辽宁省丹东市2019届高三数学总复习质量测试试题（二）理（含解析）

1、辽宁省丹东市2019届高三数学总复习质量测试试题（二）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则复数可取（ ）A. 2B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意首先分析复数z的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z的值.详解】不妨设，则，结合题意可知：，逐一考查所给的选项：对于选项A：，不合题意；对于选项B：，符合题意；对于选项C：，不合题意；对于选项D：，不合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知集合，若，则

2、实数值集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】,可以得到，求出集合的子集，这样就可以求出实数值集合.【详解】,的子集有，当时，显然有；当时，；当时，；当，不存在，符合题意，实数值集合为，故本题选D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.3.经过点作圆的切线，则的方程为（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】【分析】设直线存在斜率，点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率，再讨论直线不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能,写出直线方程，综上所述，求出切线

3、方程.【详解】，圆心坐标坐标为，半径为，当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线；因此切线方程为,故本题选C。【点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.4.在中，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可知，点是的中点，由，可以确定点是的中点，以为基底，表示出，最后确定的关系.【详解】因为，所以点是的中点，又因为，所以点是的中点，所以有：，因此，故本题选D.【点睛】本题考查了向量加法的几何意义、平面向量基本定理.解题的关键是对向量式的理解、对向量加法的

4、几何意义的理解.5.据中国古代数学名著九章算术中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率，则图中的值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.1【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，根据体积，可以求出图中的值。【详解】由三视图可知：该几何体是由一圆柱和长方体组而成，由题意可知：.【点睛】本题考查了由三视图还原立体几何图形能力，体积运算能力.考查了空间想象能力和运算能力.6.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定

5、义域，然后判断奇偶性，再考虑时，函数的单调性，用排除法进行选择.【详解】函数的定义定义域为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B，当时，故可排除C;当时， ，显然当时，函数是单调递减的，可排除D，故本题选A.【点睛】本题考查了识别函数的图象.解决此问题可以从定义域、奇偶性、单调性、对称性、周期性入手，易采用排除法，有时找特殊点、特殊值也是常用的方法.7.若，则（ ）A. B. C. -1D. 3【答案】A【解析】【分析】由，可求出的值，所求式子可以写成分母为1的形式，用进行代换，分子、分母同时除以，然后把的值代入求值即可.【详解】,把代入，求得，故本题选A.【点睛】本题考查了两角和的

6、正切公式、正弦的二倍角公式,解决本题的关键是的代换，变成双齐次方程，这样便于求出值来.8.从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，不同选法共有（ ）A. 156种B. 168种C. 180种D. 240种【答案】B【解析】【分析】先求出从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有多少种选法，然后再求出服务队中没有女生有多少种选法，两数相减即可.【详解】从4男2女共6名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队有种选法，服务队中没有女生的选法有种，所以要求服务队中至少有1名女生，不同选

7、法共有种选法，故本题选B.【点睛】本题考查了组合问题、分步计算原理.本题采用的是间接法来求解，当问题的正面的好多种情况时，可以看它的反面情况，这样求解起来简单.9.在中，则的面积为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可以求出,再利用同角的三角函数关系求出，最后用三角形面积公式求出面积.【详解】由余弦定理可知 ，因为，所以，因此，故本题选C.【点睛】本题考查了余弦定理、同角三角函数关系、三角形面积公式.重点考查了运算能力.10.若是函数的极值点，则的值为（ ）A. -2B. 3C. -2或3D. -3或2【答案】B【解析】【分析】由题意可知，这样可求出，然后针

8、对的每一个值，进行讨论，看是不是函数的极值点.【详解】，由题意可知，或当时，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，显然是函数的极值点；当时，所以函数是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故本题选B.【点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出的值，没有通过单调性来验证是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.11.已知函数，若是图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是图象的一条对称轴，说明当时，函数有最值；是图象的一个对称中心，说明当时，函数值为零，这样得到二个等式，可

9、以求出的值.【详解】因为是图象的一条对称轴，所以，又因为是图象的一个对称中心，所以，得，所以可以表示为：，已知，所以是从1开始的奇数，对照选项，可以选C.【点睛】本题考查了已知正弦型函数的对称轴、对称中心求参数问题.重点考查了运算能力.12.双曲线：的左右焦点分别为，的右支上一点满足，若坐标原点到直线距离是，则的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】分别过，作直线的垂线，垂足为，利用中位线性质可以求出,在中，可以求出，利用双曲线的定义，可以求出，在中，利用余弦定理可以得到的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】分别过，作直线的垂线，垂足为，显然, 是的中点,所以=

