动点问题练习(答案

1、2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，且DM=1 N为对角线AC上任意一点，则DN+MN勺最小值为53、如图，在 RtA ABC 中，N ACB=90 Z B = 60, BC=2 .点 O 是 AC 的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C作CE / AB交直线I于点E，设直线I的旋转角为?.（1）当二度时，四边形 EDBC是等腰梯形，此时 AD的长为当二度时，四边形 EDBC是直角梯形，此时 AD的长为（2）当- =90时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.解：（1 30, 1 : 60, 1.5 ;（2）当/ a =

2、900时，四边形 EDB（是菱形./ a =/ ACB=90,. BC/ ED tCE/AB 二四边形 EDB（是平行四边形 在 Rt ABC中, / ACB=90,/ B=600, BC=2,/ A=30. AB=4,AC=2 AO=2-AC.在 Rt AOD中,/ A=300,. AD=2. BD=2. B=BC又四边形 EDBO平行四边形,四边形EDB（是菱形动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题 关键：动中求静数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯

3、形 ABCD中，AD/ BC,/ B=90, AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm点 P从 A开始 沿AD边以1cm/秒的速度移动，点 Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果 P, Q分别从A, C同时出发，设移动时间为 t秒。当t=时，四边形是平行四边形；6当t=时，四边形是等腰梯形 8word范文图2N4、在 ABC中，/ ACB=90, AC=BC 直线 MN经过点 C,且 AD丄MN于 D, BE丄 MN于 E.图3word范文(1) 当直线 MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： AD3A CEBDE=ADF BE 当直线 MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：

4、DE=AD-BE 当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问 DE AD BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关 系，并加以证明.解：(1 / ACD=/ ACB=90 / CADf ACD=90/-Z BCE+Z ACD=90/ CADZ BCE T AC=BCADCA CEB/ ADCA CEB CE=AD CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) tZ ADCZ CEB=/ ACB=90ACDZ CBE 又 t AC=BCACDA CBE CE=AD CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN旋转到图 3 的位置时，DE=BE-AD或 AD=BE-DE BE=AD+D

5、等)tZ ADCZ CEBZ ACB=90/ ACDZ CBE 又 t AC=BCACDA CBE/AD=CE CD=BE/ DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题： 如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.AEF =90：,且EF交正方形外角.DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点 M连接 ME则 AM=EC,易证 AME ECF，所以 AE =EF .在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1 )小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点 E是边BC上(除B, C外)的任意 一点”，其它条

6、件不变，那么结论“ AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明 过程；如果不正确，请说明理由；如果不正确，请说明理由.ODGB E C 图1(2)小华提出：如图3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF 仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程； 解：(1)正确.证明：在 AB上取一点M，使AM二EC，连接ME .二 BM =BE . aZ BME=45 二N AME =135 :CF 是外角平分线，二 乂 DCF =45。，:上 ECF =135 .AME ECF .图3P从M沿射线MB方TNAEB+NBAE =90 A

7、EB+NCEF=90BAE - CEF . AME BCF (ASA).(2)正确. 证明：在BA的延长线上取一点 N 使AN =CE ,BN 二 BE . N = PCE =45。. ；四边形ABCD是正方形，.AD II BE .DAE BEA .NAECEF. ANEECF (ASA). AE 二 EF .6、如图，射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点 向以1个单位/秒的速度移动，设 P的运动时间为t.求(PAB为等腰三角形的t值；(2) PAB为直角三角形的t值；(3) 若AB=5且Z ABM=45。，其他条件不变，直接写出PAB为直角三角形

8、的t值AHC(P) BBp7、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E是AB的中点，过点E作EF / BC交CD于点F . AB = 4, BC = 6 , / B - 60 .求：（1）求点 E 到 BC 的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM _EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC 于点N，连结PN，设EP二X.当点N在线段AD上时（如图2）, PN 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P，使 PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解（1

9、）如图1,过点E作EG _ BC于点G.BE =丄 AB = 2. E为AB的中点，2在 RtAEBG 中，/ B=60,:丄 BEG =30 .BG 中一1, E .k-G即点E到BC的距离为-、3.(2) 当点N在线段AD上运动时， PMN的形状不发生改变./ PM _EF，EG _EF，/ PM / EG. EF / BC,二 EP = GM , PM 二 EG 二、3.同理 MN = AB 二 4.如图2,过点P作PH _ MN于H，: MN / AB,1 /3/ NMC 二/ B =60，/ PMH =30 . 二 PH PM=-2 2 MH 二 PMbcos30 =3.nG图1图2

10、则 NH =MN MH =4一？ =5.2 2在 RtAPNH 中，PN 二.NH2 PH2 PMN 的周长=PM PN MN = .3、_7 4.当点N在线段DC上运动时， PMN的形状发生改变，但 MNC恒为等边三角形. 当PM =PN时，如图3，作PR_MN于R，则MR =NR.3类似，MR . MN=2MR=3./ MNC 是等边三角形， MC=MN=3.2图3图4GM图5当MP二MN时，如图4，这时MC =MN =MP 此时,x = EP=GM =6-1-、3 =5 - “3.此时，x = EP 二 GM 二 BC -BG -MC =6-1-3 = 2.当 NP 二 NM 时，如图

