张量分析课件张量分析课件第一章线性空间

1、张 量 分 析,第一章 线性空间,若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、。 则加法法则将F中的任意两个元素,显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元 素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为,乘法法则将F中的任意两个元素,称为具有加法和乘法法则的实数集空间,实数空间关于加法和乘法法则有如下性质,1,2,3,存在唯一的元素,对每一个元素使得,5,6,7,F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得,F中存在称为关于加法的单位元素0，使得,4,8,1.1 矢量集合的运算,对实数域 F，定义n元有序组,且当,必有,由n元有序组构成的集合,称为n维仿射空间,中的每一个元素称为点,记,且分别称为放射

2、空间的原点、位置矢量和负矢量,对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合,定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算,并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数,1,2,3,4,5,6,7,8,V0中存在称为关于加法的单位元素o，使得,V0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得,F存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得,域上的矢量空间。且仍记为V0,数域上的矢量空间V0 具有如下性质,证,1,2,4,5,6,8,7,定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0t 的矢量 z,证毕,定义连接 x 、y 两点的直线段是满足,仿射空间点的集合,x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量u

3、xy。 uxy是 空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x， 所有以x点为起点的矢量按,定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当 取 为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx 。 Vx空间中的矢量称为约束矢量,设,定义若存在非o的s位置矢量满足,则称,与,平行。切记为,例1：若o（原点）是二维Eucild空间的给定点。过o 点的水平和竖直直线为实数数轴。 当,时，试证明,并将结果画在图上,解,当t=b时：位置矢量标 定b点。即,由此确定b=1,当t=a时：位置矢量标 定a点。即,由此确定a=0.75,图中画出了计算结果,设 是实数域上的矢量空间，x是 中任一给定的位置矢量。

4、 是所有起点在x点的约束矢量空间。对 中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行性，在 中有对应的矢量。若矢量,1.2 自由矢量,确定。而 矢量可由有向线段,确定。容易验证,满足（1.1-7）式（取,因此,则起点在x的矢量,可由有向线段,对任意给定的矢量 ，对不同的x所确定的约束矢量空间 ，按平行性可确定一类约束矢量 。定义 空间中的每一点约束矢量，对给定的 ，按有向直线段,确定的矢量 所构成的一类矢量，称为矢量 的等价类。 中所有矢量按（1.2-1）所构成的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 。应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢量,例2：如图所示给定

5、的5个矢量 。试确定其平行性和等价性,与,取,由此可得 ， 。显然由（1.1-7）式可知 ，但由（1.2-1）式可知 和 不等价（因为,当 时,当 时,显然没有一组 ， 的解满足,与,取,中第一组关于 的方程。即不存 在满足（1.1-7）式，因此 和 不平行,与,取,当 时,当 时,由此可得 ， 。显然 等 价,与,取,当 时,当 时,由此可得 ， 。显然 等 价,由平行性及（1.2-1）式确定了自由矢量 集合在集合 中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合 具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素（自由矢量）间的加法运算和实数域 上的数乘运算。设 ， ；与 、 等价

6、的 中的矢量为,中的加法和数乘分别定义为,则,自由矢量的集合在上述加法 和数乘运算下构成线性空。 且将带有上述加法和数乘运 算的自由矢量空间记为,例3：确定图示自由矢量a、b的和a + b 、5a、2b,解,结果如图1-4所示,平行四边形法则,设自由矢量a、bV，其起点和终点分 别由a1、 a2 ；b1、 b2 V0矢量标定。a 、b矢量对应的有向直线段分别为,将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3 V0确定，则,a,起点在a1 ，终点b3在的有向直线段确定自由矢量c平 行移动至起点在o点。则与c等价的起点在o点的矢量 z可由有向直线段 确定,该式表明自由矢量