10、,在中, ,由双曲线的定义,可知:,在中，,故本题选B.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率.解题的关键是利用双曲线的定义、中位线的性质、余弦定理的综合使用,考查了运算能力.二、填空题。13.设，满足约束条件，则的最大值为_【答案】3【解析】【分析】画出可行解域，平移直线，找到的最大值.【详解】画出如下图的可行解域：当直线经过点时,有最大值, 解得, ,所以=3.【点睛】本题考查了线性规划问题，求线性目标函数的最值问题，考查了画图能力.14.设函数，若，则_【答案】【解析】分析】当时，解方程，求出的值，判断是否存在；当时，解方程，求出的值，判断是否存在，最后确定的值.【详解】当时， ，而，故舍去

11、；当时， ，所以.【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力.15.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望_【答案】300【解析】【分析】设没有发牙的种子数为,则有,由题意可知服从二项分布，利用公式可以求出，进而求出的数学期望.【详解】设没有发牙的种子数为,则有,由题意可知服从二项分布，即,.【点睛】本题考查了二项分布.重点考查了这二个公式，一；二是.16.正三棱柱的所有棱长都相等，是中点，则二面角的正切值为_【答案】【解析】【分析】设正三棱柱的所有棱长2,取的中点,这样可以证明出，通过侧面与底面

12、垂直，利用面面垂直的性质定理可以证明出侧面,也就证明出，这样过作,利用线面垂直的判定定理，可以证明出所以平面,也就证出，这样就可以找到二面角的平面角的补角,通过计算可以求出二面角的平面角的补角的正切值，也就求出二面角的平面角的正切值.【详解】设正三棱柱的所有棱长2, 取的中点,连接,由题意可知, ,所以,利用勾股定理可以求得,过作,垂足为,连接,如下图所示:在正三棱柱 中,侧面底面,而侧面底面,所以侧面,平面,所以有,平面,所以平面,而平面,所以,因此是二面角的平面角的补角,在正方形中, 由面积可得,求出,在中, ,所以二面角的正切值为.【点睛】本题考查了求二面角的正切值问题，解决本题的关键是

13、找到二面角的平面角的补角.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演箅步骤。17.数列中，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可以采用累和法进行求解，利用等差数列的前项和公式，可以求出的通项公式；（2），可以采用裂项相消法求出数列的前项和.【详解】解：（1）因为，所以当时， .由于满足，所以求的通项公式为.（2）因为，所以数列的前项和为 .【点睛】本题考查了累和法求数列的通项公式、裂项相消法求数列前项和.解决此类问题的关键是掌握已知所给的通项公式、递推公式的特征.18.为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设，某市组织开展“学习强国

14、”知识测试，每人测试文化、经济两个项目，每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人，分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩，得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下：经济项目测试成绩频率分布直方图分数区间频数235154035文化项目测试成绩频数分布表将测试人员的成绩划分为三个等级如下：分数在区间内为一般，分数在区间内为良好，分数在区间内为优秀.（1）在抽取的100人中，经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人，经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表，并根据列联表判断是否有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关

15、？优秀一般或良好合计男生数女生数合计（2）用这100人的样本估计总体，假设这两个项目的测试成绩相互独立.（i）从该市测试人员中随机抽取1人，估计其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率.（ii）对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.附：0.1500.0500.0102.0723.8416.635.【答案】（1）见解析（2）（i）0.32（ii）见解析【解析】【分析】（1）由频率分布直方图，可以求出经济项目等级为优秀人数的人数，同时可以求出男生数人.经济项目等级为一般或良好的人数，同时可求出男生数，然后填表；计算并结合给出的附表，可以得出结论；（2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件，“

16、文化项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为一般”为事件.分别可求出，从该市测试人员中随机抽取1人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为，计算得出；（ii）记“文化项目等级为一般”为事件，“经济项目等级为优秀”为事件，可求出.可以计算出从该市测试人员中随机抽取1人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为，从这一点上可以看出该市文化项目学习成绩的更好.通过计算文化项目测试成绩良好率估计值，经济项目测试成绩良好率估计值，通过比较，可以得出该市文化项目学习成绩的更好.通过计算文化项目测试成绩平均数的估计值，经济项目测试成绩平均数的估计值为，通过比较，可以得出该

17、市文化项目学习成绩的更好.通过由频数分布表可以求出，该市文化项目测试成绩中位数的估计值，和该市文化项目测试成绩中位数的估计值，通过比较可以得出该市文化项目学习成绩的更好.可以求出该市文化项目测试成绩众数的估计值和经济项目测试成绩众数的估计值，通过比较可以得出该市对经济项目学习研究的更深入.可以求出文化项目测试成绩优秀率估计值、经济项目测试成绩优秀率估计值，通过比较，可以得出该市对经济项目学习研究的更深入.【详解】解：（1）由频率分布直方图，得经济项目等级为优秀人数为.其中女生数为14人，男生数为26人.经济项目等级为一般或良好的60名测试人员中，女生数为34人，男生数为26人.作出列联表：优秀

