(完整版)高三数学导数知识点归纳总结,推荐文档

1、考试内容：导数知识点总结函数的极值函数的单调性导数的运算法则导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(nn+)的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值导数的应用导数的运算导数导数的概念常见函数的导数导数的几何意义、物理意知识要点：函数的最值1. 导数（导函数的简称）的定义：设x

2、0 是函数 y = f (x) 定义域的一点，如果自变量x 在x0 处有增量dx ，则函数值 y 也引起相应的增量dy = f (x + dx) - f (x ) ；比值dy = f (x0 + dx) - f (x0 ) 称为函数 y = f (x) 在点x 到 00dxdx0x + dx 之间的平均变化率；如果极限 lim dy = limf (x0 + dx) - f (x0 ) 存在，0dx0 dxdx0dx则称函数 y = f (x) 在点x0 处可导，并把这个极限叫做 y = f (x) 在x0 处的导数，记作 f (x ) 或y |，即 f (x ) = lim dy = lim

3、f (x0 + dx) - f (x0 ) .0x= x0注：0dx0 dxdx0dx dx 是增量，我们也称为“改变量”，因为dx 可正，可负，但不为零.以知函数 y = f (x) 定义域为 a ， y = f (x) 的定义域为b ，则 a 与b 关系为 a b .2. 函数 y = f (x) 在点x0 处连续与点x0 处可导的关系：函数 y = f (x) 在点x0 处连续是 y = f (x) 在点x0 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果 y = f (x) 在点x0 处可导，那么 y = f (x) 点x0 处连续.事实上，令x = x0 + dx ，则x x0 相当于dx

4、0 .于是 limx x0f (x) = limdx0f (x0 + dx) = lim f (x + x0 ) - f (x0 ) + f (x0 )dx0= lim f (x0 + dx) - f (x0 ) dx + f (x) = lim f (x0 + dx) - f (x0 ) lim + limf (x ) = f (x ) 0 + f (x ) = f (x ).dx0dx0dx0dxdx0 dx00000如果 y = f (x) 点x0 处连续，那么 y = f (x) 在点x0 处可导，是不成立的.例： f (x) =| x | 在点x = 0 处连续，但在点x = 0 处

5、不可导，因为dy = | dx | ，00dxdx当dx 0 时， dy = 1 ；当dx 0 时， dy = -1 ，故 lim dy 不存在.dxdxdx0 dx注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数 y = f (x) 在点x0 处的导数的几何意义就是曲线 y = f (x) 在点(x0 , f (x) 处的切线的斜率，也就是说，曲线 y = f (x) 在点 p (x0 , f (x) 处的切线的斜率是 f (x0 ) ，切线方程为 y - y0 = f (x)(x - x0 ).4. 求导数的四则运算法则：(u v) = u

6、 v y = f1 (x) + f 2 (x) + . + f n (x) y = f 1(x) + f (2x) + . + f n(x)(uv) = vu + v u (cv) = c v + cv = cv （c 为常数）= u v 注：vu - v u (v 0)v 2 u, v 必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设 f (x) = 2 sin x + 2 ， g(x) = cos x - 2 ，则 f (x), g(x) 在x = 0 处均不可导，xx但它们和 f (x) + g(x) =sin

7、x + cos x 在x = 0 处均可导.5. 复合函数的求导法则： f x (j(x) = f (u)j(x) 或yx = yu ux复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y = f (x) 在某个区间内可导，如果f (x) 0，则 y = f (x) 为增函数；如果 f (x) 0，则 y = f (x) 为减函数.常数的判定方法；如果函数 y = f (x) 在区间i 内恒有 f (x) =0，则 y = f (x) 为常数.注： f (x) f 0 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如y = 2x 3 在(-,+) 上

8、并不是都有 f (x) f 0 ，有一个点例外即 x=0 时 f（x）= 0，同样 f (x) p 0 是 f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在x0 附近所有的点，都有f (x) f (x0 ) ，则 f (x0 ) 是函数 f (x) 的极大值，极小值同理） 当函数 f (x) 在点x0 处连续时，如果在x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f (x) 0，那么 f (x0 ) 是极大值；如果在x0 附近的左侧 f (x) 0，右侧 f

9、 (x) 0，那么 f (x0 ) 是极小值.也就是说x0 是极值点的充分条件是x0 点两侧导数异号，而不是f (x) =0. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然， 极值是一个局部概念， 极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注： 若点x0 是可导函数 f (x) 的极值点，则 f (x) =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点x0 是极值点的必要条件是若函数在该点可导， 则导数值为零.例如：函数 y = f (x) = x 3 ， x = 0 使 f (x) =0，但x = 0 不是极值点.例如：函数 y = f (x)

10、=| x | ，在点x = 0 处不可导，但点x = 0 是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：i. c = 0 （c 为常数）(sin x) = cos x1- x 2(arcsin x) =1(xn ) = nxn-1 （ n r ）(cos x) = - sin x1- x 2(arccos x) = -1ii.(ln x) = 1x(log ax) = 1 log exa(arctan x) =1x 2 +1(e x ) = e x(a x ) = a x ln

11、a(arc cot x) = -1x 2 +1iii. 求导的常见方法：常用结论：(ln | x |) = 1 .x形如 y = (x - a )(x - a ).(x - a ) 或 y = (x - a1 )(x - a2 ).(x - an ) 两边同取自然对数，12n(x - b1 )(x - b2 ).(x - bn )可转化求代数和形式.无理函数或形如 y = x x 这类函数，如 y = x x 取自然对数之后可变形为ln y = x ln x ，y =1对两边求导可得 yln x + x x y = y ln x + y y = x x ln x + x x .“”“”at t

12、he end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise