导热微分方程边界条件[51页]

1、第一节 导热,一、导热的基本概念 1、温度场 概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布 情况， 数学表示式： t=f（x，y，z，） 温度场分类,稳定温度场,不稳定温度场,和,一维温度场,二维温度场,三维温度场,稳定温度场：温度场不随时间变化,不稳定温度场：温度场随时间变化,2、等温面和等温线 等温面: 温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。 等温线: 任意一平面与等温面下相交所得的交线。 注意： 同一个等温面上没有热量传递， 热量传递只发生在不同的等温面之间。 3、温度梯度 等温面上的法线方向温度变化率,注意： 温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向,数学表示式,4

2、、热流密度与热流量 热流量（Q ）：单位时间内，经由面积F 所传递的热量。 单位：W。 热流密度(q)：在单位时间内，经由单位面积所传递的热量。 单位： W /m2。 二者关系： Q=qF,注意： 热流密度和温度梯度位于等温面的同一法线上，但指向温度降低的方向,二、导热的基本定律,1傅里叶定律 内容：单位时间内通过垂直于面积F所传递的热量与温度梯度成正比,数学表示式,或,说明： （1）负号表示热量传递方向 与温度梯度方向相反 （2）是导热系数,2导热系数,物理意义：表征物质的导热能力大小 即：单位温度梯度时的热流密度。单位:Wm.,数学表示式,影响导热系数的因素,1）种类的影响 气体： 决定于

3、分子间的相互运动 范围：= 0.0060.6W/（m）。 在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关,液体: = 00707 W（m）。 一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。 固体： A: 金属 -决定于自由电子的运动. 纯金属的导热系数一般随温度升高而减小。 纯金属中以银的导热系数高.=419W/(m)。 纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低,B:非金属： -决定于晶格振动 建筑材料和保温材料： = 0.0253.0 W/（m） 导热系数大多数随着温度升高而增大； 与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。 例如：湿材料的导热系数

4、比干材料的高。 结论,2）、温度的影响： 各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数,当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值,在t1t2内,三、导热微分方程（固体,能量守恒方程,1、推导思路：取微元体，列能量守恒方程,微元体内能的增量=微元体传入的热量-微元体传出的热量 +微元体内热源产生的热量 即：微元体热焓的增量=微元体净热增量 +微元体内热源产生的热量,2、假定条件： （1）物体是各向同性的均质物体 各向同性：指物体各方向的导热系数都相同 （2）物体的物理量、CP均为常数 （3）内热源qv均匀的分布在物体里

5、内热源qv：指单位时间内、单位体积物体所释放出 的热量.单位：w/m3,3、推导过程,以X方向为例进行分析,在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量,故x方向上的净热增量,在d时间内，沿x轴通过左垂面传入六面体的热量,总净热增量,同理,热焓的增量,内热源产生的热量,根据能量守恒： 热焓的增量=传入的热量-传出的热量+内热源产生的热量 即：热焓的增量=净热增量+内热源产生的热量,这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程,方程两边同除以,将上面各式代入,则,可以简写为,或,令,称为导温系数（或热扩散率,1）、导温系数（或热扩散率） 物理意义： 物体内部扯平温度的能力；或不稳定

6、温度场内物体各部分温度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时间变化能力。单位：m2/s,4、讨论,例如：对两个物体加热,2）、qv 有正负，qv 0，物体放热； qv 0，物体吸热。 （3）、若物体内部无内热源，即qv =0，则上式变成,4）稳态导热且内部无内热源,则上式变成,即,5）求解方程的条件 单值条件：解决微分方程所需条件。即必须规定的求解 特定条件,物理条件：参与导热过程的物理特征。 如物理参数： 、CP,几何条件：指物体的某些几何特征。如：形状,时间条件:稳态导热：无时间条件 非稳态导热：给定某一时刻的温度分布 例如：初始条件： =0，t=f(x、y、z,边界条件：反映

7、边界上特点的条件 有三类,三类边界条件,对于不稳定导热,对于不稳定导热,2）第二类边界条件：已知边界上的热流密度,1）第一类边界条件：已知边界上的温度值,如,如,3）第三类边界条件： 已知物体与周围流体间的换热系数及周围流体的温度tf 如：物体被冷却时，可以表示为,对于不稳定导热,x,四、一维稳态无内热源导热分析解,t=f（x,qv =0,求解方法,1）导热微分方程,2）付氏定律,求解目的： （1）温度场 （2）热流密度 或热流量,化简为,一)、无限大平板的稳态无内热源的导热,方法1：运用导热微分方程,求热流密度q和平板内的温度分布,边界条件：x=0，t=t1 ；x=，t=t2,1、通过单层平