18、一般或良好合计男生数262652女生数143448合计4060100.由于，故有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关.（2）（i）记“文化项目等级为优秀”为事件，“文化项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为良好”为事件；“经济项目等级为一般”为事件.则，.从该市测试人员中随机抽取1人，其“文化项目等级高于经济项目等级”的概率为.（ii）记“文化项目等级为一般”为事件，“经济项目等级为优秀”为事件，则，.从该市测试人员中随机抽取1人，其“项目经济等级高于文化项目等级”的概率为.因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.文化项目测试成绩良好率估计值为0.9，经济项目测试成绩良好率估计值为0

19、.8，所以该市文化项目学习成绩的更好.文化项目测试成绩平均数的估计值为 .经济项目测试成绩平均数的估计值为 .因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.由频数分布表知，文化项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为.故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.由直方图知，经济项目测试成绩低于40分的频率为，测试成绩低于50分的频率为，故该市文化项目测试成绩中位数的估计值为.因为，所以该市文化项目学习成绩的更好.该市文化项目测试成绩众数的估计值为45（分）.经济项目测试成绩众数的估计值为55（分）.因为，所以该市对经济项目学习研究的更深入.文化项目测试成绩优秀率估计值为0.35，经济项目

20、测试成绩优秀率估计值为0.4，所以该市对经济项目学习研究的更深入.【点睛】本题考查了独立性检验.重点考查了通过用样本的数字特征、均值等方面对总体进行评估，是一道用数学中的统计知识，为决策者提供参考的一道好题.19.如图，四棱锥中，平面，是中点，是线段上的点.（1）若是中点，求证：平面；（2）设与平面所成角为，求最大值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】解法1：（1）建立空间直角坐标系，求出的坐标表示，再证明出平面的法向量是，只要证明出就可以证明平面；（2）设，则，.可以求出，根据和二次函数开口方向，对称轴，可以求出最大值.解法2：（1）取中点为，连结，可得，可以证明出平面，同理可以证

21、明出平面.也就可以证明平面平面，因此平面；（2）同解法1；解法3：（1）同解法2；（2）由，可知.可以证明出，也就能证明出平面，则.可以求出.的最小值为到距离等于，所以的最大值.【详解】解法1：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设.则，所以，.因平面，所以，又，所以平面，平面一个法向量为.因为，平面，所以平面.（2），设，则，.平面的一个法向量为，所以.因为，所以当，即时，取得最大值.解法2：（1）取中点为，连结，则，因为平面，所以平面，同理平面.所以平面平面，因此平面.（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则，所以，.设，则，.平面

22、的一个法向量为，所以.因为，所以当，即时，取得最大值.解法3：（1）同解法2.（2）因为，所以.因为平面，所以，.所以平面，则.设，则，.的最小值为到距离等于，所以的最大值.【点睛】本题考查了证明线面平行，以及线面角的正弦值最大值问题，通过本题的详解可以知道利用常规的立体几何方法和向量方法都能很好地解决问题,20.经过坐标原点的两条直线与椭圆：分别相交于点、和点、，其中直线经过的左焦点，直线经过的右焦点.当直线不垂直于坐标轴时，与的斜率乘积为.（1）求椭圆的方程；（2）求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）最大值6.【解析】【分析】（1）设，由对称性可知，由，相减得，而直线与直线的斜率乘积

23、为，所以，由题意可知，利用，这样可求出的值，进而求出椭圆的标准方程；（2）由题设不平行于轴，设：，与联立得，由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是，利用根与系数的关系，和换元法以及求导法，可以求出四边形面积的最大值.【详解】解：（1）设，由对称性，直线与直线的斜率乘积为.由，相减得.所以，因为，所以，的方程为.（2）由题设不平行于轴，设：，与联立得.，.由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是 .设，当时，函数单调递增，所以当，即时，取最大值6.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及椭圆内接四边形面积最大问题，解决本题的关键是理解掌握椭圆对称性质.21.已知，设函数.（1）讨论单调性；（2）若当时，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，然后根据的不同取值，进行分类讨论函数的单调性；（2）当时，且时，于是等价于，显然若，时，不等式不成立；当若，构造新函数，求导，得，函数在单调递增，所以，可以证明出当时，当时，可以通过找到零点，证明出不恒大于零.【详解】解：（1）.当时，当时，当时，.