13直线与圆的方程的应用提高知识讲解x

1、精品资料13、直线与圆的方程的应用（提高）直线与圆的方程的应用（提高）学习目标1. 能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2. 能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3. 进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用.要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1. 从实际问题中提炼几何图形；2. 建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转 化为代数问题；3. 通过代数运算，解决代数问题；4. 将结果“翻译”成几何结论并作答.要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直 线、圆；然后对坐标和方程进行代数

2、运算；最后再把代数运算结果“翻译”成 相应的几何结论这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具（即有关公式）将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿 解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1. 建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐 标系；2. 在实际问题中，有些量具有一定的条件

3、，转化成代数问题时要注意范围；3. 最后要把代数结果转化成几何结论.典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1.有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之 购得商品运回来，每公里的运费 A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公 里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同 地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【答案】圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆 C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物.【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为 y轴，建立直角坐标系，如下图所示.设A (- 5, 0),则B ( 5, 0)在

4、坐标平面内任取一点P ( x, y),设从A地运货到P地的运费为2“元/ km,则从B地运货到P地的运费为a元/ km若P地居民选择在A地购买此商品,r 25?X十一3丿C:f 2站 X +即点P在圆3丿十严整理得2( + 5)+320T,的内部.也就是说，圆C内的居民应在A地购物.同理可推得圆C外的居民应在B地购物.圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购 物.【总结升华】 利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：(1)认真审题，明确题意;(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建 立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果

5、还原为对实际问题的解释.|在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角 的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系.建立适当的直 角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标 轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴 上建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.要想学会建立适当的直角坐标 系，必须靠平时经验的积累.【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m,在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱|雄马的长度（精确到0.01m）.【答案】3.86m【解析】建立坐标系如图所示

6、圆心的坐标是（0, b ）,圆的半径是F,那么圆的方程 d严+O-硏因为P（0,4）、B（10,0）都在圆上，所以Jo2 + （4-&）2 = r2w2 十（0_孙2 = r2解得以所以圆的方程为宀TOg心把E(-2,p)代入圆的方程得(-2)2 + 0 + 103=14于，所以严3用6,即支柱的高度约为3.86m【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40km/h的速度向西偏北30方向移动据测定，距台风中心250 km的圆形区域内 部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到 分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解如图，

7、不妨先建立直角坐标系 xOy,其中圆A的半径为250 km,过B(300, 0)作倾斜角为150。的直线交圆于点C、D,则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢23以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300, 0)处，台风中心沿倾斜角为150方向的直线移动，其I I迺I轨迹方程为 y二 3 (x-300)(x W300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于 C、D,则CA=AD=250 , A台风中心到达C点时，开始影响该市，中心

8、移至 D点时，影响结束，作AH丄CD于H,则AH=AB sin30 =150, h=200,150&-200BC=1刃右-200,则该市受台风影响的起始时间ti= 40 心 1.5(h),ggg+zoo即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2=4二io(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建 立适当的坐标系，设出点的坐标还要搞清里面叙述的术语的含义.|构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意|义，也就是由数思形|II II如方程y二1+ J話示以(0, 1)为圆心，1为半径的上半

9、圆，*表示原点与曲 线f(x, y)二0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2. AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE,延长ED到P使IPDI=IABI ,求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点(0, - r)【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法.证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点,建立直角坐标系，如下图.设圆的方程为 x2+y2=r2 ,直径AB位于x轴上，动直径为 CD.令 C ( xo, yo),贝 lj D ( x o, yo),.P ( xo, yo 2r)直线C

10、P的方程为即 （yo+r）x （y+r）x o=O.直线CP过直线：x=0, y+r二0的交点（0, r）,即直线CP过定|点（0, r）【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方 法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释|代数运算结果的实际含义.【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆 O的直径AB相切于D,圆C与圆D交于E、F,求证：EF平分CD.证明：令圆O方程为x2+y2=l.EF与CD相交于H,令C （ x , y ）,则可得圆C的方程1 12 2 2 2 2(X

11、 x i)+(y yi) =yi , 即 x+y 2x ix 2yi y+xi二0.2一得 2xix+2yiy 1 xi =0.式就是直线EF的方程，设CD的中点为H,其坐标为将H，代入式，得2彳+ 2外 mX；二2彳+甘_ 1_才二彳+才-1 = 0即 H，在 EF 上， EF CD.类型三：直线与圆的方程在代数中的应用丁 - 23已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0,求工-1的最大值与最小值.3十书3-【答案】44|【解析】|如图所示，设M ( x, y),则点M在圆6(x+2)2+y2=l 上.2),则设y-2,即 kx y k+2=0过Q作圆6的两条切线QA、QB,则直线QM夹在

