结构的稳定计算（49页）PPT

1、结构力学 II,第11章 结构的稳定计算,工程中的 “失稳”现象,11.1 稳定问题的基本概念,11.1.1 三种不同性质的平衡,设体系受到微小干扰后偏离平衡状态，按照干扰撤销后体系的不同“表现”，体系平衡可分为三种： 稳定平衡：干扰撤销后，体系能自动恢复原有平衡状态； 随遇平衡(中性平衡)：干扰撤销后，体系不能自动恢复原有平衡状态，但能在新状态下保持平衡； 不稳定平衡：干扰撤销后，体系不能自动地恢复原有平衡状态，也不能在新状态下保持平衡,平衡状态对应着势能的驻值,势能增加,势能不变,势能减小,无论从哪个角度看，随遇平衡状态都是介于稳定平衡状态和不稳定平衡状态之间的一种过渡状态，或临界状态,1

2、1.1 稳定问题的基本概念,11.1.1 三种不同性质的平衡,轴压,压弯,欧拉临界荷载,由材料力学知： FPFPcr ：轴压杆在干受扰后转入压弯状态，在干扰撤销后不但不能返回原来的状态，而且还将继续产生更大的弯曲变形，因此是不稳定平衡状态； FP=FPcr，压杆在受干扰后转入压弯状态，在干扰撤销后仍将维持这个状态，因此是随遇平衡状态,11.1 稳定问题的基本概念,11.1.2 三类不同形式的失稳,失稳：荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态,分支点失稳(第一类失稳,失稳前(0FPFPcr)：压杆保持直线状态，平衡是稳定的，在此阶段中无论荷载为何值均有=0，FP-曲线与竖轴重合，

3、即图中的OA段,失稳后(FPFPcr) ：压杆在理论上仍可保持直线状态，=0，FP-曲线达到A点后沿路径1继续上升。但这时平衡是不稳定的，任何微小干扰都可能使压杆弯曲变形0且随荷载的增大而增大，FP-曲线沿图中的路径2即弧线AB前进,结构变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变,理想或 完善体系,分支点失稳,完善体系 （或理想体系,直杆（无初曲率）， 中心受压（无初偏心,P1Pcr,1Pcr,原始平衡状态是 稳定的是唯一的,P2Pcr,稳定,不稳定,大挠度理论,小挠度理论,原始平衡状态是不 稳定的。存在两种 不同形式的平衡状 态(直线、弯曲,分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平

4、衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定,临界荷载、临界状态,2 Pcr,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：轴向受压,新平衡形式：压弯组合,原始平衡：平面弯曲,新平衡形式：斜弯曲加扭转,结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定 而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时， 这种现象带有突然性,分支点失稳的特点,11.1 稳定问题的基本概念,11.1.2 三类不同形式的失稳,非完善体系,当荷载较小时（曲线的OA段），随荷载的增大而非线性增长，当荷载达到某一个临界值FPcr时，曲线出现一个极值点（图中A点），此时荷载不但不能继续增加，而且如果稍加干扰，即便

5、减小荷载，杆件的挠度也仍要继续增长，如图中曲线的AB段所示,极值点失稳(第二类失稳,结构的变形在荷载达到临界值后并不发生性质上的突变，只是原有变形的迅速增长,极值点失稳,非完善体系,具有初曲率的压杆,承受偏心荷载的压杆,大挠度理论,小挠度理论,Pe接近于中心压杆的欧拉临界荷载,稳定问题与强度问题的区别： 强度问题是在稳定平衡状态下,当 ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析,稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。 非线性分析，叠加原理不再适用,极值点失稳的特点：非完善体系出现极值

6、点失稳。平衡形式不出现分支现象，P-曲线具有极值点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是不允许的.因为它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧失承载能力,导致结构破坏,11.1 稳定问题的基本概念,跳跃失稳的特点：结构的变形在荷载达到临界值前后发生性质上的突变，并且在临界点处结构位移的变化是不连续的。由于跳跃失稳的FP-曲线在临界点之后理论上存在两条不同的路径，我们将它视为一种特殊形式的分支点失稳,由于结构的几何形状在失稳过程中发生激烈的改变，跳跃失稳必须严格加以避免,11.1.2 三类不同形式的失稳,跳跃失稳,11.1 稳