7、的加法可在空间的任意点进行。图1-5给出了矢量a、b加法的几何示意图。（a）图给出了a、bV ；（b）图中将b平行移动使得b起点与a的终点相接。则按（b）式有,由于z与c等价，由（a）式得,b,cV为起点在 a 矢量的起点，终点在平行移动后（ 起点,与 a 的终点相接）的 b 矢量终点确定的矢量。图 ( b ) 中,该式也称为自由矢量加法的平行四边形法则,中还给出了与 a （或 b ）矢量等价的,矢量（ 或,容易验证，当 a （或 b ）与,或,等价，则 b 或,a ) 与,a 、b,或,等价。即 a,b,均成平行四边形，且,试由平行四边形法则求图1-6 （a）所给矢量 a 和 b 的和,例4

8、,将 b 矢量的终点平移至 a矢量的起 点（见（ b ）图）；或将 b矢量的 终点平移至 a矢量的终点。作平行 四边形 ABCD。则平行四边形的对 角线对应的矢量cV为就是a 、 b矢量的和，即,解,设 r1，rn ； ， ， 。若存在 不全为零的 ， ，使得,1.3 自由矢量空间的基底、坐标,1.3-1,则 r1，rn,称为线性相关的 n 个自由矢量。若只有当 = = = 0时（1.3-1）式满足，则称r1，rn是线性无关的,例5,试确定自由矢量,的相关性,解,这是关于 ， ， 的齐次线性代数方程，其系数行列式的值为,则,若,因此方程无非零解。即只有当,时,线性无关,n+1个矢量都是线性相关

9、的。则 V 称为 n 维自由矢量空间 ，n 维自由矢量空间V中的任意 n 个线必玩关的自由矢量称为 n 维自由矢量空间 V 中的一组基底,是 V 中 n 个线性无关的自由矢量，且 V 中任意,自由矢量空间的维数n可以是有限的整数（n ），也可 以是无穷大。前者称为有限维自由矢量空间 ，后者称为 无限维矢量空间。本书仅讨论有限维自由矢量空间。同 时由于（1.3-1）式中的 ，因此准确地讲 V是 F 的 n 维自由矢量空间。在不致引起混淆时就称为 n 矢 量空间 V ，或称为矢量空间 V,定理1.1 如果 是 V 的一组基底，则 V 中的矢 量 x 可唯一地表示成 的线性组合,1.3-2,； 是V

10、 的基底表明V 是 n 维矢量空间。由基底的定义可知 ， ， x 这 n+1个矢量必然线性相关,上式中 （若 ， 线性无关。若要求上式成,则 线性无关，这与定义相矛盾。）且,令,则,这表明每一个,都可由基底线性表示,设x有另一表示,由于 线性无关，所以得,因此（1.3-2）的表示是唯一地,证毕,当 时， 不全为零。因此有,对自由矢量空间V中的矢量在给定基底,r1，rn,上按,1.3-2,表示时，必须明确在,En空间的每一点上都空间,的每一点上都有一组与,r1，rn,任意,分别等价的基底,都可以在x矢量的起点的,r1，rn,示。且两种表示是等价的（相同的,基底上表,例6：如图1-7所示二维矢量空

11、间,V，在 o 点给定V 的基底,r1，r2,及自由矢量 x（ x 起点在 A 点 ）。试求 x 在基底,r1， r2上的表示。( 见前页,解,如图 1-7（a）所示。将 A 点的 x 矢量起点平行移动至 o 点，得等价矢量 x 。再将 o 点的 x 矢量在 o 点的基底 r1 ，r2上表示为,如图1-7（b）所示。在 A 点作与 o 点 r1，r2等价的基底,r1，r2。再将A点的矢量x在A点的基底 r1，r2上表示为,显然两种表示是等价的（相同的,当n维矢量空间V的基底给定为r1，rn，对每个,有,其中x1，xn称为,矢量关于基底 r1，rn 的坐标,记为（x1，xn ）。坐标为（0，0）

