高中数学必修5(必修五)课件第一章：解三角形

1、第 一 章,解三角形,1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理,自主学习 新知突破,1了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用 2能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状,1如图，在RtABC中，A60，斜边c4， 问题1ABC的其他边和角为多少,2如图，ABC为锐角三角形作出BC边上的高AD,提示相等,1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 (2)表达式：_,正弦定理,1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角形的问题： 已知三角形的

2、任意两个角与一边，求其他两边和另一角； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角,解三角形,3利用正弦定理解三角形的注意事项： (1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题 (2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时常结合几何作图进行判断,1有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在ABC中，sin Asin Bsin Cabc. 其中正确的个数是() A1B2 C3 D4,解析：正弦定理适用于任意三角形，故均不正确；由正弦定

3、理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故正确；由比例性质和正弦定理可推知正确 答案：B,答案：C,4根据下列条件，解ABC. (1)已知b4，c8，B30，求C，A，a； (2)在ABC中，B45，C75，b2，求a，c，A,合作探究 课堂互动,已知两角及一边解三角形,在ABC中，已知A45，B30，c10，求b. 思路点拨解决本题可先利用三角形内角和定理求C，再利用正弦定理求b,本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边； (2)若所给边不

4、是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边,1在ABC中，已知a8，B60，C75，求A，b，c,已知两边及一边的对角解三角形,思路点拨由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边对角的正弦，然后求解其他边、角,已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角当已知大边对的角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时，则不能判断,判断三角形的形状,在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断ABC的形状 思路点拨已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定理把边化为角，再利用角之

5、间的关系判断ABC的形状,1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断 (2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别,3在ABC中，若bacos C，试判断该三角形的形状,判断三角形解的情况,在ABC中，分别根据所给条件指出解的个数 (1)a4，b5，A30；(2)a5，b4，A90； 思路点拨画出示意图结合大边对大角，判定解的个数,1)三角形解的情况

6、 已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表,2)在三角形中，abAB，而由正弦定理可得absin Asin B所以，在三角形中，sin Asin BAB.因此判断三角形解的个数问题也可以用上述结论,错因】这位同学在解题过程中，犯了一个“致命”的错误已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形时，没有借助大边对大角作出判断，从而导致解题结果不全面的情况解答此类问题时要特别小心，除用以上说明的方法作出判断外，有时也可借助图形加以判断，应尽量避免增根或失根问题的出现,谢谢观看,1.1.2余弦定理,自主学习 新知突破,1了解向量法推

7、导余弦定理的过程 2能利用余弦定理求三角形中的边角问题 3能利用正、余弦定理解决综合问题,在ABC中，AB3，BC2，B60. 问题1ABC确定吗？ 提示确定 问题2能否用正弦定理解上述三角形？ 提示不能,问题3你会利用向量求边AC吗,三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 即a2 _ ， b2 _ ， c2 _,余弦定理,b2c22bccos A,a2c22accos B,a2b22abcos C,cos A_， cos B _ ， cos C _,公式推论,应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的三角形问题有： (1)已知两边和它们的夹角

8、解三角形； (2)已知三角形的三边解三角形,解三角形,2利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充分利用方程思想“知三求一” (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余弦定理的推论也可利用正弦定理求解利用余弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机会,答案：B,答案：A,答案：1,合作探究 课堂互动,已知两边及一角解三角形,已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项 (1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定

9、理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理 (2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题,已知三边(或三边关系)解三角形,已知三边解三角形的方法及注意事项 (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小 (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180确定第三个角的大小 (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一,2在ABC中，若sin Asin Bsin C578，则B的

10、大小是_,利用余弦定理判断三角形的形状,在ABC中，a，b，c分别表示角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状,利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解,3(1)三角形的三边长分别为4,6,8，则此三角形为() A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形 D不存在 (2)在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C

11、，试确定ABC的形状,即a2a2b2c2， 所以bc. 又因为(abc)(bca)3bc. 所以(bc)2a23bc. 所以4b2a23b2. 所以ba.所以abc. 因此ABC是等边三角形 答案：(1)C,设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围,错因】解题时，忽略三角形的三边必须满足两边之和大于第三边，而使某些字母的范围变大 本题实质上是求2a1，a,2a1能构成钝角三角形三边，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边,谢谢观看,12应用举例 第1课时正、余弦定理在实际应用中的应用,自主学习 新知突破,1熟练掌握正、余弦定理 2能够运用正、余弦定理等知识和方

12、法求解距离、高度和角度等问题,如图所示，为了在一条河上建一座桥，施工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸边定出基线BC，现测得BC50米，ABC105，BCA45，则A，B两点的距离为_米,1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做_,测量中的基本术语,2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫_，目标视线在水平视线下方时叫_，如图1,基线,仰角,俯角,3)方位角和方向角 从_方向_转到目标方向线所成的角叫_.如图2，目标A的方位角为135. 从_方向线到目标方向线所成的小于90的水平角

13、叫_，如图3，北偏东30，南偏东45,正北,顺时针,方位角,指定,方向角,4)视角 观察物体的两端视线张开的_如图4,角度,坡角,坡度,测量中的有关概念、名词、术语的应用 (1)在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高 (2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出示意图 (3)方位角的范围是0360，方向角的范围是090,答案：D,2在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂

14、直的方向所成的角为() A15 B30 C45 D60,答案：B,解析：画出示意图，在ABE中,答案：15,4甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追赶过程中乙船行驶了多少海里？ 解析：设甲沿直线与乙船同时到C点， 则A，B，C构成一个ABC， 如图，设乙船速度为v,合作探究 课堂互动,测量距离问题,求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定

15、理，如果都可用，就选择更便于计算的定理,1如图，货轮在海上以50海里/时的速度沿方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为155的方向航行为了确定船的位置，在B点处观测到灯塔A的方位角为125.半小时后，货轮到达C处，观测到灯塔A的方位角为80.求此时货轮与灯塔之间的距离(得数保留最简根号,测量高度问题,如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB,测量高度时需在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区

16、别及联系测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般要转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决,2如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB20 m，在A处测得P点的仰角OAP30，在B处测得P点的仰角OBP45，又测得AOB30，求旗杆的高度,测量角度问题,解决此类问题的关键是根据题意画出图形，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，运用正、余弦定理求解,解析：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D， 则B，C，D在一条直线上，且AD20，AC20,某观测站C在城A

17、的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城,错因】本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解,高效测评 知能提升,谢谢观看,第2课时正、余弦定理在三角形中的应用,自主学习 新知突破,1掌握三角形的面积公式 2利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式求解综合问题,在ABC中，若AC5，BC4，C30. 问题1ABC的面积为多少？ 问题2ABC的面积能否用三角形的两边及其夹角的正弦来表示呢？ 提示能,三角形

18、的面积的计算公式,解三角形面积问题的注意事项： 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用,答案：B,答案：B,答案：3,合作探究 课堂互动,有关三角形的面积问题,思路点拨解答本题先利用余弦定理列出关于b，c的方程，再求解,1已知ABC中，A120，a7，bc8，求b，c，sin B及ABC的面积,三角形中线段长度的计算,解决此类问题要处理好两个方面 (1)找出已知某边长的三角形，从中筛选出可解三角形 (2)找要求线段所在的三角形，确定所需条件解题时应两方面结合，明确解题思路,三角形中的综合问题,思路点拨,此类问题常以三角形为载体，以正

19、、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此要掌握正、余弦定理，掌握三角函数的公式和性质,错因】本题没有注意到ABAC，所以CB，从而C有两解,谢谢观看,知识整合提升,1深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形,2剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为ABC，角A，B，C所对的边分别为a，

20、b，c,3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状； (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状 注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2b2c2，b2c2a2，c2a2b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论,4细解正、余弦定理解实际应用题的步骤 实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解解三角形应用题的一般步骤是： (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确

21、已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)选择正弦定理或余弦定理求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求,热点考点例析,点拨】一般来说，利用正弦定理或余弦定理来判断三角形的形状的问题，按所用知识分类有利用正弦定理、利用余弦定理、同时利用正弦定理和余弦定理三种；按解题方法分类有通过边来判断与通过角来判断两种,利用正、余弦定理判断三角形的形状,在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状 思维点击结合正弦定理将边角关系转化为角的关系或结合余弦定理将边角关系转化为边的关系加以判断,1在ABC中，a，b，

22、c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C. (1)求A的大小； (2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状,点拨】正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据,正、余弦定理的综合应用,思维点击(1)利用正弦定理将边化为角，然后进行三角恒等变换求解 (2)利用余弦定理将角化为边，利用方程组求解,答案：B,答案：D,3在ABC中，若sin2Asin2Bsi

23、n2C，则ABC的形状是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定,解析：如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v， 在ABC中，AC10220(海里)， AB12海里，BAC120， BC2AB2AC22ABACcos 120 784， BC28海里， v14海里/时 故选B. 答案：B,二、填空题 5在ABC中，若b2，B30，C135，则a_,谢谢观看,知识整合提升,1深化对正、余弦定理的理解 正弦定理与余弦定理是三角形边角关系的重要定理，要理解两个定理及其变形,2剖析斜三角形的类型与解法 正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形

24、的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,3.解读判断三角形形状的两种方法 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解： (1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状； (2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状 注意：根据余弦定理判断三角形形状时，当a2b2c2，b2c2a2，c2a2b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论,4细解正、余弦定理解实际应用题的步骤 实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解解三角形应用题的一般步骤