(完整版)高一数学下学期知识点复习+经典例题(解析),推荐文档

1、知识点复习知识点梳理（一）正弦定理： asin a=bsin b=csin c= 2r （其中 r 表示三角形的外接圆半径）适用情况：（1）已知两角和一边，求其他边或其他角；（2）已知两边和对角，求其他边或其他角。变形： a = 2r sin a ， b = 2r sin b ， c = 2r sin csin a = a ， sin b =2ra + b + csin a + sin b + sin cb ， sin c = c2r2r= 2r a : b : c = sin a : sin b : sin ca 2 + c 2 - b 2（二）余弦定理： b 2 = a 2 + c 2 -

2、 2ac cos b （求边），cosb=（求角）2ac适用情况：（1）已知三边，求角；（2）已知两边和一角，求其他边或其他角。（三）三角形的面积：s = 1 a h = l；s = 1 bcsin a = l ；2a2 s = 2r 2 sin asin b sin c ； s = abc ；4rp( p - a)( p - b)( p - c) s =； s = pr （其中 p = a + b + c ，r 为内切圆半径）2（四）三角形内切圆的半径： r = 2sd，特别地， ra + b + c（五）abc 射影定理： b = a cos c + c cos a ，（六）三角边角关系：

3、= a + b - c斜直2（1）在dabc 中， a + b + c = a； sin( a + b) = sin c ； cos( a + b) = - cos ccos a + b = sin c ； sin a + b = cos c2222（2）边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3） 大边对大角：a b 考点剖析a b（一）考查正弦定理与余弦定理的混合使用例 1、在abc 中，已知,且=2, b = 4, a + c = 8 ,求a、c 的长.例 1、解：由正弦定理，得 asin a=csin c asin 2c=csin c a = 2c

4、 cos c又a + c = 8 cocc = 8 - c2cc2 = a2 + b2 - 2abcos c由余弦定理，得= 4c2 cos2 c + 16 - 16 cos2 cc =165c =4 a =24 ，c = 16入，得a =或24 a =5(舍)55 4例 2、如图所示，在等边三角形中， ab = a, o 为三角形的中心，过o 的直线交ab 于m ，交 ac 于 n ，求1om 2+1on 2的最大值和最小值3例 2、【解】由于o 为正三角形 abc 的中心， ao =a ，aa2a3mao = nao = ，设moa =a，则 a，633在daom 中，由正弦定理得：om=

5、oaa ，sin maosina- (a+ )63 a3 aa om =6sin(a+) 6，在daon 中，由正弦定理得： on = sin(a- a )611612 sin2 (a a sin2 (a a= 12 ( 1 + sin2a) ，+=+- om 2on 2a26 )6 )a2 2a2a3a1118 a， sina1，故当a=时+取得最大值，a=33a所以，当, or4a22时sin a=3 ，此时 21om 21+on 2a215取得最小值334om 2on 2a2变式 1、在abc 中，角 a、b、c 对边分别为a, b, c ，已知b 2 = ac,且a 2 - c 2 =

6、 ac - bc ，（）求的大小；（）求 b sin b 的值c变式 1、解（） b 2 = ac, a 2 - c 2 = ac - bc b 2 + c 2 - a 2 = bc在abc 中，由余弦定理得cos a = b 2 + c 2 - a 22bc= bc = 1 2bc2 600（）在abc 中，由正弦定理得sin b = b sin 600a b 2 = ac, a = 600 b sin bb 2 sin 600= sin 600 =3 c=ca210变式 2、在dabc 中， a、b 为锐角，角 a、 c 所对的边分别为a、 c ，且sin a =5 , sin b =51

7、02（i） 求 a + b 的值；（ii）若a - b =-1 ，求a、 c 的值。10变式 2、解（i） a、b 为锐角， sin a =5 , sin b =5101- sin2 a cos a = 2 5 , cos b = 3 101- sin2 b3 10510cos( a + b) = cos a cos b - sin asin b = 2 5 -5 10 =2 . 0 a + b a a + b = a45105102（ii） 由（i）知c = 3asin c =2 ， a42由sin a = b = c得 5a =10b =2c ，即a =2b, c =5bsin bsin

8、c225又 a - b =-12b -b =-1 b = 1 a =2, c =（二）考查正弦定理与余弦定理在向量与面积上的运用例 3、如图，半圆 o 的直径为 2，a 为直径延长线上的一点，oa=2，b 为半圆上任意一点，以 ab 为一边作等边三角形 abc。问：点 b 在什么位置时，四边形oacb 面积最大？例 3、解：设aob = a，在aob 中，由余弦定理得：ab2 = oa2 + ob2 - 2 oa ob cos aob= 12 + 22 - 21 2cosa= 5 - 4cosa于是，四边形 oacb 的面积为3s=saob+ sabc = 1 oa ob sina+24= 1

