关于导数的29个典型习题

1、.关于导数的29个典型习题习题1设函数在的某邻域内类(有一阶连续导数)，且若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。解 由题设知 . 由洛比达法则知 故联立可解出习题2 设其中有二阶连续导数，且.(1) 求(2) 讨论在上的连续性.解 (1) 当时，用公式有当时，用定义求导数，有 (2) 因在处有而在处连续，故习题3 证明：若（圆），其中为定数 则 定数。证 求导， 即 再导一次， 即 注 恰是圆的半径.习题4 证明：若在内可导，且 则证 作辅助函数应Cauchy中值定理.,由Cauchy中值定理有（显然）或 或 因 即 于是，.即 习题5 设在上有二阶导数，且 证明证 以及任意，则有即 由题设知下

2、面求使为最小。为此令解出而故知在处为最小. 从而可知习题 6 设函数在内可导，且 试证使得 证 取数由介值定理知使在区间上分别应用微分中值定理有从而 显然,当取 则 且 代入得 习题7 求在处的100 阶导数值。解 由Taylor公式有.故 习题8 设证明 证 设应用Lagrange中值定理有 又设 则当时, 此时 单减.从而即 习题10 设在内有定义，存在，且满足 如果求证 证 故 使欲证只需证明反证法，若则又为极大，故但另一方面矛盾。故知若则仿上面的证明，有另一方面矛盾。故命题得证。习题11设在内二阶可导，又设联结两点的直线与曲线相交于点，求证：在内至少存在一点使证 对在上分别应用Lagr

3、ange中值定理，使由于三点在同一直线上，所以再对在上应用Rolle定理可得：使习题12 设在上有二阶导数试证 使得证 令 则在上二阶可导，且对在上分别应用Rolle定理，使对由于在上可导，再用Rolle定理，使得而令即得所求证的等式。习题13 设二阶可导，且求证 证 二阶可导，且可导，由闭区间上连续函数的性质，使为最小值，且再由Taylor公式有其中介于与之间，分别取得当时，由前式推出当时，由后式推出由此即得 习题14 设试证 证 令则在上连续，在内可导，且由得唯一驻点由于在上的最大值为1，最小值为于是习题15 设在上二阶可导，则在内必存在一点使证 将在处展开，令即类似在处展开，令则有相减得

4、 所以其中 ，即在内存在一点，使 习题16设在上二阶可导，且证明证 将在点展开，求出的值：相减因此因为 故有当时，即习题17 设在上二阶可导，且其最大值在内达到：试证证(类似方法处理，先将在某点展开，再将0,1分别代入)设是的最大值点，则有且应用Taylor公式有因此于是 习题22 设且证明使（提示：用三阶Taylor公式，将在处展开，然后分别用0,1代,相减，利用条件便有即于是，即在(0,1)内至少存在一点使）第七节函数的连续性与间断点一、函数的连续性1 增量：变量从初值变到终值，终值与初值的差叫变量的增量，记作，即。（增量可正可负）。例1 分析函数当由变到时，函数值的改变量。2函数在点连续

5、的定义定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果自变量的增量=趋向于零时，对应的函数增也趋向于零，则称函数在点处连续。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果函数当时的极限存在，即，则称函数在点处连续。 定义3：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式：，则称函数在点连续。注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数在点连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数在点的某个邻域内有定义（函数在点有定义），（2） 存在；（3）。 3函数在点处左连续、右连续的定义： （1）函数在点处左连续在内有定义，且（即）。 （2）函数

6、在点处右连续在内有定义，且（即）。 显然，函数在点处连续函数在点处既左连续又右连续。 (3)、函数在点处连续是存在的充分条件，而非必要条件。3、函数在区间上连续的定义定义4：如果函数在某一区间上每一点都是连续的（如果此区间包含端点，且在左端点处右连续，在右端点处左连续），则称函数在该区间上是连续的。例1：讨论下列函数在区间内的连续性（1）（2） （3）例2：设，试确定的值，使函数在处连续。二、函数的间断点（一）间断点概念：设函数在内有定义（在点处可以无定义），如果函数在点处不连续，则称点为函数的一个间断点（或不连续点）。函数在点连续： 函数在点不连续：（1）函数在点有定义， （1*） 函数在点没有定义（2） 存在； （2*）不存在（3） （3*）存在，但在点 没有定义， 或（二）.间断点的分类设为函数的一个间断点，1、第一类间断点，都存在， （1）若=，即存在，此类间断点称为可去间断点。函数在点无定义，函数在点有定义，但。（2）若，