -5a+6 = 0 个根小于 0，另一根大于 2,6.如果方程（b-c）x2 +（c-a）x+（a-b） =0的两根相等，则a,b,c之间的关系是7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程22x -8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是2&若方程2x （k+1）x+k+3 =0的两根之差为1，贝U k的值是2 29.设X,X2是方程X +P x+q=0的两实根，x1 +1,X2 +1是关于X的方程x + qx + p=0的两实根，则p =210.已知实数 a,b,c 满足 a=6b,c =ab-9，则 a =211对于二次三项式 X -10X+36，小明得出如下结论：无论X取

13、什么实数，其值都不可能等于10.你是否同意他的看法？请你说明理由.12.已知关于X的一元二次方程 X2+(4m+1)x+2m-1 =0 .(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根;1 1 1 若方程的两根为x1,x2，且满足 + = ，求m的值.X1X22213.已知关于X的方程(k -1)x +(2k 3)x+k+1 =0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请你说明理由.14.已知关于x的方程X2+ 2(m 2)x+ m2+ 4 = 0有两个实数根，并且这两个实数 根的平方和比两个根的积大 21,求m的值.答案:1.B 2. A 3. A4.6.a+ c=2b,且 bHc7.&9 或一39. p = 1,q = 310.a =3,b =3,c = 012.(1)4 =16m2 +5 a011.正确1213.(2)不存在(1)k V13 且 k 工11214.解：设X1, X2是方程的两根，由韦达定理，得2X1+ X2= 2(m2), X1 *