高中数学 探究导学课型 第二章 基本初等函数（I）2.1.2 指数函数及其性质 第2课时 习题课——指数函数及其性质 新人教版必修1

1、第2课时 习题课指数函数及其性质,类型一:比较指数式的大小 【典例1】(1)(2016潍坊高一检测)已知 函数f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)f(n),则m,n的大小关系是_,2)比较下列各组数的大小,解题指南】(1)利用指数函数f(x)=ax的单调性及已 知条件f(m)f(n)即可比较m与n的大小. (2)直接利用指数函数 的单调性即可比较 与 的大小; 先将 化为0.80.4,然后借助函数y=0.8x的单调性 比较大小； 分别与1比较大小,解析】(1)因为 所以f(x)=ax在R上是增函数，又因为f(m)f(n),所以mn. 答案：mn,2)因为 是减函数且-1.8-2.5, 所以

2、 因为 =0.80.4, 又因为y=0.8x是减函数且0.50.4, 所以0.80.50.80.4,即,因为0.6-20.60=1, 所以0.6-2,规律总结】比较指数式大小的三种类型及处理方法,巩固训练】已知a=-0.3，b=-0.1且f(x)=x，试比较f(a)与f(b)的大小. 【解析】因为f(x)=x是增函数，所以-0.3-0.1，即ab， 所以f(a)f(b,类型二：简单的指数不等式 【典例2】(1)解不等式 2. (2)若a-3xax+4(a1)，求x的取值范围,解题指南】(1)将不等式左端利用分数指数幂的运算性质化为以2为底的指数式，然后利用指数函数y=2x的单调性即可求解. (

3、2)利用指数函数y=ax(a1)在R上是增函数，将原不等式化为一元一次不等式来求解,解析】(1)原不等式2-2x+12-2x+11x0， 故原不等式的解集为0，+). (2)因为f(x)=ax(a1)是R上的增函数，且a-3xax+4， 所以-3xx+4，即x-1， 故x的取值范围是x-1,延伸探究】 1.(变换条件)若把本例(2)中的“a1”换为“0ax+4-3x-1， 故x的取值范围是x-1,2.(变换条件)若把本例(2)中的“a1”换为“a0且a1”，其他条件不变，则结果又是什么呢？ 【解析】当a1时，原不等式-3xx+4x-1， 故当a1时，x的取值范围是x-1,规律总结】af(x)a

4、g(x)(a0且a1)型的指数不等式的解法 (1)a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x). (2)0ag(x)f(x)g(x). 提醒：不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式,拓展延伸】非同底的简单指数不等式的解法 (1)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂 的形式，再借助y=ax的单调性求解. (2)形如axbx的不等式，可借助图象求解，也可转化 为 来解,巩固训练】函数y= 的定义域是. 【解析】由32x-1-3x0得32x-13x， 所以2x-1x，即x1. 答案：1，,类型三：指数函数性质的综合应用 【典例3】(2016杭州高一检测)函数f(x)

5、=ka-x (k，a为常数，a0且a1)的图象过点A(0，1)， B(3，8). (1)求函数f(x)的解析式. (2)若函数g(x)= 试判断函数g(x)的奇偶性，并给出证明,解题指南】(1)要求f(x)的解析式，只需将A(0，1)， B(3，8)的坐标代入f(x)=ka-x，列出k与a的方程组， 解方程组即可. (2)要判断g(x)的奇偶性，只需判断g(-x)与g(x)的 关系,解析】(1)由已知得 所以k=1, 所以f(x)=2x. (2)函数g(x)为奇函数. 证明：g(x)= 其定义域为R, 又g(-x)= 所以函数g(x)为奇函数,规律总结】 1.形如y=f(ax)(a0，且a1)

6、的函数的单调性的求法 (1)定义法，即“取值作差变形定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性. (2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律,2.由指数函数构成的复合函数的值域求法 一般用换元法即可，但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下，函数值域的变化情况,3.判定函数奇偶性要注意的问题 (1)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧：耐心分析f(x)和f(-x)的关系，必要时可利用f(x)f(-x)=0判定,3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称

7、，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定,巩固训练】已知函数f(x)= (a1)， (1)判断函数的奇偶性. (2)求该函数的值域. (3)利用定义法证明f(x)是R上的增函数,解题指南】(1)先求定义域，再判断f(-x)与f(x)相等或互为相反数. (2)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域. (3)定义法证明函数单调性的基本步骤：设元、作差、变形、判号、下结论，可用其证明f(x)在R上是增函数,解析】(1)因为定义域为x|xR, 且f(-x)= =-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)f(x)= 因为ax+11,所以 所以 即f(x)的值域为(

8、-1,1,3)任取x1,x2R，且x11时，y=ax为R上的增函数，由x1x2得 )，所以f(x)是R上的增函数,拓展类型:指数型复合函数的单调性 【典例】(1)函数 的单调递增区间 是( ) A.(1，+) B.(，1) C.(1，3) D.(1，1) (2)求函数 的单调区间，并证明,解题指南】(1)根据复合函数的单调性只需求 t=(x+1)(3-x)的单调递减区间. (2)要求函数 的增区间，只需求u=x2-2x的减 区间.同理，要求 的减区间，只需求u=x2-2x 的增区间,解析】(1)选A.由定义域为R，令t=(x+1)(3-x)= -x2+2x+3=-(x-1)2+4,此函数在(-，1)上为增函数， 在(1,+)上为减函数，又 在R 上为减函数，故函数 在(1,+)上为 增函数,2)函数 的单调递减区间为1,+)， 单调递增区间为(-,1).证明如下： 设u=x2-2x，则 对任意的1x1y2,所以 在1,+)上是减函数. 对任意的x1u2， 又因为 在R上是减函数， 所以y1y2， 所以 在(-,1)上是增函数,规律总结】 1.指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域：依据题意明确研究范围. (2)拆分：把原函数拆分成几个基本函数. (3