9、 2 1sina+3 (5 - 4 cosa)24ab2=sina-cosa+ 5 3 = 2 sin(a a )5 33因为0 a a，所以当a- + 434a a，a = 5a 5aaob =时，6-=，即326四边形 oacb 面积最大例 4、在abc 中，角 a、b、c 的对边分别为a、b、c，72 4 sina + b - cos 2c = 7 , a + b = 5, c =22（1） 求角 c 的大小；例 4、解：（1）由4 sin 2（ ）求的面积a2abc+ b - cos 2c = 7 , 得4cos2 c - cos 2c 72222 4cos2c4cosc解 得 cos

10、 c = 120c180,c=60 c60（2）由余弦定理得 c2a2b22ab cos c即 7a2b2ab 又 ab5a2b22ab25由得 ab6 s 1 ab sin c = 3 3abc22urur rr变式 3、已知向量m = (a + c, b) ，n = (a - c, b - a) ，且m n = 0 ，其中 a, b, c 是abc 的内角， a, b, c 分别是角 a, b, c 的对边.(1) 求角c 的大小；（2） 求sin a + sin b 的取值范围.ur r222变式 3、解：（1）由m n = 0 得(a + c)(a - c) + b(b - a) =

11、0 a + b - c= aba2 + b2 - c2ab1由余弦定理得cos c = 0 c a2ab c = a32ab2(2) c = a3 a + b = 2a3sin a + sin b =sin a + sin( 2a a) = sin a + sin 2a2a -cos a- cos333sin a cos a= 3 sin a +3=33(sin a+ 1 cos a) 0 a 2a2222=3 sin( a + a)6 a a + a 5a366633) 1 sin( a + a 13 sin( a + a 26263即 3 0 与 ax2bxc000)的图象一元二次方程ax

12、2bxc0(a0)的根有两相异实根 xx1 或xx2有两相同实根xx1无实根一元二次不等式的解集ax2bxc0(a0)x|xx2x|xx1rax2bxc0)x|x1xx2若 a0 时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解1. 不等式 x(12x)0 的解集是()，(，1)(0，1)(1)(1)a. 2答案：bb.2c(，0) 2d. 22不等式 9x26x10 的 解1集 是()a.error!b.3答案：bc.error!dr3若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是() a(1,1)b(2,2)c(，2)(2，)d(，1)(1，) 解析：选 c

13、由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即m240，解得 m2 或 m2.4已知集合 axr|x2|3，集合 bxr|(xm)(x2)0，且 ab(1，n)，则m，n.解析：因为|x2|3，即5x1，所以 a(5,1)，又 ab，所以 m0 的解集为(，)，则实数 a 的取值范围是； 若关于 x 的不等式 x2axa3 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是解析：由 10，即 a24(a)0，得4a0； 由 20，即 a24(3a)0，得 a6 或 a2. 答案：(4,0) (，62，)一元二次不等式的应用典题导入例 3 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售

14、出 100 件若售价降低 x 成(1 成810%)，售出商品数量就增加 5x 成要求售价不能低于成本价(1) 设该商店一天的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域；(2) 若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围(1 x )(1 8 x)自主解答 (1)由题意得 y100因为售价不能低于成本价，x所以 100(110)800.10 10050 .所以 yf(x)20(10x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得 20(10x)(508x)10 260， 化简得 8x230x130.113解得2x 4 .1，2所以 x 的取值

15、范围是 2.由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3) 解不等式；(4) 回答实际问题以题试法3. 某同学要把自己的计算机接入因特网现有两家 isp 公司可供选择公司 a 每小时收费 1.5元；公司 b 在用户每次上网的第 1 小时内收费 1.7 元，第 2 小时内收费 1.6 元，以后每小时减少0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时，按 17 小时计算)假设该同学一次上网时间总是小于17 小时，那么该同学如何选择 isp 公司较省钱？解：假设一次上网 x 小时，则公司 a 收取的费

16、用为 1.5x 元，公司 b 收取的费用为x(35x)20元若能够保证选择 a 比选择 b 费用少，则x(35x)201.5x(0x17)，整理得 x25x0，解得 0x5，所以当一次上网时间在 5 小时内时，选择公司 a 的费用少；超过 5 小时，选择公司 b 的费用少【2016 年高考会这样考】基本不等式1. 考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2. 考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1. 突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2. 训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养基础梳理ab1. 基本不等式： ab 2(1) 基本不等式成立的条件：a0，b0

17、.(2) 等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2. 几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，br)；ba(2)ab2(a，b 同号)；(3)ab( 2 )2(a，br)；ab(4)2 2(a，br)a2b2(ab)23. 算术平均数与几何平均数ab设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4. 利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)p2(2) 如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时，xy