8、板的一维稳态导热,一维稳态导热,积分,将边界条件代入得：C2=t1, C1=(t2 -t1),最后得,方法2： 运用付氏定律,在距离板左侧面x处，取一微元体dx,列傅里叶定律的表示式,注：这里传热面积相同，可直接用热流密度公式求解，否则不可以,将上式分离变量后进行积分,A：当 为常数时,积分,当x时，t=t2代入得,若给定面积F,W,Wm2,B：当 为非常数时,导热系数随温度成线形关系,积分,整理得,讨论：=0,温度线性分布 0,温度曲线下凹 0 温度曲线上凹,当x时，t=t2代入得,因此： 在实际求解时，将平均温度的导热系数看成常数进行计算,若给定面积F,W,常用的简便方法-热阻法,根据公式

9、,或,相互对应关系,整个传热面积上热阻,对应的网络热阻图为,则,对应的网络热阻图为,注意：区别Rt与R 只有传热面积沿途不变时，可以采用单位面积上热阻Rt，否则必须采用总传热面积的热阻,只能用R 不能用Rt,Rt，与R都能用,适用,适用,不适用,适用,2、无内源多层平板的稳态导热,多层平板:指由几层材料组成的平壁,如图,假设（1）1，2，3 都为常数 （2）层与层之间接触良好,只各层分界面上无温度降,求解方法：采用傅氏定律公式,对于第三层平板,对于第二层平板,对于第一层平板,因为是稳态导热，由能量守恒原理知： Q1=Q2=Q3=Q,将上面三式相加, 消去t2 和t3 得,整理上式得,1,上式表

10、明：多层平壁的稳态导热可以直接采用热阻网络图法求解,若用热流密度表示，则,相应的网络图,相应的网络图,注：（1）多层平板的稳态导热，因沿途传热量不发生变化也可以采用热流密度公式进行推导。 （2） 接触良好的n层无限大平板传热量为,3、复合平板的导热,复合平板：在高度和宽度上有多种材料所组成的平壁,求解方法：热阻网络图法,式中,注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q1 q2 + q3 ，但Q1 = Q2 + Q3,相应的网络图,二）、一维无内热源的圆筒壁的稳态导热,假设：忽略轴向导热，只考虑径向导热t=f(r) 1、单层圆筒壁的稳态导热,在圆筒壁内距离中心r处取厚为dr的圆

11、筒，由傅氏定律得,求解方法：运用傅氏定律,分离变量并积分,最后得,可见，圆筒壁内温度分布为对数曲线,在r=r2处，tt2，故有,习惯上用单位长度的热流量表示,通过圆筒壁的热阻为,W/m,在工程上，当 r2r12 时，可以按平壁处理,r2-r1 为圆筒壁的厚度,为内、外表面面积的平均值,2、多层圆筒壁的稳态导热,求解方法：热阻网络图法,应用热阻串联时求总热阻的办法，可直接写出,或,自行推导,作业：请采用导热微分方程的方法推导单层圆筒壁的温度分布与传热量,三）、通过球壁的稳态导热,在半径r处取厚为dr的微元球壳，应用傅里叶定律，通过该球壳的导热量为,总结： 从上面看出：采用复傅氏定律求解稳态导热问

12、题的步骤问题： （1）取微元体，列傅氏定律方程 （2）积分方程 （3）求解温度梯度分布 （4）代入边界条件，求传热量,四、具有内热源的稳态导热,求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解,例1：具有内热源的圆柱体的稳态导热过程分析,假定该圆柱面上维持均匀的温度tw ,圆柱体半径为R，内有内热源Qv,圆柱坐标的导热微分方程,边界条件： （1）表面处：r=0，t=tw； （2）内热源发热量=表面散热量,对方程积分,得,将边界条件代入求得c1与c2,将c1与c2代入温度分布得,圆柱中心处（r=0,四、具有内热源的稳态导热,求解方法：导热微分方程。（注：不能用傅氏定律方程求解,例2：具有内热源的单层平壁的稳态导热分析 设有一具有内热源Qv，厚度为无限大的平壁，其导热系数为，且不随温度变化,假定该平板两侧面上维持均匀的温度，分别为 t1和 t2，且 t1t2,导热微分方程,边界条件：x=0，t=t1 ； x=，t=t2,方程两边同除以a,积分,再积分,将边界条件代入得,整理得温度分布,分析： 1）温度分布曲线为抛物线 qv0时，抛物线的形状为上凸，有一最高点,积分温度分布，令其为零,求得最高点的位置,若t1=t2, 则,表明最高点的位置在平壁