7、定问题的基本概念,11.1.3 两种不同精度的稳定理论,y+2y=0,M(x)=FPy=-EIy,EI,通解为：y=C1sinx+C2cosx,其中2=FP/EI,边界条件：yx=0=yx=l=0,可得：sinl=0，C2=0,FPcr=2 EI/l2,小挠度理论,大挠度理论,对完善体系分支点失稳，两种理论得到的临界荷载一致,1、单自由度完善体系的分支点失稳,EI,1）按大挠度理论分析,A,稳定,不稳定,大挠度理论) 不稳定平衡,小挠度理论)随遇平衡,分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于 这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响， 按非完善体系进行稳定性验算,2）按小挠度理

8、论分析,1,小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平 衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象,注: 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。 2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项 （微量）不考虑几何尺寸的微量变化,两类稳定计算简例,2、单自由度非完善体系的极值点失稳,EI,1）按大挠度理论分析,A,0,0.1,0.2,1,0.785,0.38,1.37,1.47,2,1,这个非完善体系是极值点失稳. Pcr 随增大而减小,EI,2）按小挠度理论分析,A,设：1，1,0,0.1,0.2,0,

9、各曲线都以水平直线 P/kl=1 为渐近线,并得出相同的临界 荷载值Pcr=kl 对于非完善体系，小挠度理 论不能得出随着的增大Pcr 会逐渐减小的结论.,3、几点认识 1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值 点失稳。 2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉 点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但 平衡路径上出现极值点。 3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小 挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得 出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳 问题更具

10、有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研 究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上 限考虑。 以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载,11.2 用静力法求临界荷载,静力法: 假定体系处于失稳的临界状态，列出平衡方程求解临界荷载,能量法: 临界状态的能量特征是体系的势能为驻值，据此求出临界荷载,稳定自由度,在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目，称为稳定自由度,1个自由度,2个自由度,无限自由度,11.2 用静力法求临界荷载,1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径

11、，确定分支点， 由此求临界荷载,0，原始平衡,0，新平衡形式,特征方程（稳定方程,临界荷载,用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方程的系数行列式 D等于零，得到稳定方程： D=0 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即为临界荷载,例：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。求其临界荷载,解：1）静力法,设变形状态 求支座反力,列变形状态 的平衡方程,如果系数行列式 0 y1，y2为零，对应 原始平衡形式,如果系数行列式=0 y1，y2不为零，对应 新的平衡形式,例 图中

12、所示结构由两根刚性杆组成，两个弹性支座的刚度系数分别为k1=k，k2=0.5k。试用静力法求临界荷载,2个自由度,考虑杆件AB和BC对结点B的力矩,F2Pcr-2kl FPcr +0.5k2l2=0,或,特征方程 稳定方程,最小的为实际临界荷载,静力法的解题思路,先对变形状态建立平衡方程，然后根据平 衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载,不同的是，平衡方程是,代数方程（有限自由度体系） 微分方程（无限自由度体系,弹性压杆的稳定静力法,1、等截面压杆,先由图解法求出近似解：l=4.5,再由试算法求更准确的值,刚性支承上等截面直杆的稳定,1,0.7,2,0.5,1,材力已导出几种简

13、单支承情况下的轴压杆的临界荷载,长度系数=2、1、0.7、0.5,约束加强，临界荷载提高,单根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型,例 试求图示排架的临界荷载和柱子AB的计算长度,解：CD杆的作用用弹簧来代替,1）I2=0，k=0,相当于悬臂柱，计算长度为l0=2l,2）I2=，k,相当于上端铰支、下端固定柱， 计算长度为l0=0.7l,3）当 0k,当 I2=I1,2l4.493,试算法求解,计算长度为l0=1.426l,三类弹簧支座的弹性压杆的稳定方程,转动弹簧,对于刚架结构，当结构中仅有某一根杆件承受外部轴压荷载时，可简化为带弹簧的弹性压杆计算,简化,简化,反映其它杆件对受荷载