18、 有最大值是 4 .(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2b2aba2b22ab 逆用就是 ab 2； 2 ab(a，b0)逆用就是abab( 2 )2(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等两个变形a2b2ab(1)2( 2)2ab(a，br，当且仅当 ab 时取等号)；2ab11aba2b22 2(2)ab(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(

19、2) 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致考向一 利用基本不等式求最值11【例 1】(1)已知 x0，y0，且 2xy1，则xy的最小值为；2x(2)当 x0 时，则 f(x)x21的最大值为11审题视点 第(1)问把xy中的“1”代换为“2xy”，展开后利用基本不等式； 第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解析 (1)x0，y0，且 2xy1， 112xy2xyxy x y y2x3x y 32 2.y2x当且仅当x y 时，取

20、等号(2)x0，22x12 xf(x)x211x21，当且仅当 xx， 即 x1 时取等号答 案 (1)32 2(2)1 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、代换、平方1【训练 1】 (1)已知 x1，则 f(x)xx1的最小值为2(2)已知 0x5，则 y2x5x2 的最大值为(3)若 x，y(0，)且 2x8yxy0，则 xy 的最小值为1解析 (1)x1，f(x)(x1)x11213当且仅当 x2 时取等号1(2)y2x5x2x(25x)55x(25x)， 20x5，5x2,25x0，5x25x5x(25x)(2)21，1y

21、5，当且仅当 5x25x， 11即 x5时，ymax5.(3)由 2x8yxy0，得 2x8yxy， 28yx1，()828y2xxy(xy) xy 10 x y (4yx)4y x x102y 1022 x y18，4yx当且仅当 x y，即 x2y 时取等号， 又 2x8yxy0，x12，y6，当 x12，y6 时，xy 取最小值 18.1答案 (1)3(2)5(3)18考向二 利用基本不等式证明不等式bccaab【例 2】已知 a0，b0，c0，求证： a b c abc.审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证 明 a0，b0，c0，bccabc ca a b 2

22、a b 2c； bcaba c 2 caabb c 2bc ab a c 2b； ca ab b c 2a.( a b c )bcca以上三式相加得：2bccaabab2(abc)，即 a b c abc. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 2】 已知 a0，b0，c0，且 abc1.111求证：abc9.证明 a0，b0，c0，且 abc1，111abcabcabcabcabc bcacab3aabbccbacacb3 ac bc(ab) ( ) ( )32

23、229，1当且仅当 abc3时，取等号考向三 利用基本不等式解决恒成立问题x【例 3】若对任意 x0，x23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是xx审题视点 先求x23x1(x0)的最大值，要使得x23x1a(x0)恒成立，x只要x23x1(x0)的最大值小于等于 a 即可xx解析 若对任意 x0，x23x1a 恒成立，只需求得 yx23x1的最大值12 x x11x x23x111xx35即可，因为 x0，所以 y1 ，当且仅当 x1 时 ，)取等号，所以 a 的取值范围是 51，)答案5当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数

24、的不等式求解【训练 3】已知 x0，y0，xyx2y，若 xym2 恒成立，则实数 m 的最大值是解 析 由 x0，y0，xyx2y22xy，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立， 得 m28，m10，故 m 的最大值为 10.答 案 10考向三 利用基本不等式解实际问题【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m2， 房屋侧面的造价为 150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？审题视点

25、用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域 0x5；函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性y3(2x150 x 400)5 800900(x x ) 51216解 由题意可得，造价16x x800(0x5)，16则 y900(x x )165 80090025 80013 000(元)，当且仅当 x x ，即 x4 时取等号故当侧面的长度为 4 米时，总造价最低 解实际应用题要注意以下几点：(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值

26、；(3) 在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练 3】东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件，每件水晶产品的销售价格为 100 元，固定成本为 80 元从今年起，工厂投入 100 万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本预计产量每年递增 1 万件，每件80水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n) 晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元(1) 求出 f(n)的表达式；(2) 求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n1.若水解(1)第 n 次投入后，产量为(10n)

27、万件，销售价格为 100 元，固定成本为80()n1元，科技成本投入为 100n 万元100 80 80所以，年利润为 f(n)(10n)n1 100n(nn*)(100 )(2)由(1)知 f(n)(10n)( n1 9)n1 100n1 00080n1 520(万元)当且仅当 n19n1，即 n8 时，利润最高，最高利润为 520 万元所以，从今年算起第 8 年利润最高，最高利润为 520 万元阅卷报告忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的条件同时相等.12【示例】已知 a0，b0，且 ab1，求ab的最小值错因 两次基本不等式成立的条件不一致() 实录 a0，b0，且 ab1， ab1ab 224.12211又ab2 ab，而 ab4，ab4，1212ab2 84 2，故ab的最小值为 4 2.正解12a(102，)b0，且 abb1，2