12、两切线QA、QB之间，*. kAQkQM WkQB |_2 + 2| 一f 广 1又由6到直线kx-y-k+2=0的距离为1,得 (疋+1,即4I心I”需I 3-馆n虫7的最大值为 * ,最小值为 4 .【总结升华】I本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数” I联想到“形”呢？关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方 程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化.本例中由方程联想得到圆，由文一1等联想到斜率公式.I 由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结 I 构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解

13、析几何的有关知识并结 - 合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用. I 涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地： I(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 d=(x-a)2+(y- b)2形式的最值问题，可转化为到定点P (a, b)距离的平方的最 值问题./ : 力呂(兀)二一兀+ 1【变式】设函数/二a +和3,已知当xG -4, 0时,恒有,(力仗)门求实数a的取值范围.【解析】、十,a + -Jx2 x +1JF 4/ 兰一兀 + 1 a

14、因为/U) 讥=0 羽花+畑 = （3-2戸），（3- 2儿）+羽？二96（”+必）+钏必-9 24十 12+加=0解得：於=3【答案与解析】1.【答案】B【解析】圆心C （2, 3）,丨川匚卜丽，切线长1 - J101 = 32.【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A （0, 0）,B （40, 0）设台风的移动方向是射OC,则射线OC的方程是以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点, 则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内点B到直线OC的距离是20旋（千米），因此B城市处于32 = 1危险区内的时间为20（小时）故选B.3

15、.【答案】D+ 7 = 1【解析】直线AB的方程是耳 2 , |丄|=2的，则当 ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值.又圆心M （ 1, 0）,半径r=l，点32M到直线-22 的距离是2,由圆的几何性质得d的最大值是,所以 ABC而积的最大值4.-X【答案】c故选D.【解析】结合圆的几何性质，得圆心 C到直线 的距离d满足lVdV3.所以13x2-4x1；J9+16解得一17 k- 7 或 3 k &、d3.而圆心Oi在这6 个区域时,&5 1必门（最多4个公共点）；（最多2个公共点）；询1 d2 圆半径为r ,其中i二a 0,因此圆方程是(x - a) 2+

16、(y - a) 2=a2由圆过点(4, 1)得(4 a) 2+(1 a)2 =a2,即 a2 10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心Ci, C?的12. 【答案】一1x2+(y-l)2=lfcpwgh - 1【解析】由题可知,又kikpQ二一l=ki=1,圆关于直线*对称，找到圆心(2, 3)的对称点(0, 1),又圆的半径不变，易得x2+(y1)2=1.13. 【答案】x2+y2 6x+2y 6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为 x2+y24x 6+ (x 2+y24y6)=0 (丸工一1),1十久 1 +兄r 2 2几圆心坐标为11十才1十月丿.又.圆心在直线xy4二0上，2刘加“

17、1一一4 = oa=一.1十彳1 + 2，即 3 ,所求圆的方程为x2 +y2 6x+2y6=0.14. 【答案】(1) 1.7h后观测站受到影响，影响时间是 37hM城4.2 h后受到影响，影响时间是3.7h【解析】(1)设风暴中心到C处A开始受到影响，到 D处A结束影响，由题意有 AC二360, AB=450, Z ABC=45 ,设 BC=x,贝国? - 45024?-450J2a .即= 22572+45714 ?故月(7= 225庞一們J17胃 149 7S .匚7=90肺，故149.76 901.7 ,即约1.7 h 后观测站受到影响，影响时间是佰附3/7 ( h).225=2 5

18、(2)而 MABC,M城比A气象观测站迟90h)受到影响,故M城4.2h后受到影响，影响的时间是3.7 h9+2辰?-2加15. 【答案】(1)最大值为5,最小值为 5(2)最大值为51 ,最小值为11(3)最大值为& + 2罷,最小值为6-2血【解析】方程 x2 +y26x6y+14=0,变形为(x 3) 2+(y 3) 2=4.y(1) X表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜 率最大或最小.设切线方程为y=kx,即kxy=0,由圆心C ( 3, 3)到切线的距离等于半径长2,可得7P+1,k 解得y9+2V14所以，匚的最大值为5最小值为(2) x?+y2+2x+3二(x+l)2+y2+2,它表示圆上的点 P 到 E ( - 1, 0)的 距离的平方再加2,所