12、所标定的点,o及o点处的n个基底矢量 r1，rn共同构成一个坐标系,记为,或记为,每一个基底矢量由起点指向,终点的方向称为坐标正方向,反之称为坐标负向,基底矢,量起点与终点的连线延长线称为坐标轴,例7：如图1-8所示二维矢量空间。其坐标系为,试,求自由矢量 a（起点由,终点由,标定）的坐标,解,x、y的坐标为（x1，x2），（y1，y2）,由平行四边形法则得,a的坐标为,由此得结论：自由矢量在给定坐标系 中,的坐标是终点位置矢量坐标与起点位置矢量坐标之差,1.4 Euclid 空间 R n,前面的讨论是在仿射空间内E n 进行的。在 E n 空间的讨 论中建立了点的集合与实数集合的对应关系。并

13、由此定义了位置矢量。并引了平行性、等价矢量等概念，进而给出了自由矢量和自由矢量空间、基底和坐标。为了使矢量空间V具有更丰富的内容，本节将在仿射空间中引进一个新的运算矢量的标量积,设,并且在标量积作用下具有下列性质,i,ii,iii）正定性,1.4-1,1.4-2,1.4-3,若仿射空间 E n 带有标量积（或称为点乘、点积）运算,则称这样的仿射空间为Euclid空间。记为R n,对称性,线性性,矢量长度：对任意,定义,1.4-4,为矢量,的长度,两矢量夹角：若,定义,1.4-5,为,两矢量的夹角,是非o的矢量，且,1.4-6,则称,正交（或垂直,两矢量的距离：若,定义,1.4-7,为 x 矢量

14、到 y 矢量的距离,若,定理1.2 设,iv,则,i,ii,iii,时,1.4-8,证,i,ii,由（1.4-3）式可知,所以,iii,iv,由iii）的结果得,证毕,定理1.3 距离具有性质,i,ii,iii,时,证,i,ii,iii,若,则,若,令,则,1.4-8式ii,由（1.4-8式iv）可得,证毕,Euclid 矢量空间虽然引入了标量积的运算，但标量积是 以抽象的形式所定义。为了使抽象的标量积表现为能够 具体操作形式，则必须引入标准正交基底。为此有如下,若 i1，in 是 V 的一组基底，且满足,i,ii,1.4-10,则称 i1，in 是 V 中的一组基底,定理 1.4,线性无关,

15、V中任意一组非零正交矢量r1，rm,证,如果,且,则 r1，rm 线,性无关。分别用 r1，rm 点乘上式两边得,定义,必然有,因此r1，rm线性无关,证毕,定理1.5,设 r1，rn 是V的一组（一般为非正交）基底，那么一,定有 V 中的一组标准正交基底 i1，in ，且,1.4-11,证,令,显然,令,r1、r2 线性无关，a2 用 r1 ，r2 线性表示的系数为,又,取,显然,依次可求至,令,式中i 1，i i-1都可由r 1，r i-1表示,r i 线性表示。且 r 1，r i 线性无关，而 r i 前面系,a i 可由r 1,所以,用i 1，i i-1点乘 a i表达式两边得,取,显

16、然,这一过程一直进行到i = n。最后确,定了一组n个两两正交的单位矢量r 1，r n,证毕,一但Euclid矢量空间的标准正交基底确定为i 1，i n,则可建立标准正交坐标系,在,空间V中的矢量 x 可表示为,坐标系中，矢量,1.4-12,例9：已知,试证明,是三维矢量空间的一组基底。并由,确定一组标准正交基底,解,这是关于,行列式,的齐次线性代数方程，其系数,因此,无非零解,线性无关,是三维矢量空间的一组基底,取,所以最后得一组标准正交基底为,1.5 多重线性映射,在数学分析的函数理论中,所谓的函数是指不同的实数域,中元素间的对应关系。如,是将实数域,中的每一个实数与另一个实数域,中,的实

17、数建立了对应的关系。前,一个实数域称为定义域，后,一个实数域称为值域。对二元函数,其每一个变元都在一,个实,数域内取值。因此其定义域是两个实数域。通常将二,元函数的定义域形式上记为FF二元函数的值域仍然是实,数域。为了与定义域表示形式一致记为 F 。这样以来二元,函数可,以描述为一确定的法则 f 将FF中的元素（二元数,对）对应到 F,中的一个元素（一个实数）。或表示为,对 n 元函数则有,对于矢量空间。不同的矢量空间中的元素间同样可以建立,对应关系。矢量空间之间元素间的对应法则称矢量函数,自变量为矢量的矢量值函数,当然这种法则是各种各样,的，但最,重要最基本的是所谓线性函数（或称为线性映射,

18、。这一节就给出矢量空间的线性映射的讨,论，并由此引,入张量空间的概念,设 V 1， ，V m ，W 是m1个矢量空间,V 1， ，V m的维数分别为,m1， ，mm,是一个 V 1， ，V m,中取值到W的一个法则，且 对每,一个,满足,1.5-1,多重线性映射,则,称为多（m）重线性映射,首先来看两个,的函数,是二元线性函数,当然不是线性函数。但可以看出,也具有某种线性叠加的性质，并,且称,所具有的这种线性,叠加的性质为二重线性。对,义。对 n 元函数,容易验证满足（1.5-1）的定,称为n元线性函数,称为 n重线性函数。由,和,以看出 n元线性函数是实数加,还可,法法则所确定的；而 n 重

19、线,性函数是实数的乘法法则所确定的。将 n 元线性函数和 n,重线,性函数的概念应用到Euclid矢量空间上就得到了矢量,空间的线性映射（不再称为函数）和,多重线性映射的概念,而更一般意义上的多重线性映射正是（1.5-1）式所定义,的多重线性映射,设V是三维Euclid空间，由（1.5-1）式可得,的二重,线性映射,满足,并且,作为例子。图1-10给出了坐标系为,的Euclid矢量空,间。设 是一个二重线性映射。且 将第一个矢量空间的,i 1，第二个矢量空间的 i 2 映射为 （ i 1， i 2,将第一,个矢量空间的i 1，第二个矢量i 3空间的映射为 （i 1，i 3,；将第一个矢量空间的

20、 i 2 ，第二个矢量空间的 i 2,的映,射为 （ i 2， i 2,将第一个矢量空间的 i 2 ，第二个矢量,空间的 i 3,映,射为 （ i 2， i 3,那么第一个矢量空间的,x1 x2 面内的任意矢量v1和第二个矢量空间x2 x3,面内,的,任意矢量 v2 被 映射为,不全为零,令,则,这表明,可以看作是,的线性,表示。或者说二重线性映射 将第一个矢量空间 x1 x2,平面内的矢量 v1和第二个矢量空间x2 x3平面内的矢量 v2,映射到了W矢量空间的,v 1， v 2 ）。且（ v 1， v 2,可以用W中的,线性表示。若另取第,一个矢量空间x2 x3平面内的矢量,则可得另一个,二

21、重线映射 值,显然 将,和,映射到了W中的两个不同元素。同时这,两个W中的元素都能够用,线性表示,但如果在第一个矢量空间x1 x2,平面内取一矢量,在第,二个矢量空间x1 x2,平面内取一矢量,容易验证,将不能用,线性表示。问题产生的原,因在于当确定,时只考虑了第一个矢,量空间x1 x2,面内的矢量和第二个矢量空间x2 x3,矢量,面内的,如果在两个矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空,间中取的矢量都是张开到矢量空间中最大维数,的矢量（在,图1-10中最大维数为 3 ），这时将不会产生以上的情况,就是说两个矢量空间的矢量取为,此时有,即,可用,线性表示。由于这9个W中的元素相互之间不能相互表示,且对任意,可以不是张开到最大维数的三维矢量,显然W是九维矢量空间,都可由（a）线性表示。因此（a）是W的一组基底,a,上面的例子给出了,的二重线性映射,若,是张开,到最大的二重线性映射，则称为张映射。张映射习惯上使