14、杆件失稳弯曲的约束情况,简化,注意：对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中 压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同 时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可 按单根压杆进行计算,反对称 失稳时,或,正对称 失稳时,11.3 用能量法求临界荷载,临界状态的能量特征是体系的势能为驻值,若以U表示体系的新状态相对于原平衡状态的应变能，以W表示荷载在体系从原有状态转到新状态的过程中所作的功，则-W就是荷载的势能，因此结构的总势能为,U-W,势能的驻值条件可以表达为,0,N个自由度体系的变形曲线应为N个参数(yi)的函数，因此体系总势能也应为N个参数的函数,其展开式是yi的线性方程

15、组(方程系数中含FP) ，由系数矩阵行列式不为零，可列出特征方程，求出P的n个根，临界荷载则为最小的根,11.3 用能量法求临界荷载,有限自由度的结构可用若干弹簧和刚性杆件组成的体系来表示。 结构几何形态的变化是通过刚性杆的移动、转动和弹簧的变形来实现的。 杆的转动引起杆在原始轴线上的投影长度的变化从而使荷载作功； 弹簧的变形引起应变能的改变,荷载所做的功为,小挠度理论,11.3.1 用能量法求有限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,11.3.1 用能量法求有限自由度体系的临界荷载,弹簧的应变能为,荷载的势能为,结构的总势能为,势能驻值,与静力法结果一致,弹性体系的平衡方程势能

16、驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0 , =应变能U+外力势能UP,MA=k,弹簧应变能,荷载势能,应用势能驻值条件,位移有非零解则,势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件. 但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种， 要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载 之间的关系,总势能是位移的二次函数， 1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原有平衡位置)当=0，为极小值0,对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值,2）Pk/l ，当0，恒小于零（为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷

17、载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。 当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的,3）P=k/l ，当为任意值时，恒等于零(即U=UP) 。 体系处 于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载Pcr=k/l,结论： 1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。 2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表 述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。 3）当体系处于中性平衡P=Pcr时，如依原始平衡位置作为参考状 态，必有总势能=0。 对于多自由度体系，结论仍然成立,A,B,C,k,例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线,1、静力法： 两个自由度，

18、取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图,分析受力列平衡方程,BC,AC,由位移参数不全为零得稳定方程并求解,求失稳曲线,2、能量法： 外力势能,应变能,总势能,根据势能驻值条件,由位移参数不全为零得稳定方程,以下计算同静力法,例3：用静力法求图 示体系的临界荷载,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图,分析受力列平衡方程,BC,AC,由位移参数不全为零得稳定方程,B,例3：用能量法求图示体 系的临界荷载,两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图,求变形能和外力势能,B,当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能,11.3 用能量法求临界荷载,11.3.2 用能量法求无限自

19、由度体系的临界荷载,将位移函数表示为有限个已知函数的线性组合，将无限自由度体系化为有限自由度体系,i(x)（i=1,2,，n）为形状函数：满足位移边界条件(几何边界条件)的已知函数； ci（i=1,2,，n）为一组相互独立的参数,1）应变能,只考虑弯曲应变能,11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,荷载的势能为,2）荷载的势能,11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,3）总势能,势能驻值,以上方法称为瑞利-里兹法,如果n个i(x)的线性组合能给出与最小临界荷载相应的的位移函数，则瑞利-里兹法可得出最小临界荷载的准确

20、值。在一般情况下，所选择的形状函数无论怎样组合也得不出与最小临界荷载相应的的位移函数，这就相当于给结构引进了附加约束，使它不可能发生这样的位移，这时用瑞利-里兹法只能得出最小临界荷载的上限,11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,例11-3 试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载,形函数满足的位移边界条件：(y)x=0=0；(y)x=0=0,抛物线,设失稳时的位移函数为： y=c1x2 =i(x,势能驻值,c10,FPcr=3EI/l2,11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,例11-3 试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载,横向荷载下的变形曲线,设失稳时的位移函数为： y=c1x2（3l-x,杆在自由端受横向集中力作用的变形曲线,势能驻值,c10,FPcr=2.5EI/l2,11.3.2 用能量法求无限自由度体系的临界荷载,11.3 用能量法求临界荷载,例11-3 试用能量法求图11.15所示压杆的最小临界荷载,三角函数曲线,势能驻值,c10,最小临界荷载的准确值,三角函