三次函数第28 关：三次函数专题—全解全析

1、第 28 关：三次函数专题 全解全析一、定义：定义 1、形如的函数，称为“三次函数” （从函数解析式的结构上命名）定 义2 、 三 次 函 数 的 导 数， 把叫做三次函数导函数的判别式二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性一 般地 ， 当时 ， 三 次函 数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m， n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y f(x)图象的

2、对称中心在导函数y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1 ）当=时 ，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。若，即与中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题若函数 f(x) 在点 x0 的附近恒有

3、 f(x 0) f(x) ( 或 f(x 0) f(x) ，则称函数 f(x) 在点 x0 处取得极大值（或极小值） ，称点 x0 为极大值点（或极小值点） 。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题函数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1. 三次函数与导数例题例 1.函数.（ 1）讨论函数的单调性；（ 2）若函数在区间（ 1， 2）是增函数，求的取值范围 .解：（），的判别式 =36（ 1-a ） .（）当a1时， 0，则恒成立，且当且仅当，故此时在 R 上是增函数 . 来自 QQ群 3（）当且，时，有两个根：，若，则,当或时，故在上是增函数；当

4、时，故在上是减函数；若，则当或时，故在和上是减函数；当时，故在上是增函数；（）当且时, 所以当时，在区间（ 1，2）是增函数 .当时，在 区 间 （ 1,2 ） 是 增 函 数 ， 当 且 仅 当且，解得.综上，的取值范围是.例2.设函数，其中。（1）讨论在其定义域上的单调性；（1）当时，求取 得 最 大 值 和 最 小 值 时 的的值 .（）的定义域为，令，得所以当或时，；当时，故在内单调递减，在内单调递增（）因为，所以（）当时，由（）知，在 0 ，1 上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值（）当时，由（）知，在0，上单调递增，在， 1上 单 调 递 减 ，因 此在处取得最大值又，所以

5、当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值。例 3.已知函数来自 QQ群 3（1）求的单调区间和极值； （ 2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围解：（）由已知，有令，解得或当变化时，的变化情况如下表：0-0+0-0所 以 ，的 单 调 递 增 区 间 是；单调递减区间是，当时，有极小值，且极小值；当时，有极大值，且极大值（ ） 解 ： 由及 （ ） 知 ， 当时，；当时，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，.下面分三种情况讨论：（1）当，即时，由可知，而，所以不是的子集。（2）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值范围包含，则所以，（3）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。综 上 ，的 取 值 范围 是2. 三次函数与导数- 课后练习题1.设.(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围；(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.1.解：（1）已知，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分（2）已知,在上取到最小值，而的图像开口向下，且对轴轴为，则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，此时，由，所以函数2已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围2解：