11、5，/ NPM =Z PMN =30 . 则/ PMN =120，又/ MNC = 60， / PNM - Z MNC =180 . 因此点P与F重合， PMC为直角三角形.- MC 二 PMLlan30 =1. 此时，x 二 EP 二 GM =6-1 一1 = 4.综上所述，当x=2或4或5-.3时， PMN为等腰三角形.8、如图，已知AABC 中, AB二AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1 )如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点 Q在线段CA上由C点向A点运 动 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过 1秒后， BPD与 CQP是否全等，请

12、说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时， 能够使 BPD与CQP全等？(2)若点Q以中的运动速度从点 C出发，点P以原来的运动速度从点 B同时出发，都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC的哪条边上相遇？解: (1 ：t =1 秒，BP 二CQ =3 1=3厘米，AB=10厘米，点D为AB的中点， BD=5厘米.又PC=BCBP, BC =8厘米，PC =8 3 = 5厘米，PC = BD又 AB = AC厶B =NC BPD CQPvp =Vq , . BP =CQ ,又 BPD CQP , . B =/C，则 BP 二 PC

13、 = 4, CQ 二 BD = 5BP 4t =点P,点Q运动的时间3 3秒，(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,CQ515=Qt443厘米/秒。1580x = 3x 2 10x =由题意，得4解得3秒803 =80点P共运动了厘米. 80 = 2 28,24,.点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形 ABC中, AB=4,Z BAD120 AEF为正三角形，点 E、F分别在菱形的边 BC. CD 上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1 )证明不论E、F在BC CD上如何滑动，总有 BE=CF;(2)当点E、F在BC CC上滑动时

14、，分别探讨四边形 AECFFA CEF的面积是否发生变化？如果不变， 求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.A【答案】解：(1)证明：如图，连接 AC四边形ABC助菱形，/ BAD12O/ BAE / EA(=60 / FAG/ EAC60/ BA匡/ FAC/ BAD120 / ABF=60o ABCA ACD为等边三角形。 / AC=60 AC=AB / ABE：/ AFC在厶 ABEDA ACF中，T/ BAE/ FAC ABAC / ABE：/AFC ABEA ACF( ASA。 BE=CR(2)四边形AECF的面积不变， CEF的面积发生变化。理由如下:由(1)得厶 ABEA

15、 ACF 贝V Saab=Saacf。 S 四边形 aec=Sa ae(+Sa ac=Sa aec+Sa abe= Sa ABC 是定值。作 AHL BC于 H 点，贝U BH=2,s四边形aecf =s abc h1 BC AH BC AB2 BH2 =4 3。2 2由垂线段最短”可知：当正三角形 AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短.故厶AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,又Sa CE=S 四边形 AECF- Sa AEF, 则此时 CEF的面积就会最大. Sa ce=S 四边形AECSa AEF = 431 加3 J(23( r3。 CEF勺

16、面积的最大值是 3。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】(1)先求证ABAC进而求证 ABC ACD为等边三角形，得/ ACF=60 AC=AB从而求证 ABEA ACF 即可求得 BE=CF(2 )由厶 AB= ACF可 得 Six ABE=SaACF,故根据 S 四边形 AE(F=SaAEc+S ACf=SAAE(+S AbE=Sl ABC 即可得四边形AECF勺面积是定值。当正三角形 AEF的边AE与 BC垂直时，边AE最短. AEF的面积会随着 AE的变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF的面积会最小，根据 Sc

17、ef=S四边形aecf SXaef,则厶CEF的面积就会最大。10、如图，在 AOB中，/ AOB=90, OA=OB=6 C为 OB上一点，射线 CDOB交 AB于点 D, OC=2 点 P 从点A出发以每秒 个单位长度的速度沿 AB方向运动，点 Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿 CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随之停止.过点 P作PEL OA 于点E, PFL OB于点F,得到矩形PEOF以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN斜边MIN/ OB且MN=Q.C设运动时间为t (单位：秒).(1 )求t=1时FC的长度.(2)求MN=PF寸t的

18、值.(3 )当厶QMN和矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积 S与t的函数关系式.(4) 直接写出 QMN勺边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值.LZLO F CB考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形，可得= , J , OF=EP=,再将t=1代入求出FC的长度；(2) 根据MN=PF可得关于t的方程6-t=2t，解方程即可求解；(3) 分三种情况：求出当 1弐2时；当2 v t&时；当卫v t W时；求出重叠(阴影)部分图形3 3面积s与t的函数关系式；(4) 分M在OE上；N在PF上两种情况讨论求得 QMN勺边与矩形PEOF的边有三个公共点时 t 的值.解答：解：(1)根据题意， AO